第9章+MATLAB符號計(jì)算（MATLAB程序設(shè)計(jì)教程電子教案）.ppt

第9章MATLAB符號計(jì)算9 1符號對象9 2符號微積分9 3級數(shù)9 4符號方程求解 9 1符號對象9 1 1建立符號對象1 建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù) sym和syms 兩個函數(shù)的用法不同 1 sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量 一般調(diào)用格式為 符號量名 sym 符號字符串 該函數(shù)可以建立一個符號量 符號字符串可以是常量 變量 函數(shù)或表達(dá)式 應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量 使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同 下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時的差別 2 syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量 使用不方便 MATLAB提供了另一個函數(shù)syms 一次可以定義多個符號變量 syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為 syms符號變量名1符號變量名2 符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符 變量間用空格而不要用逗號分隔 2 建立符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式 建立符號表達(dá)式有以下3種方法 1 利用單引號來生成符號表達(dá)式 2 用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式 3 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式 9 1 2符號表達(dá)式運(yùn)算1 符號表達(dá)式的四則運(yùn)算符號表達(dá)式的加 減 乘 除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd symsub symmul和symdiv來實(shí)現(xiàn) 冪運(yùn)算可以由sympow來實(shí)現(xiàn) 2 符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算如果符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式 可利用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母 其一般調(diào)用格式為 n d numden s 該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母 分別將它們存放在n與d中 3 符號表達(dá)式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù) 函數(shù)的調(diào)用格式為 factor s 對符號表達(dá)式s分解因式 expand s 對符號表達(dá)式s進(jìn)行展開 collect s 對符號表達(dá)式s合并同類項(xiàng) collect s v 對符號表達(dá)式s按變量v合并同類項(xiàng) 4 符號表達(dá)式的化簡MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有 simplify s 應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進(jìn)行化簡 simple s 調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡 并顯示化簡過程 5 符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式 函數(shù)numeric或eval可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式 9 1 3符號表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量 findsym可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量 該函數(shù)的調(diào)用格式為 findsym s n 函數(shù)返回符號表達(dá)式s中的n個符號變量 若沒有指定n 則返回s中的全部符號變量 9 1 4符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式 所以前面介紹的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行 但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時 是分別作用于矩陣的每一個元素 由于符號矩陣是一個矩陣 所以符號矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算 MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù) 這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義 例如transpose s 返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 determ s 返回s矩陣的行列式值 其實(shí) 曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù) 如diag triu tril inv det rank eig等 也可直接應(yīng)用于符號矩陣 9 2符號微積分9 2 1符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為 1 limit f x a 求符號函數(shù)f x 的極限值 即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時 f x 函數(shù)的極限值 2 limit f a 求符號函數(shù)f x 的極限值 由于沒有指定符號函數(shù)f x 的自變量 則使用該格式時 符號函數(shù)f x 的變量為函數(shù)findsym f 確定的默認(rèn)自變量 即變量x趨近于a 3 limit f 求符號函數(shù)f x 的極限值 符號函數(shù)f x 的變量為函數(shù)findsym f 確定的默認(rèn)變量 沒有指定變量的目標(biāo)值時 系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0 即a 0的情況 4 limit f x a right 求符號函數(shù)f的極限值 right 表示變量x從右邊趨近于a 5 limit f x a left 求符號函數(shù)f的極限值 left 表示變量x從左邊趨近于a 例9 1求下列極限 極限1 symsamx f x exp sin x 1 2 exp tan x 1 x a limit f x a ans 1 2 a exp sin a 1 2 a exp tan a 1 a極限2 symsxt limit 1 2 t x 3 x x inf ans exp 6 t 極限3 symsx f x sqrt x 2 1 x limit f x inf left ans 1 2極限4 symsx f sqrt x sqrt 2 sqrt x 2 sqrt x x 4 limit f x 2 right ans 1 2 9 2 2符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù) 該函數(shù)的一般調(diào)用格式為 diff s 沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù) 則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù) diff s v 以v為自變量 對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù) diff s n 按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù) n為正整數(shù) diff s v n 以v為自變量 對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù) 例9 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 9 2 3符號積分符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn) 該函數(shù)的一般調(diào)用格式為 int s 沒有指定積分變量和積分階數(shù)時 系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分 int s v 以v為自變量 對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分 int s v a b 求定積分運(yùn)算 a b分別表示定積分的下限和上限 該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間 a b 上的定積分 a和b可以是兩個具體的數(shù) 也可以是一個符號表達(dá)式 還可以是無窮 inf 當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間 a b 上可積時 函數(shù)返回一個定積分結(jié)果 當(dāng)a b中有一個是inf時 函數(shù)返回一個廣義積分 當(dāng)a b中有一個符號表達(dá)式時 函數(shù)返回一個符號函數(shù) 例9 3求下列積分 9 2 4積分變換常見的積分變換有傅立葉變換 拉普拉斯變換和Z變換 1 傅立葉 Fourier 變換在MATLAB中 進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是 fourier f x t 求函數(shù)f x 的傅立葉像函數(shù)F t ifourier F t x 求傅立葉像函數(shù)F t 的原函數(shù)f x 例9 4求函數(shù)y 的傅立葉變換及其逆變換 2 拉普拉斯 Laplace 變換在MATLAB中 進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是 laplace fx x t 求函數(shù)f x 的拉普拉斯像函數(shù)F t ilaplace Fw t x 求拉普拉斯像函數(shù)F t 的原函數(shù)f x 例9 5計(jì)算y x3的拉普拉斯變換及其逆變換 3 Z變換當(dāng)函數(shù)f x 呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f n 時 對數(shù)列f n 進(jìn)行z變換的MATLAB函數(shù)是 ztrans fn n z 求fn的Z變換像函數(shù)F z iztrans Fz z n 求Fz的z變換原函數(shù)f n 例9 6求數(shù)列fn e 2n的Z變換及其逆變換 9 3級數(shù)9 3 1級數(shù)符號求和求無窮級數(shù)的和需要符號表達(dá)式求和函數(shù)symsum 其調(diào)用格式為 symsum s v n m 其中s表示一個級數(shù)的通項(xiàng) 是一個符號表達(dá)式 v是求和變量 v省略時使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量 n和m是求和的開始項(xiàng)和末項(xiàng) 例9 7求下列級數(shù)之和 9 3 2函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù) 其調(diào)用格式為 taylor f v n a 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù) 展開到第n項(xiàng) 即變量v的n 1次冪 為止 n的缺省值為6 v的缺省值與diff函數(shù)相同 參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v a處展開 a的缺省值是0 例9 8求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式 9 4符號方程求解9 4 1符號代數(shù)方程求解在MATLAB中 求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實(shí)現(xiàn) 其調(diào)用格式為 solve s 求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程 求解變量為默認(rèn)變量 solve s v 求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程 求解變量為v solve s1 s2 sn v1 v2 vn 求解符號表達(dá)式s1 s2 sn組成的代數(shù)方程組 求解變量分別v1 v2 vn 例9 9解下列方程 9 4 2符號常微分方程求解在MATLAB中 用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù) 例如 Dy表示y D2y表示y Dy 0 5表示y 0 5 D3y D2y Dy x 5 0表示微分方程y y y x 5 0 符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實(shí)現(xiàn) 其調(diào)用格式為 dsolve e c