圓錐曲線的一組生成方式_一道課本習(xí)題引發(fā)的探究性學(xué)習(xí).pdf

圓錐曲線的一組生成方式 一道課本習(xí)題引發(fā)的探究性學(xué)習(xí) 黃元華 廣東省深圳市高級(jí)中學(xué) 在一堂高二圓錐曲線的復(fù)習(xí)課上 我講完一 道有關(guān)圓的課本習(xí)題后 靈機(jī)一動(dòng) 設(shè)計(jì)了一次探 究性學(xué)習(xí) 原題再現(xiàn) 題目長為 的線段 的兩個(gè)端點(diǎn) 和 分別在 軸和 軸上滑動(dòng) 求線段 的中點(diǎn)的 軌跡方程 此題即人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn) 教科書數(shù)學(xué) 必修 版第 頁 組第 題 解 設(shè)線段 中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則 由已知有 槡 化簡(jiǎn)可得點(diǎn) 的 軌跡方程為 課后探究 該題實(shí)際上給出了一種圓的定義 或者說一 種圓的生成方式 即由兩條相交直線和動(dòng)線段中 點(diǎn)能生成圓 定理 長度為定值的線段的兩端點(diǎn)分別在兩 互相垂直的直線上滑動(dòng) 則該線段中點(diǎn)的軌跡為 圓 圓心為兩直線交點(diǎn) 半徑為定值之半 上課時(shí) 我講到這里 突然想到 若適當(dāng)改變 該題的條件 能否由兩條相交直線和動(dòng)線段生成 其它圓錐曲線呢 若有可能 我們將可得到圓錐 曲線的一組新定義 我感到這是一個(gè)有探究?jī)r(jià)值 的好課題 何不把它交給學(xué)生去研究呢 下課前 我把這個(gè)探究課題交給學(xué)生 并對(duì)全班學(xué)生說 同學(xué)們六人一組 課后開展合作探究 要求寫成 書面報(bào)告 正好明天是兩節(jié)連堂課 明天上課時(shí)請(qǐng) 各組派代表上臺(tái)匯報(bào)研究成果 成果越多越好 但 須給出令人信服的證明或說明 同學(xué)們興奮異 常 但也有部分學(xué)生面有難色 因?yàn)樗麄儚膩頉]有 遇見過這樣的數(shù)學(xué)作業(yè) 成果展示 第二天上課前 我查看了學(xué)生們交上來的書 面報(bào)告 他們改變了原題的部分條件 生成了圓之 外的其它圓錐曲線 其中不乏創(chuàng)新和精彩之處 上 課時(shí)各組代表爭(zhēng)先恐后登臺(tái)匯報(bào)研究成果 經(jīng)稍 加整理 分述如下 為了敘述方便 下面約定 是兩條相交 直線 交點(diǎn)為 夾角為 且 橢圓的生成方式之一 結(jié)論 長度為定值的線段的兩端點(diǎn)分別在 兩條相交 不垂直 直線上滑動(dòng) 則該線段的中點(diǎn) 的軌跡為橢圓 設(shè)兩相交直線的夾角為 則離心率 槡 證明 設(shè) 為兩相交直線 夾角為 以它們夾角的平分線為 軸 以它們的 交點(diǎn) 為原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 的方程分別為 其中 分別為 上的動(dòng)點(diǎn) 且 為線 段 的中點(diǎn) 圖 設(shè) 則由已知有 槡 所以 年 第 卷 第 期 數(shù)學(xué)通報(bào) 即 所以 槡 即 所以 點(diǎn) 的軌跡方程為 當(dāng) 即 時(shí) 此 時(shí)方程 表示長軸在 軸上的橢圓 長 短半軸 長分別為 橢圓的離心率 槡 槡 槡 槡 注 在本結(jié)論中 若兩條相交直線垂直 即 時(shí) 方程 即 此時(shí)點(diǎn) 的軌跡為圓 橢圓的生成方式之二 結(jié)論 長度為定值的線段 的兩端點(diǎn)分 別在兩條互相垂直的直線 上滑動(dòng) 且 為 定值 則點(diǎn) 的軌跡為橢圓 證明 分別以 所在直線為 軸 軸建 立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式有 圖 烅 烄 烆 則 烅 烄 烆 又 則得 所以 所以點(diǎn) 的軌跡方程為 當(dāng) 時(shí) 點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在 軸 上的橢圓 槡 當(dāng) 時(shí) 點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在 軸上 的橢圓 槡 雙曲線的生成方式之一 結(jié)論 直線 交于 是 夾角平 分線上異于 的一定點(diǎn) 線段 過定點(diǎn) 且其 兩端點(diǎn)分別在 上滑動(dòng) 則該線段中點(diǎn)的軌跡 是雙曲線 其實(shí)軸為線段 兩條漸近線分別與 平行 若設(shè)兩相交直線的夾角為 則雙曲線的虛軸長為 離心率 槡 證明 以 夾角的平分線為 軸 以線段 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 則 的方程可分別設(shè)為 其 則由條件有 圖 所以 數(shù)學(xué)通報(bào) 年 第 卷 第 期 因?yàn)?四點(diǎn)共線 所以 即 即 即 化簡(jiǎn)變形可得 故點(diǎn) 的軌跡是雙曲線 其實(shí) 半軸長為 虛半軸長為 漸近線方程為 雙曲線的離心率 槡 槡 槡 雙曲線的生成方式之二 結(jié)論 一線段的兩端點(diǎn)分別在兩相交直線 上滑動(dòng) 且該線段與兩相交直線圍成三角形的面 積為定值 則該線段中點(diǎn)的軌跡是一對(duì)共軛雙 曲線 證明 以 的交點(diǎn)為原點(diǎn) 以 夾角 的平分線為 軸建立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 則 的方程分 別為 其中 面積 即 又 圖 即 得 變形得 故 點(diǎn)的軌跡方程為 拋物線的生成方式 結(jié)論 動(dòng)線段 的兩端點(diǎn)分別在兩條互 相垂直的直線上滑動(dòng) 且 其中 為定值 則線段 中點(diǎn)的軌跡為兩條 拋物線 證明 分別以 所在直線為 軸 軸建 立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 則 由 有 圖 又 烅 烄 烆 消去 得 故線段 中點(diǎn) 的軌跡方程為 得出此結(jié)論后 馬上有學(xué)生主動(dòng)要求發(fā)言 生 此結(jié)論不美 生 此結(jié)論價(jià)值不大 生 此結(jié)論的發(fā)現(xiàn)者 很平靜地回答 此結(jié) 論得出后 并沒有想象中的興奮 因?yàn)楸磉_(dá)式失去 了某種對(duì)稱的美 不過由于拋物線本身不是中心 對(duì)稱圖形 這種結(jié)果也是可以預(yù)見的了 掌聲 四起 其中既有理解 更有贊賞 師 結(jié)論美不美或者價(jià)值大不大并不重要 重 要的是同學(xué)們所體現(xiàn)出來的主動(dòng)探索精神 最大 的價(jià)值在于探究本身 年 第 卷 第 期 數(shù)學(xué)通報(bào) 兩端點(diǎn)在兩相交直線上滑動(dòng)的動(dòng)線段還滿足 什么條件 它的中點(diǎn)軌跡是拋物線 筆者和學(xué)生 還在研究這個(gè)問題 但目前尚未得出令人賞心悅 目的結(jié)論 有興趣的讀者不妨一試 生成其他平面曲線 圖 結(jié)論 動(dòng) 線 段 的 兩端點(diǎn)分別在兩條互相 垂直的直線上滑動(dòng) 且垂 足到動(dòng)線段所在直線的 距離為定值 則 動(dòng)線段中點(diǎn)的軌跡方程 為 證明 分別以這兩 條互相垂直的直線為 軸 軸建 立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè) 則由條件有 則 故直線 的方程為 即 由點(diǎn)到直線的距離公式 槡 變形 得 即點(diǎn) 的軌跡方程 師 該軌跡是什么曲線 生 我們首先發(fā)現(xiàn) 它關(guān)于 軸 軸 直線 直線 及原點(diǎn)對(duì)稱 然后用描點(diǎn)法畫 出了它的大致圖象 如圖 圖 師 給它取個(gè)名吧 生 既然它有四支 類比 雙曲線 的名字 就叫它 四曲線 吧 滿堂爆笑 結(jié)論匯總 下課前 分鐘 我與學(xué)生一道整理并總結(jié)本 次探究課得出的所有結(jié)論 兩相交直線 的夾角 動(dòng)線段 所滿足的條件 在線段 上的位置 軌跡軌跡方程 為定長 中點(diǎn)圓 為定長 中點(diǎn)橢圓 為定長 橢圓 直線 過定點(diǎn) 定點(diǎn)位于 夾角平分線上 異于 中點(diǎn)雙曲線 的面積為定值 中點(diǎn)一對(duì)共軛雙曲線 中點(diǎn)一對(duì)拋物線 點(diǎn)到直線 的距離為 定值 中點(diǎn) 四曲線 延伸思考 本次臨時(shí)設(shè)計(jì)的探究課取得了意想不到的收 獲 學(xué)生的探究熱情 能力和成果均超乎我當(dāng)初的 下轉(zhuǎn)第 頁 數(shù)學(xué)通報(bào) 年 第 卷 第 期 這位教師說 那可不行 那樣就出現(xiàn)了圓內(nèi) 角和圓外角的概念 超出了 課標(biāo) 要求 增加概念 就增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān) 我問其他老師 同意這位老師的意見嗎 有幾個(gè)教師點(diǎn)頭同意 面對(duì)這種現(xiàn)狀 我確實(shí)感到遺憾 學(xué)生甲的出 現(xiàn)給數(shù)學(xué)教育賦予了多么好的良機(jī) 如果讓學(xué)生 的 鼠標(biāo)探索 進(jìn)一步 將 明顯地拽回到圓內(nèi) 一個(gè)事實(shí)出來了 一條弧所對(duì)的圓內(nèi)角大于圓周 角 再將 拉到圓外 另一個(gè)事實(shí)有了 一條弧 所對(duì)的圓外角小于圓周角 雖然在探索和歸納上述結(jié)論時(shí)出現(xiàn)了圓內(nèi) 角 圓外角的概念 但是它絕不會(huì)給學(xué)生帶來負(fù) 擔(dān) 相反 會(huì)給理解和掌握?qǐng)A周角的性質(zhì)帶來幫 助 有比較才有鑒別 一件事物的特征往往在與另 外事物的比較中才顯得更加清晰 另外 我們把三個(gè)結(jié)論 同弧所對(duì)的的圓周角 相等 同弧所對(duì)的圓內(nèi)角大于圓周角 同弧所對(duì)的 圓外角小于圓周角 綜合到一起 便得到結(jié)論 同 弧所對(duì)的圓周角相等 且同弧所對(duì)的相等的角的 頂點(diǎn)是共圓的 這個(gè)結(jié)論蘊(yùn)含了四點(diǎn)共圓的判定 定理 這個(gè)定理的得到如此自然 在不知不覺中浮 現(xiàn)出來 也許有的教師又說 判定四點(diǎn)共圓不是 課 標(biāo) 內(nèi)容 沒錯(cuò) 我們并沒有刻意去學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓 的判定定理 我們也不準(zhǔn)備圍繞它做大量的習(xí)題 但毋容置疑的是 它是課堂上學(xué)習(xí)過程的自然 導(dǎo)出 如果教師無視課堂上學(xué)生活生生的操作活動(dòng) 和思維活動(dòng) 刻意地捍衛(wèi)教師課前設(shè)計(jì)的教學(xué)流 程 那么課堂教學(xué)就死水一潭 表面上活躍的學(xué)生 活動(dòng) 也只不過是教師導(dǎo)演的木偶劇 如果 課標(biāo) 安排了什么就教什么 考綱 有什么就要求什么 其它內(nèi)容一概 屏蔽 那么 課標(biāo) 考綱 上的內(nèi) 容學(xué)起來也費(fèi)勁 學(xué)生在老師的嚴(yán)控下漸漸沉悶 了 是不會(huì)有大出息的 數(shù)學(xué)教育要讓學(xué)生的思維展開翅膀 不要搞 那么多禁區(qū) 只有不斷地放飛 才能變得結(jié)實(shí) 才 能飛得高 才能擴(kuò)大視野 才能越飛越高興 參考文獻(xiàn) 張筑生 讓解題的思路來的自然 中等數(shù)學(xué) 喬治 波利亞著 閻育蘇譯 怎樣解題 北京 科學(xué)出版 社 上接第 頁 想象 在欣喜之余 筆者感觸良多 最大的感觸是 我們給學(xué)生創(chuàng)設(shè)的探究機(jī)會(huì)太少了 我們常常低 估了學(xué)生的能力 未給他們充分提供展示才能的 機(jī)會(huì) 卻抱怨學(xué)生動(dòng)手能力 主動(dòng)性差 其實(shí)問題 的根子在于我們教師自身 學(xué)問學(xué)問 是學(xué) 問 而不是學(xué) 答 我們的 學(xué)生天天都忙著學(xué)會(huì)解答老師給出的問題 幾乎 沒有自己獨(dú)立提出問題 然后盡己之力解決它的 機(jī)會(huì) 即我們的學(xué)生只學(xué) 答 從不學(xué) 問 這才 是我們培養(yǎng)出的人才缺乏創(chuàng)新能力的真正根源 創(chuàng)設(shè)盡可能多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生去自主探究 應(yīng) 成為中學(xué)教師的自覺行為與追求 探究性學(xué)習(xí)是 在學(xué)生不知道相關(guān)知識(shí)的前提下 讓學(xué)生通過一 個(gè)個(gè)科學(xué)探究性實(shí)驗(yàn)來完成求知的過程 這是一 種區(qū)別于傳統(tǒng)教育的全新的課程理念 教師應(yīng)努 力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者 應(yīng)該為學(xué)生提供 較為豐富的數(shù)學(xué)探究課題的案例和背景材料 愛 因斯坦說過 提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題 更重要 因?yàn)榻鉀Q問題也許僅僅是一個(gè)教學(xué)上或 實(shí)驗(yàn)上的技能而已 而提出新的問題 新的可能 性 從新的