大學物理第5章機械波ppt課件.ppt

1 第5章 Mechanicalwave 6 重點 行波方程 核心 位相 2 一 機械波的產生和傳播 5 1波動的基本概念 1 產生機械波的條件 波源 持續(xù)振動的質點 彈性介質 傳遞振動狀態(tài)的介質 波動 振動狀態(tài)的傳播過程 p24 3 橫波transversewave 質點的振動方向與波的傳播方向相互垂直 縱波longitudinalwave 質點的振動方向和波的傳播方向相互平行 在波的傳播過程中 不管是橫波 縱波 介質中的質點并不 隨波逐流 它們在各自的平衡位置附近振動 傳播的是波源的振動狀態(tài) 傳播橫波介質 介質的切向應變 固體 理想氣體 液體不能傳播 傳播縱波的介質 介質的彈性應變 氣體 液體 固體 4 二 描述波動的物理量 P26 1 波的周期 period T 傳遞一個完整波所需的時間 也是介質質元完成一次全振動的時間 波的周期完全由波源 周期 確定 2 波長 wavelength 一個周期內波動傳播的距離 它由波源和介質共同決定 波長是波的 空間周期 1 描述簡諧波的解析參量 波數(shù) 頻率 角頻率 波矢 5 3 波速u 單位時間內波傳播的距離 對與簡諧波而言 波速等于振動的初相的傳播速度 又稱相速 波速完全由介質的性質來確定 沿著波的傳播方向 質點振動的相位是依次落后的 6 2 波面和波線 波線 波射線waveline 波的傳播方向 波面 波陣面wavesurface 波動過程中 振動相位相同的點連成的面 最前面的那個波面稱為波前wavefront 平面波 planewave 波面為平面的波動 本章只討論這種波 球面波 sphericalwave 波面為球面的波動 在各向同性介質中 波線總是與波面垂直 7 三 惠更斯原理 作用 如果已知了t時刻的波陣面 以u t為半徑 就能確定 t時刻的波陣面 從而確定波的傳播方向 利用惠更斯原理可以解釋波的干涉 衍射等現(xiàn)象 介質中波動傳播到的各點 都可以看作是發(fā)射子波的波源 其后任一時刻 這些子波的包跡就是新的波陣面 8 惠更斯原理的不足 不能求出波的強度分布 9 5 2平面簡諧行波的波動方程 注意這里 x表示各質點的平衡位置到坐標原點的距離 y表示各質點對平衡位置的位移 一平面余弦行波在均勻無耗介質中沿x軸正方向傳播 波速u 坐標原點的振動方程為y Acos t o 求 坐標為x的P點的振動方程 波動方程 10 因 均勻無耗介質 平面波 所以P點的振幅仍是A 原點o的振動方程為y Acos t o P點比o點時間落后 t x u 角頻率仍為 則P點的振動方程 即波動方程 為 11 則P點比o點時間超前 t x u 波動方程應為 P點的振動方程 即波動方程 為 若波沿x軸負方向傳播 12 波動方程的標準形式 考慮到 2 T uT 波動方程還可寫為 13 1 當x xo 確定值 時 位移y只是時間t的余弦函數(shù) 這是xo處質點的振動方程 2 當t to 確定值 時 位移y只是時間x的余弦函數(shù) 此式表示給定時刻to各振動質點的位移分布情況 相應的y x的曲線就叫做波形曲線 如下圖所示 14 上式表明 t時刻x點的振動狀態(tài) 經時間 t后傳播到了x軸正方向的x u t處 3 當x t都變化時 代表一列沿x軸正方向傳播的波 15 16 解 1 比較法 波沿x軸正方向傳播 A 0 5m k 2 于是T 2s 1 2Hz u k 2m s 原點的初相 o 2 17 3 x1 1m和x2 2m兩點的相差 2 x 2m處質點的振動方程 x 波程差 18 解 1 o比C點位相超前 l u 2 標準函數(shù)法 o l u 例題2 2波以u沿x軸正方向傳播 yC Acos t 求 1 原點o的振動方程 2 波動方程 則o點的振動方程為 y Acos t l u 19 P x 點比已知點C時間落后 yC Acos t 令x 0得坐標原點o的振動方程為 P x 點比已知點C超前用 落后用 20 解 1 以A為坐標原點 0 4cos4 t cm 1 標準函數(shù)法 例題2 3波速u 20cm s 沿x軸負方向傳播 yA 0 4cos4 t cm 求波動方程 1 以A為坐標原點 2 以B為坐標原點 21 已知A點的振動方程 yA 0 4cos4 t cm P x 點比A點時間超前 波動方程 t 超前 落后法 u 20 22 2 以B為坐標原點 y 0 4cos 4 t o cm 1 標準函數(shù)法 yA 0 4cos4 tu 20 抓住已知點A 的位相 由此得 o 4 t 23 已知A點的振動方程為yA 0 4cos4 t cm P x 點比已知點A時間超前 u 20cm s 波動方程 t 24 當t 1時 對a點有 對b點有 解得 k 12 o 17 3 3 波動方程為 解 例題2 4波沿x軸正向傳播 A 10cm 7 rad s 當t 1s時 ya 0 a0 設 10cm 求該波的波動方程 25 例題2 5波沿x軸正方向傳播 t 0 t 0 5s時的波形如圖 周期T 1s 求 1 波動方程 2 P點 x 2m 的振動方程 A 0 2 4m T u 2 o 2 波動方程 2 P點 y 0 2cos t m 26 例題2 6t 2s時的波形如圖 u 0 5m s 求 1 圖中p點的振動方程 2 該波的波動方程 解 1 A 0 5 2 2 該波的波動方程 T u 4 2 2 27 5 3平面行波的動力學方程 p165 例 推導輕質 柔弦的微振動方程 如圖 由牛頓定律有 微振動時 聯(lián)立求解得 28 由此得 對比 有 即 波動方程空間二次導數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度 29 某些介質中波的傳播速度 30 討論 影響波的傳播速度的因素 對其它波動形式的方程作類似推導 可得各種波動的波動方程及傳播速度 由傳播速度的表達式 容易知道影響波傳播速度的因素 31 介質的幾種典型模量 若在截面為S 長為l的細棒兩端加上大小相等 方向相反的軸向拉力F 使棒伸長 l 實驗證明 在彈性限度內 正應力F S與線性應變 l l成正比 即 比例系數(shù)Y由材料的彈性決定 稱為楊氏模量 2 切變模量 1 楊氏模量 切變模量 在柱體上下表面S上作用一大小相等 方向相反的切向力F 使柱體 32 發(fā)生切變 實驗證明 在彈性限度內 切應力F S與切應變 x h 成正比 即 比例系數(shù)G由材料的切變彈性決定 稱為切變模量 3 體變模量 設流體體積在壓強為P時等于V 如果是壓強增加到P P 體積變化為V V 則在通常壓強范圍內有 體變模量 比例系數(shù)B稱為體變模量 式中負號表示當 P 0時 V 0 33 5 4行波中的能量和能流 一 波的能量密度 波動過程也是能量的傳播過程 質元dm dV 為介質的密度 長dx 伸長量dy 質元的振動動能和勢能分別為 p172 34 由胡克定律 楊氏彈性模量 Y u2 35 質元dm的總能 3 能量密度 單位體積中波的能量 為 1 任意時刻 質元的動能和勢能都相等 即 2 質元的總能量隨時間作周期性的變化 在波動中 隨著振動在介質中的傳播 能量也從介質的一部分傳到另一部分 所以 波動是能量傳播的一種方式 36 平均能量密度 二 波的能流密度 波強 單位時間內 通過垂直于波動傳播方向的單位面積的能量 稱為能流密度 顯然 能流密度也就是通過垂直于波動傳播方向的單位面積的功率 容易證明 能流密度 或波強 為 37 三 聲波聲強級 引起人聽覺的機械波的頻率范圍 20 20000Hz人耳的聽覺并不與聲強成正比 而是與聲強的對數(shù)成正比 取聲強Io 10 12 w m2 為標準 則聲強級 dB 樹葉沙沙 20dB 正常談話 60dB 鬧市 70dB 飛機起飛 150dB 38 A 質元a的動能為零 勢能最大 B 質元a的動能最大 勢能為零 C 質元b的動能最大 勢能最大 D 質元b的動能最大 勢能為零 答 C 例題4 1圖為某一時刻的波形曲線 由圖可知 39 例題4 2一電臺 視為點波源 平均發(fā)射功率10kw 求離電臺1km處的波強 解能流密度 波強 為 能流密度也就是通過垂直于波傳播方向的單位面積的功率 于是所求能流密度 波強 為 7 96 10 4 w m2 40 5 5 1波的疊加原理 5 5波的干涉駐波 每列波的傳播特性不因其它波的存在而改變 任一點的振動為各個波單獨在該點產生的振動的合成 這一規(guī)律稱為波的獨立傳播原理或波的疊加原理 適用條件 波強較小 p39 5 5 2波的干涉 兩列波 1 頻率相同 2 振動方向相同 3 相差恒定 則在相遇區(qū)域會出現(xiàn)有些地方的振動始終加強 而另一些的振動始終減弱的穩(wěn)定分布 這種現(xiàn)象稱為波的干涉 41 S1 y10 A1cos t 1 S1 p S2 p P點的合振動為y y1 y2 Acos t 同方向同頻率諧振動的合成 它們單獨在P點引起的振動分別為 S2 y20 A2cos t 2 42 合振幅 式中 合振動的初相為 P點的合振動為y y1 y2 Acos t 波強 43 干涉的強弱取決于兩列波的相位差 2n A A1 A2 加強 相干相長 特別是A1 A2時 A 2A1 Imax 4I1 2n 1 A A1 A2 減弱 相干相消 特別是A1 A2時 A 0 Imin 0 n 0 1 2 44 例題5 1兩個振幅都為A的相干波源S1和S2相距3 4 S1比S2超前 2 設兩波在連線上的波強不隨傳播距離而改變 試分析S1和S2連線上的干涉情況 解干涉的強弱取決于相位差 S1左側a點 S2右側b點 S1左側各點都加強 Imax 4I1 S2右側各點都減弱 Imin 0 45 S1和S2之間c點 46 例題5 2原點o是波源 波長為 AB為波的反射平面 反射時無半波損失 A點位于o點的正下方 Ao h ox軸平行于AB 求ox軸上干涉加強點的坐標 解 2n 加強 n 1 2 3 解得 最大n 令x 0 得n 2h n 1 2 3 2h 47 例題5 3已知 yb 3cos2 t yc 4cos 2 t 2 SI 從b c兩點發(fā)出的波在p點相遇 bp 0 45m cp 0 3m u 0 2m s 求p點的合振動方程 解 y1 3cos 2 t 3cos 2 t 2 c p y2 4cos 2 t 2 4cos 2 t 2 p點的合振動方程 y y1 y2 7cos 2 t 2 m b p 48 例題5 4相干波源S1超前S2相位 2 A1 A2 0 2m 頻率 100Hz r1 4m r2 3 75m 兩種介質中的波速分別為u1 400m s u2 500m s 求兩介質界面上p點的合振幅 0 A1 A2 0 4m 解先求兩波到達p點的位相差 49 5 5 3駐波 兩列振幅相等 傳播方向相反的相干波進行疊加 就會形成駐波 p41 50 將兩列波合成 可得 這就是駐波方程 1 駐波方程實際上是一個振動方程 只不過各點的振幅隨坐標x的不同而變化 整體上看 駐波的波形駐定在原地起伏變化而不傳播 這是駐波中 駐 字的意思 51 波節(jié) 波腹 4 4 52 2 波腹和波節(jié)位置 波腹 即 波腹的位置為 波節(jié) 即 波節(jié)的位置為 容易算出 相鄰的兩個波節(jié) 或波腹 之間的距離是 2 可見 測出兩波節(jié)之間的距離 就能算出波長 這是實驗中測量波長的一種常用的方法 53 3 駐波中的位相 由駐波方程可知 kx n 2為波節(jié) 而kx在1 4象限的點 各點位相都是 t kx在2 3象限的點 各點位相都是 t 可見 在相鄰的兩波節(jié)間 各點的振動位相相同 而在波節(jié)兩旁 各點的振動位相相反 因此 駐波實際上就是分段振動著的 沒有振動狀態(tài)或相位的傳播 這是駐波中 駐 字的又一層意思 54 4 駐波中的能量 從整個過程來看 能量在相鄰的波腹 波節(jié)間來回轉移 波節(jié)或波腹兩側的介質互不交換能量 因此 平均意義上駐波是不傳播能量的 這是駐波中 駐 字的再一層意思 5 固定邊界的駐波 n 1 2 55 可能的駐波必須是某一基波的整數(shù)倍 m 1的頻率稱基頻 其它的波稱為諧波 所有這些振動稱為簡正模式 所有的頻率構成弦振動的固有頻率 也叫本征頻率 例 假定原子中核外電子繞核運動遵守某種簡諧波的波動規(guī)律求 原子中電子的軌道半徑必須滿足的條件 解 原子必須是穩(wěn)定的 由波的干涉情況可知 只有當電子的波形成穩(wěn)定駐波時 原子才可能穩(wěn)定 由駐波條件 軌道周長必須為電子波長的整數(shù)倍 于是有 2 R n 56 6 波在界面的反射和透射 半波損失 波阻抗 z大 波密媒質 z小 波疏媒質 入射波 反射波 透射波 57 界面兩側應力相等 牛頓第三定律 界面兩側質元位移相同 接觸 y1 y1 x 0 y2 x 0 縱波 機械波 入射時 有界面關系 將y表達式代入界面關系 考慮Y u2得 58 其中 波阻抗z u 聯(lián)立兩式可得 59 透射波 2 若z1 z2 則 1 1 1 若z1 z2 則 1 1 反射波 1 相位關系 半波損失 均有 2 1 即透射波總是與入射波同相 60 若忽略透射波 則入射和反射波的波形如下 61 反射比 透射比 2 振幅關系 z1 z2互換 R T不變 62 例題5 5一弦上的駐波方程為 求 1 兩行波的振幅和波速 2 相鄰波節(jié)間的距離 3 t 3 00 10 3s時 位于x 0 625m處質點的振動速度 解 1 比較法 A 1 50 10 2m k 1 6 m 1 550 s 1 u k 343 8m s 63 2 相鄰兩波節(jié)之間的距離 1 25m 0 625m 3 t 3 00 10 3s時 位于x 0 625m處質點的振動速度 x 0 625 46 2 m s 64 例題5 6 1 波y2與y1形成駐波 且在x 0處兩波同相 求波y2的方程 2 駐波方程 3 波幅和波節(jié)位置 解 1 設波y2的方程為 因y2在x 0處與已知橫波位相相同 所以 o 0 65 2 寫出繩上的駐波方程 3 波幅和波節(jié)位置 波幅 波節(jié) 66 解 1 設反射波方程為 由于反射端為自由端 無半波損失 入射波和反射波在p點相差為零 即 反射波方程為 例題5 7波沿棒傳播 在x L處 p點 反射 反射端為自由端 求 1 反射波方程 2 駐波方程 67 2 駐波方程 駐波方程為 68 例題5 8設波源位于坐標原點o處 其振動方程為yo Acos t 在x 3 4處的Q點有一波密反射壁 為波長 求 1 o點發(fā)出的沿x軸傳播的波的波動方程 2 Q點反射的反射波的波動方程 3 oQ區(qū)域內合成波的方程 4 x 0區(qū)域內合成波的方程 5 x 2處質點p的振動方程 解 1 沿x軸正方向傳播的波 沿x軸負方向傳播的波 69 2 設Q點反射的反射波的波動方程為 由于反射壁處有半波損失 入射波y2和反射波yr在Q點相差應為 即 解得 o 4 最后得Q點反射波的波動方程為 70 oQ區(qū)域內合成波的方程為 這是駐波方程 4 x 0區(qū)域內合成波的方程 3 這是行波方程 71 就得x 2處質點p的振動方程 5 將x 2代入oQ區(qū)域的駐波方程 72 5 6多普勒效應 目前 多普勒效應已在科學研究 工程技術 交通管理 醫(yī)療診斷等各方面有著十分廣泛的應用 用多普勒效應分析分子 原子和離子的譜線增寬 測量和診斷大氣 等離子體物理狀態(tài) 車輛 導彈等運動目標的速度監(jiān)測 多普勒效應用來跟蹤人造衛(wèi)星 D超 用來檢查人體內臟 血管等情況 在工礦企業(yè)中則利用多普勒效應來測量管道中有懸浮物液體的流速 p50 73 波源和接收器 觀察者 相對于介質都是靜止的 接收器接收到的波的頻率與波源的頻率相同 什么是多普勒效應呢 接收器 或觀察者 所接收到的頻率等于單位時間內通過接收器 或觀察者 所在處的完整波數(shù)目 如果波源或接收器或兩者同時相對于介質運動時 接收器接收到的頻率和波源的頻率不同 這一現(xiàn)象稱為多普勒 Doppler 效應 假定波源和接收器在同一直線上運動 規(guī)定用 s 表示波源相對于介質的運動速度 r 表示接收器相對于介質的運動速度 u 表示波在介質中的傳播速度 74 1 波源和接收器相對于介質都靜止 當波源和接收器相對于介質都靜止時 波源每作一次全振動 波就在空間傳播一個波長的距離 結果就有一個完整的波通過接收器 顯然接收器 或觀察者 接收到的頻率vr就等于波源的頻率v 即vr u v 75 2 波源靜止 接收器相對于介質以 r運動 當接收器在介質中靜止不動時 他在單位時間內接收到u 個波 現(xiàn)因接收器以速度 r向波源運動 他在單位時間內多接收到 r 個波 所以他在單位時間內接收到的波數(shù) 即他接收到的頻率vr應為 76 3 接收器靜止 波源相對于介質以 s運動 當波源和接收器 觀察者 都靜止 則分布在So內的波數(shù)在單位時間內都要通過接收器 由于波速不變 這些波數(shù)在單位時間內都要通過接收器 但波長變短了 現(xiàn)在的波長是 若波源以速度 s向著接收器運動 單位時間內從S點到達S 原來分布在So內的波數(shù)現(xiàn)