2014年高考文科數(shù)學(xué)試題(北京卷)及參考答案.doc

.2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（文）（北京卷） 本試卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘，?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.若集合，則 A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是 A. B. C. D.3.已知向量，則 A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 A. B. C. D.5.設(shè)、是實(shí)數(shù)，則“”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分不必要條件6.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是 A. B. C. D.7.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為 A. B. C. D.8.加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”.咋特定條件下，可食用率與加工時(shí)間（單位：分鐘）滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系（、是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為 A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘第2部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.若，則 .10.設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)式，則的方程為 .11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為 .12.在中，則 ； .13.若、滿(mǎn)足，則的最小值為 .14.顧客請(qǐng)一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)，每件顏料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時(shí)間（單位：工作日）如下：則最短交貨期為 工作日.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知是等差數(shù)列，滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（本小題滿(mǎn)分13分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）寫(xiě)出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.17.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.18. （本小題滿(mǎn)分13分）從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫(xiě)出結(jié)論）19. （本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓C：.（1） 求橢圓C的離心率；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.20. （本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問(wèn)過(guò)點(diǎn)分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫(xiě)出結(jié)論）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1C2B3A4C5D6C7B8B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）92101112 1311442三、解答題（共6小題，共80分）15（共13分）【解析】 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得所以設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得所以從而 由知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為16（共13分）【解析】 的最小正周期為 因?yàn)?，所以于是?dāng)，即時(shí)，取得最大值0；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值17（共14分）解：（）在三棱柱中，底面所以又因?yàn)樗云矫嫠云矫嫫矫妫ǎ┤≈悬c(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且因?yàn)?，且，所以，且所以四邊形為平行四邊形所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面（）因?yàn)?，所以所以三棱錐的體積18（共13分）解：（）根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為（）課外閱讀時(shí)間落在組的有17人，頻率為，所以課外閱讀時(shí)間落在組的有25人，頻率為，所以（）樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組19（共14分）解：（）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以，從而因此，故橢圓的離心率（）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，其中因?yàn)?，所以，即，解得又，所以因?yàn)?，且?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以故線段長(zhǎng)度的最小值為20.（共13分）解：（）由得.令，得或.因?yàn)椋?所以 在區(qū)間上的最大值為 .（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn) 則且切線斜率為 所以切線方程為，因此 .整理得.設(shè) 則“過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”.與的情況如下： 所以，是的極大值，是的極小值當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且，即時(shí)，因?yàn)椋?分別