(正)高等數(shù)學(xué)競賽練習(xí)冊答案.pdf

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會(huì) 關(guān)于舉辦第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的通知 各省 市 自治區(qū)數(shù)學(xué)會(huì) 解放軍院校協(xié)作中心數(shù)學(xué)聯(lián)席會(huì) 為了培養(yǎng)人才 服務(wù)教學(xué) 促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè) 增加大學(xué) 生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 培養(yǎng)分析 解決問題的能力 發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才 為 青年學(xué)子提供一個(gè)展示基礎(chǔ)知識(shí)和思維能力的舞臺(tái) 經(jīng)中國數(shù)學(xué)會(huì)批準(zhǔn) 第三屆 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽由上海同濟(jì)大學(xué)承辦 經(jīng)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)研究確定 本屆比賽分區(qū)預(yù)賽在2011年10月29 日 星期六 上午9 00 11 30舉行 決賽于2012年3月份的第三周周六上午在 同濟(jì)大學(xué)舉行 現(xiàn)將競賽的具體事宜通知如下 1 參賽對(duì)象 大學(xué)本科二年級(jí)或二年級(jí)以上的在校大學(xué)生 競賽分為非數(shù)學(xué)專業(yè)組和數(shù)學(xué) 專業(yè)組 含數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生 數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生不得參 加非數(shù)學(xué)專業(yè)組的競賽 2 競賽內(nèi)容 非數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容為本科高等數(shù)學(xué)內(nèi)容 高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為理工科本科教 學(xué)大綱規(guī)定的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容含數(shù)學(xué)分析 高等代 數(shù)和解析幾何 均為數(shù)學(xué)專業(yè)本科教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容 所占比重分別為 50 35 及15 左右 3 獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)立 設(shè)賽區(qū) 一般以省 市 自治區(qū)作為賽區(qū) 軍隊(duì)院校為一個(gè)獨(dú)立賽區(qū) 獎(jiǎng)與 全國決賽獎(jiǎng) 賽區(qū)獎(jiǎng) 按照重點(diǎn)學(xué)校與非重點(diǎn)學(xué)校 數(shù)學(xué)類專業(yè)與非數(shù)學(xué)類專業(yè)分別評(píng)獎(jiǎng) 每個(gè)賽區(qū)的獲獎(jiǎng)總名額不超過總參賽人數(shù)的15 其中一等獎(jiǎng) 二等獎(jiǎng) 三等獎(jiǎng) 分別占各類獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的20 30 50 冠名為 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 賽區(qū) 等獎(jiǎng) 決賽獎(jiǎng) 參加全國決賽的總?cè)藬?shù)不超過300人 每個(gè)賽區(qū)參加決賽的名額不 少于5名 其中數(shù)學(xué)類2名 非數(shù)學(xué)類3名 由各賽區(qū)在賽區(qū)一等獎(jiǎng)獲得者中推選 最后入選名單由競賽組織委員會(huì)批準(zhǔn) 決賽階段的評(píng)獎(jiǎng)等級(jí)按絕對(duì)分?jǐn)?shù)評(píng)獎(jiǎng) 分區(qū)預(yù)賽和決賽的獲獎(jiǎng)證書均加蓋 中國數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì) 的公章 獲獎(jiǎng)證 書由承辦單位統(tǒng)一印制 每份獲獎(jiǎng)證書 承辦單位收取工本費(fèi)5元 4 命題 閱卷 評(píng)獎(jiǎng)工作 分區(qū)預(yù)賽和決賽的試題由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)統(tǒng)一組織專家命題 分區(qū)預(yù)賽的試卷印刷 保密 閱卷 評(píng)獎(jiǎng)工作 由各個(gè)賽區(qū)統(tǒng)一安排 由各賽區(qū) 的競賽負(fù)責(zé)人統(tǒng)一部署 各賽區(qū)在考試結(jié)束后 當(dāng)堂密封試卷 及時(shí)送交到賽區(qū) 指定試卷評(píng)閱點(diǎn)集中閱卷 評(píng)獎(jiǎng)工作由各賽區(qū)自行組織 決賽階段的試卷印刷 保密 評(píng)閱工作在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)領(lǐng)導(dǎo)下 由承辦單位組織進(jìn)行 評(píng)獎(jiǎng)工作由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)組織專家組評(píng)定 5 決賽試題和獲獎(jiǎng)名單將在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站上公布 中國數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì) 二 一一年五月十二日 一 函數(shù) 極限 連續(xù) 競賽大綱 1 函數(shù)的概念及表示法 簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立 2 函數(shù)的性質(zhì) 有界性 單調(diào)性 周期性和奇偶性 3 復(fù)合函數(shù) 反函數(shù) 分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 5 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系 無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較 6 極限的四則運(yùn)算 極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 7 函數(shù)的連續(xù)性 含左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性 9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性 最大值和最小值定理 介值定理 1 1實(shí)值函數(shù) xF和 xG都定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上 并且滿足 pxF ax lim qxG px lim 討論 是否有qxFG ax lim 若成立則證明 若不成立 請(qǐng)舉例說明 1 2設(shè)0 a n x滿足 0 0 x 2 1 0 2 1 1 n x a xx n nn 證明 n x 收斂 并求 n n x lim 1 3設(shè) 2 11 0 1 2 nnn xxxx n 試計(jì)算 12 111 111 lim n xxx n 1 4設(shè) 3 1 113 0 1 2 n n x nx xxn 求lim n n x 1 5求極限 n n nn 22 2cossinlim 1 6求極限 lim021 2 bbb n nn n 1 7設(shè) n k n xknxknxa 1 01 求 n n a lim 1 8求不等于0的數(shù) 使得200611 2005 lim nnnI n 1 9設(shè) n a滿足 n k k n la n 1 1 lim 證明 1 若0 1 lim nn n aan 則lan n lim 2 若lan n lim 則0 2 1 naakI n k kk n lim 1 10求極限 sin sin lim1 a aa ax xx ax xx ax 1 11求極限 arctan ln arctan lnlimnnnI n 1 1 12若有數(shù)組 n aaa 10 滿足 0 1 22 3 2 2 2 1 1 1 2 2 10 n a n aaaa n n n n 證明 01 2 2 axaxaxa n n lnlnln 在 2 1e內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn) 1 13設(shè)1 xxn在 10中的根為 Nnan 試證明 nan1 1 14 2 2 1 1 n nk n k x 求 n n x lim 1 15設(shè)0 i a 求 n n m nn n aaa 21 lim 1 16求 1n n a的和 其中1 1 a 21 211 nn aaaa 1 17 1 3 2 1 111 n n x x xxx sin sin sin sin lim 1 18 xx x x x x cosln ln arctancosln lim 21 4 2 0 1 19 tanlim n n n 2 4 1 20 sin lim1 2 n n 1 21 lim0 21 i x n xx n a n aaa 1 22設(shè)4 1 x 2 1 1 1 n n n x x x 求 n n x lim 1 23設(shè) n nn n x xxf 2 1 2 0 x 求 lim n n xf 1 24已知函數(shù) 0 4 0 2 1 2 x x x x xx xf sin cos 求 xf的間斷點(diǎn) 并說明其類型 二 一元函數(shù)微分學(xué) 競賽大綱 1 導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù) 性之間的關(guān)系 平面曲線的切線和法線 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 一階微分形式的不變性 3 復(fù)合函數(shù) 反函數(shù) 隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 4 高階導(dǎo)數(shù)的概念 分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 某些簡單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) 5 微分中值定理 包括羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰 勒定理 6 洛必達(dá) L Hospital 法則與求未定式極限 7 函數(shù)的極值 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)圖形的凹凸性 拐點(diǎn)及漸近線 水平 鉛 直和斜漸近線 函數(shù)圖形的描繪 8 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用 9 弧微分 曲率 曲率半徑 2 1設(shè)函數(shù)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 0 f存在 且0 0 f 0 0 f 0 0 xa x x xf xg 1 確定a 使 xg處處連續(xù) 2 對(duì)以上所確定的a 證明 xg具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 2 2設(shè) xf在0 x的鄰域具有二階導(dǎo)數(shù) 且 3 1 0 1e x xf x x x lim 試求 0f 0 f 及 0 f 2 3設(shè)函數(shù) f x在點(diǎn)0 x 處有定義 0 1f 且 2 ln 1 sin 01 lim0 x xx f x xe 證明 函數(shù) f x在點(diǎn)0 x 處可導(dǎo) 并求 0 f 2 4設(shè)函數(shù) 1 1 0 x f xxx 證明 存在常數(shù)A B 使得當(dāng)0 x 時(shí) 恒 有 22 f xeAxBxo x 并求常數(shù)A B 2 5設(shè) f x在 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0fx 1 證明 對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)x 存在唯一的 0 1 xx 試計(jì)算 12 111 111 lim n xxx n 2 8設(shè) 3 1 113 0 1 2 n n x nx xxn 求lim n n x 2 9設(shè)函數(shù) f x在區(qū)間 a b上連續(xù) 在 a b內(nèi)可導(dǎo) 且 0f a f b 2 0 a b f a f m為 常數(shù) 又 0f af b 證明 2 8 max m a x b f xba 2 11設(shè) xf在 上可微 且存在常數(shù) 212211 kkbkbk qp 且111 qp 則 00 ba q b p a ab qp 2 14已知函數(shù) f x在 0 1 上三階可導(dǎo) 且 0 1 1 0 0 0fff 證明 0 1 x 0 1 使 2 1 2 3 1 xx f xxf 2 15設(shè)函數(shù) f x在 0 1 上二階可導(dǎo) 且滿足 1fx f x在區(qū)間 0 1 內(nèi)取 得最大值 1 4 證明 0 1 1ff 2 16設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 f x和 fx 在 內(nèi)有界 證明 fx 在 內(nèi)有界 2 17設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)三階可導(dǎo) 且 f x和 fx 在 內(nèi)有界 證明 fx 和 fx 在 內(nèi)有界 2 18設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù) 并且 0 f xM 2 fxM x 證明 02 2fxM M x 2 19設(shè)0ab 證明 不等式 22 2lnln1aba b a abab R 2 26求 1 23 sin 0 lim 3 xxx x x eee 2 27已知 xf具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) 且2 1 0 x xf x cos lim 求 0f 2 28設(shè) xf在點(diǎn) 0 x的某領(lǐng)域內(nèi)有五階導(dǎo)數(shù) 且 0 0 4 000 xfxfxfxf 而0 0 5 xf 問 0 x是否為 xf的極值點(diǎn) 0 x 0 xf 的拐點(diǎn) 2 29設(shè)1 0 x xf x lim 且0 xf 證明 xxf 2 30設(shè)0 x 0 2 x 有 2121 xfxfxxf bfaf 則方程0 xf 在 ba內(nèi)至少有一個(gè)根 2 37設(shè) xf在 ba上連續(xù) 在 ba上可微 且0 bfaf 則在 ba上 任一連續(xù)函數(shù) x 有 ba 使得0 ff 2 38設(shè) xf在 a上連續(xù) 在 a上可導(dǎo) 且1 xf 若0 af 證 明 方程0 xf在 afaa 內(nèi)有唯一實(shí)根 2 39設(shè) xf在 21上連續(xù) 在 21內(nèi)可導(dǎo) 且 2 1 1 f 22 f 證明 存 在 21 使得 f f 2 2 40設(shè) xf在 ba上連續(xù) 在 ba內(nèi)可導(dǎo) 且1 bfaf 證明 存在 ba 使得1 ffe 2 41設(shè) xf在 10上連續(xù) 在 10內(nèi)可導(dǎo) 且00 f 對(duì)于 10 x 有 xfxf 證明 在 10上0 xf 2 42設(shè) xf在 10上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且有010 ff Axf 10 x 證明 2 A xf 2 43設(shè) xf在 20上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且10 f 22 f 01 f 證明 在 20內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得3 f 2 44設(shè) f x在 0 1 上具有二階導(dǎo)數(shù) 且滿足條件 f xa fxb 其中 a b都是非負(fù)常數(shù) c是 0 1 內(nèi)的任一點(diǎn) 證明 2 2 b fca 2 45設(shè)0 2 1 2 1 1 0 1 0 3 fffCf 證明 1 0 使24 f 2 46設(shè) xf在 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且Axf x lim 有限 0 limxf x 證明 0 lim limxfxf xx 2 47證明 n p n n nnn p n p p np p p lnln 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 pn 2 48 n x nxxx x coscoscoslim 21 1 2 0 2 49 arctan arctanlim 1 2 n a n a n n 2 50 2 22 0 2 11 2 1 xex xx x xsin cos lim 2 51設(shè)函數(shù) xyy 由方程1222 223 xxyyy確定 求 xyy 的駐點(diǎn) 并判斷它是否為極值點(diǎn) 2 52如圖所示 設(shè)河寬為a 一條船從岸邊一點(diǎn)O出發(fā)駛向?qū)Π?船頭總是指 向?qū)Π杜c點(diǎn)O相對(duì)的一點(diǎn)B 假設(shè)在靜水中船速為常數(shù) 1 V 河流中水的流速為常 數(shù) 2 V 試求船過河所走的路線 曲線方程 并討論在什么條件下 1 船能到達(dá)對(duì)岸 2 船能到達(dá)點(diǎn)B 三 一元函數(shù)積分學(xué) 競賽大綱 1 原函數(shù)和不定積分的概念 2 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 3 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 變上限定積分確定的函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù) 牛頓 萊布尼茨 Newton Leibniz 公式 4 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 5 有理函數(shù) 三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 6 廣義積分 7 定積分的應(yīng)用 平面圖形的面積 平面曲線的弧長 旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè) 面積 平行截面面積為已知的立體體積 功 引力 壓力及函數(shù)的平均 值 3 1計(jì)算不定積分dx x xx I 2 2 1 1 ln 3 2計(jì)算 cos 3 sin 5 dx xx 3 3設(shè) f x在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0fx 滿足關(guān)系式 11 00 0f x dxxf x dx 證明 f x在 0 1 上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) 3 4設(shè) yf x 是區(qū)間 0 1 上的正值連續(xù)函數(shù) 1 證明 存在 0 1 使得在區(qū)間 0 上以 f 為高的矩形面積 等 于在區(qū)間 1 上以 yf x 為曲邊的曲邊梯形面積 2 如果 f x在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 2 f x x fx 證明 1 中的 是唯 一的 3 5設(shè)在 內(nèi) 函數(shù) f x連續(xù) 0 x g xf xf t dt 單調(diào)減少 證明 0f x 3 6設(shè)函數(shù) f x在 a b上二階連續(xù)可導(dǎo) 證明 存在 a b 使 3 224 b b a a b a f x dxba ff 3 7設(shè)函數(shù) f x在 a b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 在 a b內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0f af b 0 b a f x dx 證明 1 在 a b內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 ff 2 在 a b內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 ff 3 8設(shè) 函 數(shù) f x在 0 1 上 有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 數(shù) 且 0 1 0ff 證 明 1 1 4 0 0 1 max x f x dxfx 3 9設(shè)函數(shù) f x在 0 內(nèi)可微 且lim 0 x f xfx 證明 lim 0 x f x 3 10計(jì)算反常積分 2 22 1 2 0 x e x dx 3 11計(jì)算定積分 2 1 ln 1 1 0 x x Idx 3 12計(jì)算 2 0 f x x dx 其中 2 2 1 1 tan x u f xdu 3 13設(shè) 2 1 arcsin xxf及00 f 求 1 0 dxxf 3 14設(shè) 2 cos 2 0 x x Adx 將積分 2 sin cos 1 0 xx x dx 表示成A的表達(dá)式 3 15求定積分 2 4 1 sin 1 cos x x xe dx 3 16設(shè) f x g x都是 0 a上的連續(xù)函數(shù) 且對(duì)任意 0 xa 恒有 f xf ax g xg axk 其中k為常數(shù) 證明 2 00 aa k f x g x dxf x dx 3 17求定積分 4 2 2 0 tan n n Ixdx 3 18計(jì)算極限 3 22222 1 lim 122 1 1 n n nnnnn 3 19求極限 lim 222 21nn n n n n n n 3 20求 n n n n nn 1 1 2 1 1 1 lim 3 21求 2 22 1 lim n n nj n j 3 22 f x在 0 1 上可導(dǎo) 且 0 0f 又 f x滿足關(guān)系 1 0 25fxf x dx 求 f x 3 23求 所 有 0 上 的 正 連 續(xù) 函 數(shù) g x 使 得0 x 有 22 11 2 00 xx x g tdtg t dt 3 24問 是否存在區(qū)間 0 1 上連續(xù)的正函數(shù) f x 使得下面的三個(gè)式子同時(shí)成 立 111 22 000 1 f x dxxf x dxax f x dxa 其中a為常數(shù) 3 25設(shè) fx 在 0 1 上連續(xù) 且 0 1 0ff 求證 1 11 1 2 00 1 f x dxx xfx dx 2 1 1 12 001 max x f x dxfx 3 26設(shè) f x在 0 2 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 0fx 求證 對(duì)任意自然數(shù) n有 2 2 0 sin 2 0 n f xnxdxff 3 27設(shè) f x為 0 1 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) 且 2 0 12 x fxf t dt 證明 1f xx 0 1 x 3 28設(shè) f x在 0 1 上 可 導(dǎo) 0 1fx 且 0 0f 證 明 11 23 00 f x dxfx dx 3 29設(shè)1a 求 1 1 x I axa e dx 的最大值 3 30設(shè) xfxF是的一個(gè)原函數(shù) 且1 0 FxxfxF2cos 求dxxf 0 3 31設(shè) xf在 0 上 可 導(dǎo) 0 0 f 且 其 反 函 數(shù) 為 xg 若 0 2 xf x exdttg 求 xf 3 32計(jì)算dx xdx d I n e 1 2 1 cos ln 其中n為自然數(shù) 3 33設(shè) xf在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 1 0 0 0 xff 求證 dxxfdxxf 1 0 32 1 0 3 34設(shè) xyy 是由方程xyxy 2 所確定的隱函數(shù) 試求 yx dx I 3 3 35求不定積分 dxxI222 其中有n重 3 36設(shè) xf是 上嚴(yán)格遞增的可微函數(shù) 且 xfxF xg是 xf 的反函數(shù) 用 xF xg表示 xg的原函數(shù) xG 3 37設(shè)有拋物線 0 2 1 1 1 2 1 1 adx xa x 3 40求極限 n n n n nnn 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1lim 3 41求 1111 lim 23 x nnnnnnnn n 3 42設(shè) 10Cxf 則有 1 0 3 1 000 6 1 dxxfdxdydttfyfxf xy 3 43設(shè) xf在 ba上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 0 bfaf 且 b a dxxf1 2 則有 4 1 222 b a b a dxxfxdxxf 3 44設(shè) xf在 0上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù) 證明 x dttftx 0 22 03 3 45設(shè) xf在 上 一 階 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 且 有 dxxfx 22 dxxf 2 證明 1 04 2 1 2 2 1 22 xdttfttfxxf xx 2 02 2 1 2 2 1 222 xdxxfdxxfxdxxf 3 46求 x x dt tx I 0 sin lim 3 47設(shè) xf在 1上可微 11 f 若有 xxfxxf11 22 則 4 1 a xxa dx I 3 49確定cba 使得0 1 2 0 c dt t t xax x b x ln sin lim 3 50求極限 n i n n knkn 1 4 1 lim 3 51設(shè) x n Nntdtttxf 0 2 sin 證明 x0時(shí) 32 1 nn xf 3 52設(shè) xf在 022 aaa上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 計(jì)算 dtatfatf a I a a a lim 2 04 1 3 53計(jì)算dxx x x x x 1 1 2 4 2 5 1 sin cos sin 3 54計(jì)算積分dx x xn 2 0 12 sin sin 3 55計(jì)算積分 0 2 11 1 dx xxn 3 56設(shè) xf在 ba上連續(xù)且單調(diào)增加 證明 b a b a dxxf ba dxxxf 2 3 57設(shè) xf在 ba上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 證明 b abxa b a xfdxxfdxxf ab max 1 3 58設(shè) xf在 20上連續(xù) 且0 xf 證明 對(duì)任意n有 sin 02 2 2 0 ff n nxdxxf 3 59設(shè)實(shí)值函數(shù) xF滿足11 F 并且對(duì)于1 x 若 xFx xF 22 1 證明 limxF x 存在 并且小于 4 1 3 60設(shè) 2 Cuf 且dzxyzfyxF y x 求 yxFx 3 61假設(shè)曲線 1 L 2 1xy 01 x x軸和y所圍成的平面區(qū)域被曲線 2 L 2 axy 分為面積相等的的兩部分 其中a是大于零的常數(shù) 試確定a的值 3 62求曲線 sin 2yxx x 與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn) 體體積 3 63設(shè) f x在區(qū)間 連續(xù) 0 1 d 0 d 2 x ax x a F xf tt aG xf tt a 試解答下列問題 1 用 G x表示 F x 2 求 F x 3 求證 0 lim a F xf x 4 設(shè) f x在 xa xa 內(nèi)的最大值和最小值分別是M m 求證 F xf xMm 四 多元函數(shù)微分學(xué) 競賽大綱 1 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 2 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 3 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分 全微分存在的必要條件和充分條件 4 多元復(fù)合函數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 5 二階偏導(dǎo)數(shù) 方向?qū)?shù)和梯度 6 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 7 二元函數(shù)的二階泰勒公式 8 多元函數(shù)極值和條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 多元函數(shù)的最大值 最小 值及其簡單應(yīng)用 4 1設(shè) zz x y 二階連續(xù)可微 并且滿足方程 222 22 20 zzz x y xy ABC 其中 2 0BAC 若令 uxyvxy 試確定常數(shù) 的值 使原方程 變?yōu)?2 0 z u v 并求出 z x y 4 2設(shè) 00 0 arctanarctan 22 xy xy y x y x y x yxf 當(dāng)0 xy時(shí) 求 yxfxy 4 3設(shè)函數(shù) yxu滿足0 yyxx uu與xxxu 2 2 2 xxxux 求 2 xxuxx 2 xxuxy 2 xxuyy x u表示u對(duì)x的一階偏導(dǎo)數(shù) 其他類推 4 4在曲面 2222 0 x yy zz xxyz 上點(diǎn) 0 0 0 處的切平面內(nèi)求一點(diǎn)P 使點(diǎn)P到點(diǎn)A 2 1 2 和點(diǎn)B 3 1 2 的距離的平方和最小 4 5求ba 的值 使得包含在圓11 22 yx 內(nèi)部的橢圓1 2 2 2 2 b y a x 的面積最 小 0 a bab 0 4 6設(shè)橢球面 222 31xyz 為 在第一卦限內(nèi)的切平面 求 1 使 與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小的切點(diǎn)坐標(biāo) 2 使 與三坐標(biāo)平面截出的三角形面積最小的切點(diǎn)坐標(biāo) 4 7設(shè)函數(shù) f u可導(dǎo)且 0f u 證明 旋轉(zhuǎn)曲面 22 zfxy 的法線與轉(zhuǎn) 軸相交 4 8設(shè) f x y在 2 R中連續(xù) 0 0 0f f x y存在偏導(dǎo)數(shù) 且當(dāng) 22 5xy 時(shí) 1gradf 證明 1 2 5f 4 9在平面上給一邊長分別為a b c的三角形 在它上面做無數(shù)個(gè)定高h(yuǎn)的 錐體 求側(cè)面積最小的錐體 4 10設(shè)ABC 為正三角形 邊長為a P為ABC 內(nèi)任意一點(diǎn) 由P向三邊引 垂線與三邊的交點(diǎn)分別為D E F 試求DEF 的面積最大值 4 11設(shè) 函 數(shù) f x y可 微 2 0 1 x fx yf x yf 且 滿 足 1 0 cot 0 lim n n fy y fy n e 求 f x y 五 多元函數(shù)積分學(xué) 競賽大綱 1 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分的計(jì)算 直角坐標(biāo) 極坐 標(biāo) 三重積分的計(jì)算 直角坐標(biāo) 柱面坐標(biāo) 球面坐標(biāo) 2 兩類曲線積分的概念 性質(zhì)及計(jì)算 兩類曲線積分的關(guān)系 3 格林 Green 公式 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 已知二元函數(shù)全微 分求原函數(shù) 4 兩類曲面積分的概念 性質(zhì)及計(jì)算 兩類曲面積分的關(guān)系 5 高斯 Gauss 公式 斯托克斯 Stokes 公式 散度和旋度的概念及計(jì)算 6 重積分 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用 平面圖形的面積 立體圖形的體積 曲面面積 弧長 質(zhì)量 質(zhì)心 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 引力 功及流量等 5 1計(jì)算下述積分 2 d d D yxxy 其中 D 是矩形區(qū)域x1 20 y 5 2設(shè) 0Cxf且滿足方程 222 2 4 224 2 1 tyx t dxdyyxfetf 求 tf 5 3將均勻的拋物形體 22 1xyz 放在水平桌面上 證明 當(dāng)形體處于穩(wěn) 定平衡時(shí) 它的軸線與桌面的夾角為 3 2 arctan 5 4設(shè) 22 1D xy 證明 22 3 612 1655 sin D xydxdy 5 5設(shè) 02 02Dx xxy 1 計(jì)算1 D Bxydxdy 2 設(shè) f x y 在D上連續(xù) 且有 0 1 DD f x y dxdyxyf x y dxdy 試證 存在 D 使得 1 B f 5 6設(shè)函數(shù) f x在 0 1 上連續(xù) 證明 1 00 1 y f xfy edxedy 5 7已知 2 2 0 sin x dxa 求 2 sin D xy dxdy 其中 1 1Dx yxy 5 8計(jì)算 ab yaxb dyedx 00 max 2222 5 9計(jì)算曲線積分dyxyfdxyxyf ACB sin cos 其中ACB為連接 點(diǎn) 2 A與點(diǎn) 4 3 B的線段AB之下方的任意路線 且該路線與線段AB所圍成 的圖形的面積為1 xf是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù) 5 10求曲線積分dyaxyedxyxbyeI xx L cos sin 其中a與b為 正常數(shù) L為從點(diǎn)A 2a 0 沿曲線 2 2xaxy 到點(diǎn)O 0 0 的弧 5 11計(jì) 算 xy dxdyyz xdydz 其 中 為 柱 面 22 1xy 及 平 面 0 3zz 所圍成的空間閉區(qū)域 的邊界曲面的外側(cè) 5 12求曲線 ln ln 1xy 所圍成的平面圖形的面積 5 13設(shè)曲面S為曲線 e 0 y z x 1 2y 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下 側(cè) 計(jì)算曲面積分 2 4 d d2 d d 1 d d S Izxy zzz xzx y 5 14計(jì)算 2 xyzdV 其中 2 22 222 1 y xz abc 5 15計(jì)算 22 2 3 Ixyds 其中 2222 0 xyza xyz 0a 5 16計(jì)算 222 23 xyzdS 其中 222 2xyzy 5 17已知函數(shù) 2222 22 0 xyzxy f x y z zxy 1 0 n n n a n na 的斂散性 6 2設(shè)函數(shù) f x在0 x 的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 0 lim0 f x x x 證明 級(jí)數(shù) 1 1 n n f 絕對(duì)收斂 6 3證明 級(jí)數(shù) 1 1 2 n n n n 條件收斂 6 4設(shè) 0 sin 1 2 n n axx dx n 求 2 1 n n a n 的值 6 5討論級(jí)數(shù) 11111 321 24 2 1 xxx n n 的收斂性 6 6設(shè)函數(shù) x 在 連續(xù) 周期為1 且 1 0 0 dxx 函數(shù) xf在 1 0 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 設(shè) 1 0 dxnxxfan 求證 級(jí)數(shù) 1 2 n n a收斂 6 7對(duì)實(shí)數(shù)p 討論級(jí)數(shù) ln 2 n px nn n 的收斂域 6 8設(shè)正數(shù)列 n a單調(diào)增加 證明 級(jí)數(shù) 1 1 n a n 收斂的充要條件是級(jí)數(shù) 12 1 n n aaa n 收斂 6 9設(shè) 012 4 1 1 2 nn aaan na n 1 求冪級(jí)數(shù) 0 n n n a x 的和函數(shù) S x 2 求 S x的極值 6 10求冪級(jí)數(shù) 1 3 31 0 n n n n x 的收斂域與和函數(shù) 并求 1 31 0 n n n 的和 6 11求冪級(jí)數(shù) 4 4 0 n x n n 的和函數(shù) S x 6 12將函數(shù) 1 2 1 2 arctan x x f x 展開成x的冪級(jí)數(shù) 并求級(jí)數(shù) 1 21 0 n n n 的和 6 13求 21 1 lim 2 n nn nkk n k 6 14設(shè) 1 sin 1 p n x n x n adx 1 2 n 其中p為正數(shù) 證明 1 當(dāng)1p 時(shí) 級(jí)數(shù) 0 n n a 絕對(duì)收斂 2 當(dāng)01p 時(shí) 級(jí)數(shù) 0 n n a 收斂 6 15分析級(jí)數(shù) 3 2 1 sin 1 n n n 的收斂性 6 16設(shè)函數(shù) F x是函數(shù) f x的一個(gè)原函數(shù) 且 0 1 F cos2F x f xx 0 1 2 n n af x dx n 求冪級(jí)數(shù) 2 1 2 n an n n x 的收斂域與和函數(shù) 6 17求冪級(jí)數(shù) n n n a x 0 1 1 的收斂區(qū)間 并討論端點(diǎn)的斂散性 其中 0 1 n n na 發(fā) 散 且 0 1 Nnaa nn 時(shí) 2 1 nn an na 且 01 4 1aa 1 求冪級(jí)數(shù) 0 n n n a x 的和函數(shù) S x 2 求和函數(shù) S x 的極值 6 22設(shè)0 1 2 n un 且lim1 n n n u 求證 級(jí)數(shù) 1 1 1 11 1 n n nn uu