極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全.doc

極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上（即曲線上的點(diǎn)在方程上，方程的解都在曲線上），那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.練習(xí)1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D2下列在曲線上的點(diǎn)是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一（由上面練習(xí)（1、3可知）。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)方程如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則。這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度（稱為旋轉(zhuǎn)角）。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時(shí)，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)，過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同。北京高考近幾年真題（2014年北京.3題5分）曲線（為參數(shù)）的對(duì)稱中心（ ）在直線上 在直線上 在直線上 在直線上（2012年北京.9題5分）直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （2014年北京.3題5分）答案：B（2012年北京.9題5分）答案：2二、極坐標(biāo)方程1.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位及它的方向如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作.一般地,不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為(0, )(R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化例題、直角坐標(biāo)為(，)、（0，2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為_、 極坐標(biāo)為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是(),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)所在的象限最小正角.（1） 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化1、直角坐標(biāo)為(，)、（0，2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為_、 極坐標(biāo)為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）（2）方程的轉(zhuǎn)化2、在極坐標(biāo)系中，直線: sin2，則直線在直角坐標(biāo)系中方程為 在極坐標(biāo)系中,圓O: 4,則在直角坐標(biāo)系中，圓的方程 直線l與圓O相交，所截得的弦長(zhǎng)為_答案：(1)因?yàn)?所以直線的直角坐標(biāo)方程為,即,圓的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知圓心的坐標(biāo)是,半徑是4,圓心到直線的距離是.所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)是.3、若曲線的極坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_4、求滿足條件的曲線極坐標(biāo)方程(1)直線過點(diǎn)M(1，0)且垂直于x軸 (2)直線過M（0，a）且平行于x軸 (3)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為r (4)當(dāng)圓心位于M ，半徑為2： 3.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)(2)過點(diǎn),與極軸垂直的直線過點(diǎn),與極軸平行的直線注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程點(diǎn)可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿足方程.4圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A B C D 4化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D 5點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D 6極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個(gè)圓 B兩條直線 C一條直線和一個(gè)圓 D一個(gè)圓北京高考近幾年真題（2017年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓22cos4sin+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），則|AP|的最小值為 （2016年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（2015年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 （2013年北京.09題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線sin 2的距離等于_【2011北京理，3】3在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)系是( ) A B C D（2017年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓22cos4sin+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），則|AP|的最小值為 【分析】先將圓的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離的最小值【解答】解：設(shè)圓22cos4sin+4=0為圓C，將圓C的極坐標(biāo)方程化為：x2+y22x4y+4=0，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x1）2+（y2）2=1；如圖，當(dāng)A在CP與C的交點(diǎn)Q處時(shí)，|AP|最小為：|AP|min=|CP|rC=21=1，故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程和圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值，難度不大（2016年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB|【解答】解：直線cossin1=0化為y直線xy1=0圓=2cos化為2=2cos，x2+y2=2x，配方為（x1）2+y2=1，可得圓心C（1，0），半徑r=1則圓心C在直線上，|AB|=2故答案為：2（2015年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式距離公式即可得出【解答】解：點(diǎn)P（2，）化為P直線（cos+sin）=6化為點(diǎn)P到直線的距