小學(xué)奧數(shù)專題之-幾何專題.doc

小學(xué)奧數(shù)幾何專題1、（）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD與AD垂直，則四邊形的面積等于多少？ 思 路：顯然四邊形ABCD的面積將由三角形ABD與三角形BCD的面積求和得到三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通過(guò)勾股定理求出，進(jìn)而可以判定三角形BCD的形狀，然后求其面積這樣看來(lái)，BD的長(zhǎng)度是求解本題的關(guān)鍵 解：由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD =ABAD=1312=25=5，所以BD=5三角形BCD中BD=5，BC=3，CD=4，又3十4=5，故三角形BCD是以BD為斜邊的直角三角形，BC與CD垂直那么： =+=1252+432=36 即四邊形ABCD的面積是362、（）如圖四邊形土地的總面積是48平方米，三條線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是7平方米和9平方米那么最大的一個(gè)三角形的面積是_平方米；79分析:剩下兩個(gè)三角形的面積和是 48-7-9=32 ，是右側(cè)兩個(gè)三角形面積和的2 倍，故左側(cè)三角形面積是右側(cè)對(duì)應(yīng)三角形面積的2倍，最大三角形面積是 92=18。3（）將下圖中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實(shí)線圖形面積與原三角形面積之比為2:3。已知右圖中3個(gè)陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少？ 思 路：小升初中常把分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)，比例問(wèn)題處理成份數(shù)問(wèn)題，這個(gè)思想一定要養(yǎng)成。 解：粗線面積：黃面積=2：3 綠色面積是折疊后的重疊部分，減少的部分就是因?yàn)橹丿B才變少的，這樣可以設(shè)總共3份，后來(lái)粗線變2份，減少的綠色部分為1份，所以陰影部分為2-1=1份，4、（）求下圖中陰影部分的面積： 【解】如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。所以陰影面積：444-442=4.56。18,215、（）下圖中陰影部分的面積是多少厘米2？分析與解：本題可以采用一般方法，也就是分別計(jì)算兩塊陰影部分面積，再加起來(lái)，但不如整體考慮好。我們可以運(yùn)用翻折的方法，將左上角一塊陰影部分（弓形）翻折到半圓的右上角（以下圖中虛線為折痕），把兩塊陰影部分合在一起，組成一個(gè)梯形（如下圖所示），這樣計(jì)算就很容易。本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)90，到達(dá)右上角，得到同樣的一個(gè)梯形。6、（）如圖6-1，每一個(gè)小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?【分析與解】 方法一：正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：（N+-1)單位正方形面積，其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：（4+-1)1=6.5(平方厘米)方法二：如下圖，先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積，有=32=1.5， =22=1，=22=1，=22=1，=22=l，=22=1，還有三個(gè)小正方形，所以粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整個(gè)格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5平方厘米7（），已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米?【分析與解】 方法一：因?yàn)镃EFG的邊長(zhǎng)題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有關(guān)設(shè)正方形CEFG的邊長(zhǎng)為x，有：又陰影部分的面積為:(平方厘米).方法二：連接FC，有FC平行與DB，則四邊形BCFD為梯形 有DFB、DBC共底DB，等高，所以這兩個(gè)三角形的面積相等，顯然,DBC的面積(平方厘米) 陰影部分DFB的面積為50平方厘米8、（）用棱長(zhǎng)是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的表面積是多少平方厘米？方法一：思 路：整體看待面積問(wèn)題。解：不管疊多高，上下兩面的表面積總是33；再看上下左右四個(gè)面，都是23+1， 所以，總計(jì)92+74=18+28=46。 方法二：思 路：所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個(gè)正方體，這樣我們知道總共的表面積是：614=64，但總共粘合了18個(gè)面，這樣就減少了181=18，所以剩下的表面積是64-18=46。方法三：直接數(shù)數(shù)。思 路：通過(guò)圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個(gè)面，每個(gè)面面積為1，這樣總共的表面積就是46。9、（）一個(gè)圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6cm的正方體鐵塊后，水面沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊，這時(shí)水面高多少厘米？解：水的體積為722.5=180（cm3），放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-66=32（cm2）的柱體，所以它的高為18032=5（cm）。10、（）有一個(gè)棱長(zhǎng)為1米的立方體，沿長(zhǎng)、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個(gè)小長(zhǎng)方體(見(jiàn)左下圖).這60個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積總和是_平方米. （06年三帆中學(xué)考試題） 【解】原正方體表面積：1166（平方米），一共切了2349（次），每切一次增加2個(gè)面：2平方米。所以表面積： 62924（平方米）二：提高題11、（）圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn)。已知正方形的邊長(zhǎng)為10，那么陰影部分面積是多少？（取3.14.）方法一：陰影面積的“加減法”。思 路：因?yàn)殛幱安糠置娣e不是正規(guī)圖形，所以通過(guò)整個(gè)面積減去空白部分面積來(lái)求解。 解：過(guò)P點(diǎn)向AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形，這樣陰影面積=整個(gè)面積-空白面積=（正方形ABCD+半圓）（三角形+梯形） =（1010+552）-1552+（5+15）52 =51.75總 結(jié)：這種方法是小升初中最常用的方法，一定要學(xué)會(huì)這種處理思路。方法二：面積的“加減法”和“切割法”綜合運(yùn)用思 路：出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時(shí)，注意兩個(gè)考點(diǎn)：1.半葉形 2。1/4圓，所以我們可以先把面積補(bǔ)上再減去補(bǔ)上的面積解：S1=正方形-1/4圓=55-1/455上面陰影面積=三角形APE-S1=1552-55-1/455下面陰影面積=三角形QPF-S2=所以陰影面積=（1552-55-1/455）+（1052-55-1/455）=51.75方法三：面積的“切割法”思 路：出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時(shí)，注意兩個(gè)考點(diǎn)：1.半葉形 2。1/4圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個(gè)我們會(huì)算的規(guī)則圖形 解：半葉形S1=正方形-1/4圓=55-1/455上面陰影面積=三角形ADP+S1=1052+551/455下面陰影面積=三角形QPC+S2=552+551/455陰影面積=（1052+551/455）+（552+551/455）=51.7512、（）如圖，ABCG是47的長(zhǎng)方形，DEFG是210的長(zhǎng)方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？ 方法一：思 路：公共部分的運(yùn)用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共部分是解題的關(guān)鍵。解: GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積-陰影MDE面積=(BCM面積+空白面積)-(MDE面積+空白面積)=三角形BHE面積-長(zhǎng)方形CDEH面積=362-32=3總 結(jié)：對(duì)于公共部分要大膽的進(jìn)行處理,這樣可以把原來(lái)無(wú)關(guān)的面積聯(lián)系起來(lái),達(dá)到解題的目的.拓 展：如圖,已知圓的直徑為20,S1-S2=12,求BD的長(zhǎng)度?方法二：思 路：畫(huà)陰影的兩個(gè)三角形都是直角三角形，而B(niǎo)C和DE均為已知的，所以關(guān)鍵問(wèn)題在于求CM和DM這兩條線段之和CD的長(zhǎng)是易求的，所以只要知道它們的長(zhǎng)度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與DE截成的比例線段求得解: GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。陰影面積差為:422-122=3方法三：連接BD S S =SS =(3423)2=313（）如圖所示，在三角形ABC中，DC3BD，DEEA。若三角形ABC的面積是1，則陰影部分的面積是多少？方法一：思 路：陰影面積是兩個(gè)不在一起的圖形，我們先要通過(guò)等量代換，把兩個(gè)圖形拼成一個(gè)整體解：連接FD，因?yàn)锳E=DE，所以S1=S3，S2=S4，S1+S2=S3+S4，即三角形AFC=三角形FCD，陰影面積等于S3+S4的面積。 又因?yàn)镈C3BD，三角形FDC=3三角形BDF，這樣我們就可以設(shè)三角形DFB為1份，則三角形FDC=3份，三角形AFC=三角形FCD=3份，這樣總共面積分成7份，所以陰影面積為173=3/7 方法一：14、（）如圖，在ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若AED的面積是2平方厘米，那么ABC的面積是多大？分析連結(jié)EC，如圖，因?yàn)锳C3AD，AED 與AEC中AD，AC邊上的高相同，所以AEC的面積是AED面積的3倍，即AEC面積是6平方厘米，用同樣方法可判斷ABC的面積且AEC面積的四倍，所以ABC的面積是6424（平方厘米）。15（）從一塊正方形木板鋸下寬為米的一個(gè)木條以后，剩下的面積是平方米問(wèn)鋸下的木條面積是多少平方米?【分析與解】 我們畫(huà)出示意圖(a)，則剩下的木塊為圖(b)，將4塊剩下的木塊如下拼成一個(gè)正方形得到圖(c)我們稱AB為長(zhǎng)，AD為寬，有長(zhǎng)與寬的差為，所以圖(c)中心的小正方形邊長(zhǎng)為，于是大正方形AEHK的面積為4+=，所以AK長(zhǎng)為 即，長(zhǎng)+寬=，已知：長(zhǎng)-寬=，得長(zhǎng)=，于是鋸去部分的木條的面積為=1(平方米)16、（）將三角形ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍到D；CB邊延長(zhǎng)2倍到E，AC邊延長(zhǎng)3倍到F，如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是_。分析 如圖，連接CD、BF，則三角形ADC的面積 三角形ABC的面積 1；三角形BDE的面積 三角形BCD的面積2 (1+1)2 4；三角形CDF的面積 三角形ADC的面積3 3；三角形BCF的面積 三角形ABC的面積3 3；三角形BEF的面積 三角形BCF的面積2 6；三角形DEF的面積 三角形ABC的面積+三角形ADC的面積+三角形BDE的面積+三角形CDF的面積 +三角形BCF的面積 +三角形BEF的面積 1+1+4+3+3+6 18。17、（）如圖，已知AEAC/5，CDBC/4，BFAB/6，那么等于多少？ 分析這道題與例34很相像，但不同的是沒(méi)有 一個(gè)現(xiàn)成的單位面積。要求出這樣一個(gè)比例，要求我們自己開(kāi)發(fā)一個(gè)單位面積?？刹豢梢跃陀么笕切蔚拿娣e做單位面積呢？如圖，連接AD，那么SCDESACD4/5SABC1/44/5SABC1/5同理，連接BE，那么SAEFSABE5/6SABC1/55/6SABC1/6連接CF，那么SBDFSBCF3/4SABC1/63/4SABC1/8所以11/51/61/818、（）如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)。三角形ABC由這6部分組成，其中比多6平方厘米。那么三角形ABC的面積是多少？分析仔細(xì)觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)和這兩個(gè)三角形形狀是一樣的，并且EF是ACD的中位線，也就是EF：AD1：2。那么和底和高的比都是2：1（形狀相同，高之比和底之比是一樣的），面積比自然就是4：1了。與的面積比為4：1，并且相差6平方厘米，所以的面積6（41）2（平方厘米）的面積248（平方厘米）與的面積均為的二倍，的一半，即4平方厘米；的面積為，即426（平方厘米）的面積為，即8442624（平方厘米）大三角形的面積為的二倍，即24248（平方厘米）。19、（）在ABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3 求BO：OE。OABDCE分析:解法一，用按比例分配的方法，觀察線段BE正好被AD分成BO與OE兩部分，求這兩部分的比，可以AD為底，B，E為頂點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)三角形，BAD與EAD，這樣就可以面積比與線段比之間架一座橋。因?yàn)槿切蜝AD的三個(gè)頂點(diǎn)都在三角形ABC的邊上，因此把三角形ABC的面積看作單位“1”，就可以用來(lái)表示ABD的面積，用AE的長(zhǎng)占AC的1/4，CD的長(zhǎng)占CB的1/3，=來(lái)表示AED的面積。因?yàn)椋篠ABD：SAED=：=8：1，所以BO：OE=8：1。解法二：這幅圖形一看就感覺(jué)它是燕尾定理的基本圖，但2個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步我們要連接OC，因?yàn)锳E:EC=1:3 (條件)所以SAOE/SCOE=1:3 若設(shè)SAOE=x,則SCOE=3xSAOC=4x,根據(jù)燕尾定理 SAOB：SAOC=BD：DC=2:1所以SAOB=8x BO：OE=SAOB：SAOE=8x：x=8:1。20、（）角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（陰影部分）的面積是多少？分析:可以連接NB，由燕尾定理及條件可知CAN：ABN2：1，不妨設(shè)ANM為1份，則ANB為兩份，CAN就是4份，CND也是4份，全圖就是10份，陰影就占全圖的21（）在圖中，直線CF與平行四邊形ABCD的AB邊相交于E點(diǎn)，如果三角形BEF的面積為6平方厘米，求三角形ADE的面積是多少？分析:連結(jié)AC，因?yàn)锳B平得CD，AE是三角形ADE，ACE的公共底邊，所以三角形ADE與三角形ACE的面積相等。又因?yàn)锽C平行于AF，AF是三角形AFC與三角形ABF的公共底邊，所以三角形ACF與三角形ABF的面積相等。從圖中還可看出，三角形ACF的面積三角形ACE的面積+三角形AEF的面積，三角形ABF的面積三角形BEF的面積+三角形AEF的面積。從上面兩個(gè)等式可以得到三角形ACE的面積三角形BEF的面積，而三角形BEF的面積為6平方厘米，所以三角形ACE的面積也為6平方厘米，再根據(jù)三角形ADE與三角形ACE的面積相等可得三角形ADE的面積為6平方厘米。所以三角形ADE的面積為6平方厘米。22、（）圖中的四邊形土地總面積為52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？分析:我們不妨把四個(gè)小三角形看成四個(gè)元素，而不是整體的一部分。如圖，四個(gè)小三角形面積中，兩個(gè)是我們已知的，另兩個(gè)未知。已知的兩個(gè)三角形有共同的底邊，所以它們的高之比就等于面積比6：7；S1與S2同樣有共同的底邊，并且它們的高分別與面積為6和7的兩個(gè)小三角形相同，也就是同樣有6：7的關(guān)系。這樣S1：S26：7；這樣，原來(lái)的問(wèn)題就變成一個(gè)和倍問(wèn)題了。很容易知道S1(5267)(67)618（公頃）S2(5267)(67)721（公頃）這樣四個(gè)三角形的面積分別為6、7、18、21，最大的一個(gè)為21。23、（）如圖，在三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，且BE=AB,已知四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積. （06年清華附中入學(xué)測(cè)試題）【解】根據(jù)定理：=，所以四邊形ACDE的面積就是6-1=5份，這樣三角形3556=42。24、（）四個(gè)完全一樣的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長(zhǎng)度是_米. （06年實(shí)驗(yàn)中學(xué)入學(xué)測(cè)試題）【解】小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，所以外邊四個(gè)面積和是5-1=4，所以每個(gè)三角形的面積是1，這個(gè)圖形是“玄形”，所以長(zhǎng)直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長(zhǎng)，所以求出短邊長(zhǎng)就是1。25、（）如圖在長(zhǎng)方形ABCD中，ABE、ADF、四邊形AECF的面積相等。AEF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的_ (填幾分之幾)。 （03年資源杯試題）?！窘狻窟B接AC，首先ABC和ADC的面積相等，又ABE和ADF的面積相等，則AEC和AFC的面積也相等且等于ABCD的1/6，不難得AEC與ABE的面積之比為1/2，由于這兩個(gè)三角形同高，則EC與BE之比為1/2，同理FC與DF之比也為1/2。從而ECF相當(dāng)于ABCD面積的1/18，而四邊形AECF相當(dāng)于ABCD面積的1/3，從而答案為1/3-1/18=5/18。26、（）如圖1，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，則圖中陰影部分的面積為_(kāi) （01年同方杯）【解】設(shè)圖示兩個(gè)三角形的面積分別為a和b，因?yàn)锳ED面積等于ABCD的一半，則ABE加上DEC的面積也等于ABCD的一半。而FDC的面積也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+陰影面積，可見(jiàn)陰影面積=23+32+12=67。27、（）右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是 平方厘米 【解】：四邊形AFDC的面積=三角形AFD+三角形ADC=（FDAF）+（ACCD）=（FE+ED）AF+（AB+BC）CD= （FEAF+EDAF）+（ABCD+BCCD）。所以陰影面積=四邊形AFDC-三角形AFE三角形BCD=（FEAF+EDAF）+（ABCD+BCCD）-FEAF-BCCD=EDAF+ABCD=87+312=28+18=46。28、（）如圖，三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A和B是兩個(gè)正方形重疊部分，C，D，E是空出的部分，這些部分都是長(zhǎng)方形，其中4個(gè)的面積比是A:B:C:D1:2:3:4。那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比是多少？ ：方 法：29（）如圖，長(zhǎng)方形的面積是小于100的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形，號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的5/12，號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形寬的1/8。那么，圖中陰影部分的面積是多少？方法一：從整除入手，我們可以推出長(zhǎng)方形的面積只能是812=96，再入手就很簡(jiǎn)單可。 解：的面積就是55=25 的面積是11=1 最大的空白正方形面積=（8-1）（8-1）=49 陰影面積=96-49-25-1=2130、（）圖30-10是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】 如下圖所示，為了方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接BG 設(shè)AEG的面積為x，顯然EBG、BFG、FCG的面積均為x，則ABF的面積為3x，即，那么正方形內(nèi)空白部分的面積為. 所以原題中陰影部分面積為 (平