函數不定式極限的洛必達法則.doc

函數不定式極限的洛必達法則需要熟記的幾個重要極限：需要知道的極限四則運算法則：設則（1）（2）（3）（4）注：上式不僅對這種類型的極限成立，它對于，這些類型的極限也都成立。另外，它對數列極限也實用。需要知道的定理:1.若函數在點連續(xù)，2.若函數在點連續(xù)，在點連續(xù)，則復合函數在點連續(xù)。用極限來表述就是如下：注：若復合函數的內函數當時極限為，而或在點處無定義（即為的可去間斷點），又有外函數在點連續(xù)，則我們仍可用上述定理來求復合函數的極限，即有上式不僅對這種類型的極限成立，它對于，這些類型的極限也都成立。比方說： 3.若函數函數當時的極限存在，假設為，即，那么把換成正整數所得到的數列的極限也為，即.注：這個定理為我們求數列的極限提供了一條很好的途徑，它告訴我們在求數列的極限時，可以先求出該數列所對應的函數當時的極限。比方說：，那么目的：能用洛必達法則求“”、“”型不定式極限。當（或）時，函數和都趨于零或都趨于無窮大，此時極限存在（或無窮大）稱為不定式極限對于不定式的極限，不能直接用極限運算法則求得時，可用求導的方法解決。下面介紹的洛必達法則，是求此類極限的有效方法。一、 洛必達法則1“” 型不定式當，時極限稱為“” 型不定式定理1.若(1)，；(2)與在點的附近（點可除外）可導，且；(3) 存在(或無窮大)則=注：上述定理不僅對這種類型的極限成立，它對于，這些類型的極限也都成立。例1. 求解：由洛必達法則知原式=例2. 求 解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 =例5. 求解：原式=例6. 求解:原式=12“”型不定式當，時極限稱為 “” 型不定式定理2 若(1)，；(2)與在點的附近可導，且；(3)存在（若無窮大），則注：上述定理不僅對這種類型的極限成立，它對于，這些類型的極限也都成立。例7求解：原式例8求解：原式例9求（為正整數）解：原式03其它型不定式除了型和型以外，還有其它類型的不定式，它們可先化為、型然后再用洛必達法則求之。例10求分析：這是一個型的不定式極限，利用恒等變形，就可將它轉化為型的不定式極限，然后根據洛比達法則求之即可。解：原式例11求解： 這是未定型，作恒等變形，通過“通分”將轉化為未定型原式=例12.求解：這是型不定式極限，作恒等變形，其指數部分的極限是不定式極限，可先求得，從而，再根據的連續(xù)性知，例13.求解：這是型不定式極限，恒等變形，其指數部分的極限是型不定式極限，可先求得，然后，再根據的連續(xù)性知，.例13.求解：這是型不定式極限，恒等變形，其指數部分的極限是型不定式極限，可先求得， 這里然后，再根據的連續(xù)性知，二、練習： 1.求 2.求 3.求 4.求 .5.求 6.求.7.求 (n為正整數, ) 8.求 9.求 10.求 .1.求 2. 求3.求 4.求三、小結； (1)使用法則前，必須檢驗是否屬于或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；(2)如果有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；(3)當不存在(不包括的情況)時，并不能斷定也不存在，此時應使用其他方法求極限練習解答型例1（E01）求 解 原式例2（E02）求 解 原式例3（E03）求解 例4（E04）求 .解 注: 若求為自然數）則可利用上面求出的函數極限,得.型 例5（E05）求解 例6（E06）求.解 原式例7（E07）求 (n為正整數, )解 反復應用洛必達法則次，得原式注：對數函數、冪函數、指數函數均為當時的無窮大，但它們增大的速度很不一樣，其增大速度比較: 對數函數冪函數指數函數.注: 對數函數、冪函數、指數函數均為當時的無窮大, 但它們增大的速度很不一樣, 冪函數增大的速度遠比對數函數快，而指數函數增大的速度又遠比冪函數快.洛必達法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結合使用, 效果則更好. 例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替換或重要極限時，應盡可能應用，以使運算盡可能簡捷.例8 求 解 注意到則有注: 洛必達法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結合使用, 效果則更好. 例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替換或重要極限時，應盡可能應用，以使運算盡可能簡捷.例9