3 函數的單調性與最大 教案.doc

珠穆朗瑪教育：讓學生達到自己人生的珠峰！珠穆朗瑪數學教案2014-07 數學高三函數的單調性與最大(小)值 1.函數的單調性 (1)單調函數的定義 (2)單調性與單調區(qū)間 如果函數y=f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數,那么就說y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間. (3) 若函數y=f(x)在某個區(qū)間內可導,當f(x)0時,f(x)為增函數;當f(x)0時,f(x)為減函數. 2. 函數的最值1.(2010福建)下列函數f(x)中,滿足“對任意x1,x2(0,+),當x1f(x2)”的是( ) A. f(x)=1/x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1) 答案:A 答案:B 類型一 函數單調性的判定與證明 解題準備:判斷函數的單調性的常見方法有三種:定義法直接法圖象法. 1.用定義法證明函數單調性的步驟: (1)取值:設x1,x2為該區(qū)間內任意的兩個值,且x10; (2)作差變形:作差y=f(x2)-f(x1),并通過因式分解配方有理化等方法,向有利于判斷差值符號的方向變形; (3)定號:確定差值y的符號,當符號不確定時,可考慮分類討論; (4)判斷:根據定義作出結論. 2.直接法:運用已知的結論,直接得到函數的單調性.如一次函數二次函數反比例函數的單調性均可直接說出. 3.圖象法:是根據函數的圖象直觀判斷函數在某個區(qū)間上的單調性的方法. 例1.判斷函數f（x)= （a不為零）在區(qū)間（-1,1）上的單調性.類型二 函數的奇偶性與單調性 解題準備:因為奇函數的圖象關于原點對稱,所以結合圖象可得奇函數在(a,b)與(-b,-a)上的單調性相同.因為偶函數的圖象關于y軸對稱,所以偶函數在(a,b)與(-b,-a)上的單調性相反. 例2.已知f(x)=是奇函數，（1） 求a,b的值（2） 求f(x)的單調區(qū)間（3） 求f(x)（x0)的最值 x21+10,x22+10,x2-x10, 而x1,x20,1時,x1x2-10, 當x1,x20,1時,f(x1)-f(x2)0, 函數y=f(x)是減函數. 又f(x)是奇函數, f(x)在-1,0上是增函數,在(-,-1上是減函數. 又x0,1,u-1,0時,恒有f(x)f(u),等號只在x=u=0時取到,故f(x)在-1,1上是增函數. (3)由(2)知函數f(x)在(0,1)上遞增,在1,+)上遞減,則f(x)在x=1處可取得最大值. f(1)=1/2y， 函數的最大值為1/2,無最小值. 類型三 求函數的最值 解題準備:(1)若函數是二次函數或可化為二次函數型的函數,常用配方法. (2)利用函數的單調性求最值:先判斷函數在給定區(qū)間上的單調性,然后利用單調性求最值. (3)基本不等式法:當函數是分式形式且分子分母不同次時常用此法. (4)導數法:當函數較復雜(如指對數函數與多項式結合)時,一般采用此法. (5)數形結合法:畫出函數圖象,找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義,在圖上找其變化范圍. 例3.已知函數f(x）= 定義域為1,+)（1） 當a=4時，求f(x)的最小值（2） 當a=0.5時，求f(x)的最小值（3） 當a為正數時，求f(x)的最小值類型四 抽象函數的單調性與最值 解題準備:抽象函數是近幾年高考的熱點,研究這類函數性質的根本方法是“賦值”,解題中要靈活應用題目條件賦值轉化或配湊. 【典例4】 函數f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b