上交概率論A卷03下試卷及答案.doc

上海交通大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷 (A) 2003.12.31姓名： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 得分： 一、 判斷題（10分，每題2分）1. 在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)是不可能事件. （ ）2連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與其分布函數(shù)相互唯一確定. （ ）3若隨機(jī)變量與獨(dú)立，且都服從的 (0，1) 分布，則. （ ） 4設(shè)為離散型隨機(jī)變量, 且存在正數(shù)k使得，則的數(shù)學(xué)期望未必存在. （ ） 5在一個(gè)確定的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)樣本容量確定時(shí), 犯第一類錯(cuò)誤的概率與犯第二類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)減少. （ ） 二、 選擇題（15分，每題3分）1. 設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)直到第次才取得 次成功的概率為. （）； （）；（）； （）.2. 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，且，則 . （）； （）； （）； （）.3. 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量的分布函數(shù). （）是連續(xù)函數(shù)； （）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)； （）是階梯函數(shù)； （）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn).4. 設(shè)隨機(jī)變量的方差相關(guān)系數(shù)則方差. （）40； （）34； （）25.6； （）17.6 .5. 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中正確的是. （）； （）；（）； （）.三、 填空題（28分，每題4分）1. 一批電子元件共有100個(gè), 次品率為0.05. 連續(xù)兩次不放回地從中任取一個(gè), 則第二次才取到正品的概率為.2. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 . 3. 設(shè)為總體中抽取的樣本()的均值, 則 . 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 則條件密度函數(shù)為當(dāng) 時(shí) . 5. 設(shè), 則隨機(jī)變量服從的分布為 ( 需寫出自由度 ) . 6. 設(shè)某種保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間（單位：秒），取的樣本，得樣本均值和方差分別為，則的置信度為95%的單側(cè)置信區(qū)間上限為 . 7. 設(shè)的分布律為 1 2 3 已知一個(gè)樣本值，則參數(shù)的極大似然估計(jì)值為 . 四、 計(jì)算題（40分，每題8分） 1. 已知一批產(chǎn)品中96 %是合格品. 檢查產(chǎn)品時(shí)，一合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02；一次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05. 求在被檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率. 2設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布，試求的密度函數(shù). 3某商店出售某種貴重商品. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該商品每周銷售量服從參數(shù)為的泊松分布. 假定各周的銷售量是相互獨(dú)立的. 用中心極限定理計(jì)算該商店一年內(nèi)（52周）售出該商品件數(shù)在50件到70件之間的概率. 4設(shè)總體，為總體的一個(gè)樣本. 求常數(shù) k , 使為s 的無(wú)偏估計(jì)量. 5（1） 根據(jù)長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)，某工廠生產(chǎn)的特種金屬絲的折斷力（單位：kg）. 已知 kg， 現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一大批特種金屬絲中隨機(jī)抽取10個(gè)樣品，測(cè)得樣本均值 kg. 問這批特種金屬絲的平均折斷力可否認(rèn)為是570 kg ？ （） （2）已知維尼綸纖度在正常條件下服從正態(tài)分布. 某日抽取5個(gè)樣品，測(cè)得其纖度為: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 問 這天的纖度的總體方差是否正常？試用作假設(shè)檢驗(yàn). 五、 證明題（7分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從同一貝努利分布. 試證明隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.附表： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表 分布數(shù)值表 t分布數(shù)值表 上海交大概率統(tǒng)計(jì)試卷解析 2003.12.31一. 判斷題1. 是. 在幾何概型中，命題“當(dāng)且僅當(dāng)是不可能事件” 是不成立的. 2. 非. 改變密度函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)上的函數(shù)值，不會(huì)改變分布函數(shù)的取值.3. 非. 由題設(shè)條件可得出，根本不能推出. 4. 非. 由題設(shè)條件可可以證明 絕對(duì)收斂，即必存在.5. 是. 由關(guān)系式 (等式右端為定值) 可予以證明. 二. 選擇題1.（） 2.（） 3.（） 4.（） 5.（）. 三. 填空題1. 19/396 . 2 . . 3. 0.9772 . 4. 當(dāng)時(shí) 5. . 6. 上限為 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 計(jì)算題1. 被查后認(rèn)為是合格品的事件， 抽查的產(chǎn)品為合格品的事件. ， 2. 解一 時(shí)，從而 ；時(shí)，所以解二 時(shí)， ； 時(shí)， 所以 解三 設(shè) 隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為 所以 .3. 設(shè) 為第i周的銷售量, ， 則一年的銷售量為 ，, . 由獨(dú)立同分布的中心極限定理，所求概率為 . 4. 注意到 的相互獨(dú)立性 5. (1) 要檢驗(yàn)的假設(shè)為 檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量 ， 拒絕域?yàn)?. ，落在拒絕域內(nèi)， 故拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為平均折斷力為570 kg . (2) 要檢驗(yàn)的假設(shè)為 檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量 ， 拒絕域?yàn)?或 ， , 落在拒絕域內(nèi)， 故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該天的纖度的總體方差不正常 . 五、 證明題 證一 由