高中數(shù)學(xué)競賽精華(小結(jié)).doc

高中數(shù)學(xué)競賽精華小結(jié)一、三角函數(shù)常用公式由于是講競賽，這里就不再重復(fù)過于基礎(chǔ)的東西，例如六種三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式等等。但是由于現(xiàn)在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎(chǔ)的開始（這些必須熟練掌握）：半角公式：積化和差：和差化積：萬能公式：三倍角公式：二、某些特殊角的三角函數(shù)值除了課本中的以外，還有一些sincostan三、三角函數(shù)求值給出一個(gè)復(fù)雜的式子，要求化簡。這樣的題目經(jīng)?？?，而且一般化出來都是一個(gè)具體值。要熟練應(yīng)用上面的常用式子，個(gè)人認(rèn)為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應(yīng)當(dāng)考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時(shí)候，可以考慮先乘一個(gè)三角函數(shù)，然后利用積化和差化簡，最后再把這個(gè)三角函數(shù)除下去。舉個(gè)例子求值：提示：乘以，化簡后再除下去。求值：來個(gè)復(fù)雜的設(shè)n為正整數(shù)，求證另外這個(gè)題目也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)來解決，在復(fù)數(shù)的那一章節(jié)里再講。四、三角不等式證明最常用的公式一般就是：x為銳角，則；還有就是正余弦的有界性。例求證：x為銳角，sinx+tanx2x設(shè)，且，求乘積的最大值和最小值。注：這個(gè)題目比較難數(shù)列1給遞推式求通項(xiàng)公式(1)常見形式即一般求解方法若p=1，則顯然是以a1為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，若p1，則兩邊同時(shí)加上，變?yōu)轱@然是以為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，其中f(n)不是常數(shù)若p=1，則顯然an=a1+，n2若p1，則兩邊同時(shí)除以pn+1，變形為利用疊加法易得，從而注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬于數(shù)學(xué)競賽中的“高級方法”。(2)不動(dòng)點(diǎn)法當(dāng)f(x)=x時(shí)，x的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：注：我感覺一般非用不動(dòng)點(diǎn)不可的也就這個(gè)了，所以記住它的解法就足夠了。我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復(fù)雜，如果用不動(dòng)點(diǎn)的方法，此題就很容易了令，即，令此方程的兩個(gè)根為x1，x2，若x1=x2則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將p的表達(dá)式記住，p=若x1x2則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將q的表達(dá)式記住，q=(3)特征根法特征根法是專用來求線性遞推式的好方法。先來了解特征方程的一般例子，通過這個(gè)來學(xué)會(huì)使用特征方程。特征方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2則其通項(xiàng)公式為，A、B用待定系數(shù)法求得。特征方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3則其通項(xiàng)公式為，A、B、C用待定系數(shù)法求得。注：通過這兩個(gè)例子我們應(yīng)當(dāng)能夠得到特征方程解線性遞歸式的一般方法，可以試著寫出對于一般線性遞歸式的特征方程和通項(xiàng)公式，鑒于3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數(shù)學(xué)歸納法簡單說就是根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律猜出一個(gè)結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實(shí)在不易。大家應(yīng)當(dāng)都會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法，因此這里不詳細(xì)說了。但需要記得有這樣一個(gè)方法，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以拿出來用。(5)聯(lián)系三角函數(shù)三角函數(shù)是個(gè)很奇妙的東西，看看下面的例子看起來似乎摸不著頭腦，只需聯(lián)系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。注：這需要我們對三角函數(shù)中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。例數(shù)列定義如下：，求通項(xiàng)。注：這個(gè)不太好看出來，試試大膽的猜想，然后去驗(yàn)證。(6)迭代法先了解迭代的含義f右上角的數(shù)字叫做迭代指數(shù)，其中是表示的反函數(shù)再來了解復(fù)合的表示，如果設(shè)，則，就可以將求F(x)的迭代轉(zhuǎn)變?yōu)榍骹(x)的迭代。這個(gè)公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎(chǔ)。而在數(shù)列中我們可以將遞推式看成，因此求通項(xiàng)和求函數(shù)迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項(xiàng)公式。練習(xí)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項(xiàng)公式的常用方法。下面是我的一個(gè)原創(chuàng)題目：已知數(shù)列滿足，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。2數(shù)列求和求和的方法很多，像裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減等等，這些知識(shí)就算單純應(yīng)付高考也應(yīng)該都掌握了，這里不再贅述。主要寫競賽中應(yīng)當(dāng)掌握的方法阿貝爾恒等式。阿貝爾（Abel）恒等式有多種形式，最一般的是其中注：個(gè)人認(rèn)為，掌握這一個(gè)就夠了，當(dāng)然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。Abel恒等式就是給出了一個(gè)新的求和方法。很多時(shí)候能簡化不少。例：假設(shè)，且，求證：計(jì)數(shù)問題1抽屜原則我第一次接觸抽屜原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得，于是我就問同學(xué)，什么是抽屜原則，同學(xué)告訴我，三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。后來才發(fā)現(xiàn)，抽屜原則不只是這么簡單的，它有著廣泛的應(yīng)用以及許多種不同的變形，下面簡單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見形式一，把n+k（k1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)物體。二，把mn+k（k1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有m+1個(gè)物體。三，把m1+m2+mn+k（k1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，那么后在一個(gè)抽屜里至少放入了m1+1個(gè)物體，或在第二個(gè)抽屜里至少放入了m2+1個(gè)物體，或在第n個(gè)抽屜里至少放入了mn+1個(gè)物體四，把m個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，有兩種情況：當(dāng)n|m時(shí)（n|m表示n整除m），一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了個(gè)物體；當(dāng)n不能整除m時(shí)，一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了+1個(gè)物體（x表示不超過x的最大整數(shù)）五，把無窮多個(gè)元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個(gè)元素。注：背下來上面的幾種形式?jīng)]有必要，但應(yīng)當(dāng)清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個(gè)意思。理解它們的含義最重要。在各種競賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會(huì)很明顯的讓人看出來，構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“至少有”“總存在”之類的詞，就暗示著我們：要構(gòu)造抽屜了。從自然數(shù)1，2，3，99，100這100個(gè)數(shù)中隨意取出51個(gè)數(shù)來，求證：其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).用2種顏色涂55共25個(gè)小方格，證明：必有一個(gè)四角同色的矩形出現(xiàn).2容斥原理容斥原理常常使用，其實(shí)說簡單點(diǎn)，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加，最終得到正確結(jié)果。對于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復(fù)的情況。容斥原理基本形式：其中|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。在不大于2004的正整數(shù)中，至少可被3,5,7之一整除？由數(shù)字1，2，3，4，5組成的n位數(shù)，要求n位數(shù)中這五個(gè)數(shù)字每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求所有這種n位數(shù)的個(gè)數(shù)。3遞推方法許多競賽題目正面計(jì)算十分困難，于是我們避開正面計(jì)算，先考慮n-1時(shí)的情況，在計(jì)算n時(shí)的情況比n-1時(shí)的情況增添了多少，然后寫出一個(gè)遞推式，這樣就可以利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解決，但一般要求根據(jù)遞推式求通項(xiàng)的能力要比較強(qiáng)，適合擅長數(shù)列的同學(xué)使用。設(shè)m為大于1的正整數(shù)，數(shù)列an滿足：a1+a2+an模m余0，0ai1，q1且則注：這個(gè)式子成立的前提挺多，不難看出當(dāng)p=q=2時(shí)，這個(gè)式子即為柯西不等式。3排序不等式4琴生不等式首先來了解凸函數(shù)的定義一般的，設(shè)f(x)是定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)如果對于定義域內(nèi)的任意兩數(shù)x1，x2都有則稱f(x)是(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)，一般說的凸函數(shù)，也就是下凸函數(shù)，例如y=x2，從圖像上即可看出是下凸函數(shù)，也不難證明其滿足上述不等式。如果對于某一函數(shù)上述不等式的等號(hào)總是不能成立，則稱此函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。注：凸函數(shù)的定義為我們提供了極為方便地證明一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)的方法。這個(gè)方法經(jīng)常使用。此外利用二階求導(dǎo)也可以判斷一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)，凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是非負(fù)數(shù)。凸函數(shù)具有的常用性質(zhì)性質(zhì)一：對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)f(x)，有注：此即常說的琴生不等式。性質(zhì)二：加權(quán)的琴生不等式對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，若，則注：加權(quán)琴生不等式很重要，當(dāng)時(shí)，即為原始的琴生不等式。注：另外，對于上面有關(guān)凸函數(shù)和琴生不等式的部分，如果將不等號(hào)全部反向，則得到的便是凹函數(shù)，以及凹函數(shù)的琴生不等式。例設(shè)xi0（i=1,2,n），求證：注：不僅要用琴生不等式，注意知識(shí)綜合利用。5利用二次函數(shù)的性質(zhì)一般來說，許多題目