北京市東城區(qū)2015-2016學年八年級上期末數(shù)學試卷含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2015年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的 1下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ） A B C D 2下列計算正確的是（ ） A x+x2= x2x3=（ 2= x9x3=下列式子為最簡二次根式的是（ ） A B C D 4如果 有意義，那么 x 的取值范圍是（ ） A x 2 B x2 C x2 D x 2 5如圖，在 ， 0， 分 D，如果 么 E 等于（ ） A 2 3 4 5如圖的圖形面積由以下哪個公式表示（ ） A b2=a（ a b） +b（ a b） B（ a b） 2=2ab+（ a+b） 2=ab+ a+b）（ a b） 7若分式： 的值為 0，則（ ） A x=1 B x= 1 C x=1 D x1 第 2 頁（共 19 頁） 8若 x =1，則 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 4 9如圖， ， C， D 是 中點， 垂直平分線分別交 、 O、 F，則圖中全等三角形的對數(shù)是（ ） A 1 對 B 2 對 C 3 對 D 4 對 10如圖，正方形 面積為 12， 等邊三角形，點 E 在正方形 ，在對角線 有一點 P，使 E 最小，則這個最小值為（ ） A B 2 C 2 D 二、填空題 11中國女藥學家屠呦呦獲 2015 年諾貝爾醫(yī)學獎，她的突出貢獻是創(chuàng)制新型抗瘧藥青蒿素和雙氫青蒿素，這是中國醫(yī)學界迄今為止獲得的最高獎項已知顯微鏡下的某種瘧原蟲平均長度為 ，該長度用科學記數(shù)法表示為 12如圖， C，點 E，點 D 分別在 ，要使 添加的條件是 （添加一個條件即可） 13若 （ m 3） x+16 是一個完全平方式，那么 m 應為 第 3 頁（共 19 頁） 14如圖， 斜邊 中垂線 于點 M， A=15， ，則 15觀察下列關于自然數(shù)的等式： 32 412 52 422 72 432=13 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題： （ 1）完成第四個等式： ； （ 2）寫出你猜想的第 n 個等式 （用含 n 的式子表示） 三、解答題解答題應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程 16因式分解： （ 1） 49； （ 2） 36 17計算： （ 1） （ 2x+3y） 2（ 2x+y）（ 2x y） 2y （ 2） 18先化簡，再求值： （ x 2+ ），其中 x= 1 19解方程： 20如圖，點 C， D 在線段 ， F， A= F求證： 21如圖，在 ， 分 第 4 頁（共 19 頁） （ 1）作圖：作 的垂直平分線分別交 點 E， F（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （ 2）在（ 1）的條件下，連結(jié) A=60， 4，求 度數(shù) 22在 ， A=60， 對的邊 b， c 滿足 b2+4（ b+c） +8=0 （ 1）證明： 邊長為 2 的等邊三角形 （ 2）若 b， c 兩邊上的中線 于點 O，求 值 23 2015 年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利 70 周年某商家用 1200 元購進了一批抗戰(zhàn)主題紀念衫，上市后果然供不應求，商家又用 2800 元購進了第二批這種紀念衫，所購數(shù)量是第一批購進量的 2 倍，但單價貴了 5 元 （ 1）該商家購進的第一批紀念衫是多少件？ （ 2）若兩批紀念衫按相 同的標價銷售，最后剩下 20 件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批紀念衫全部售完利潤率不低于 16%（不考慮其它因素），那么每件紀念衫的標價至少是多少元？ 24如圖 ，在 ， D、 E 分別是 的點， C， E，然后將 順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接 到圖 ，將 別延長至 M、 N，使 到圖 ，請解答下列問題： （ 1）在圖 中， 數(shù)量關系是 ； （ 2）在圖 中，猜想 數(shù)量關系， 數(shù)量關系，并證明你的猜想 第 5 頁（共 19 頁） 第 6 頁（共 19 頁） 2015年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的 1下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ） A B C D 【考點】 軸對稱圖形 【分析】 根據(jù)軸對稱圖形的概念求解 【解答】 解： A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項正確 故選 D 【點評】 本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合 2下列計算正確的是（ ） A x+x2= x2x3=（ 2= x9x3=考點】 同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方 【專題】 計算題 【分析】 A、原式不能合并，錯誤； B、原式利用同底數(shù)冪的乘法法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷； C、原式利用冪的乘方運算法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷； D、原式利用同底數(shù)冪的除法法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷 【解答】 解： A、原式不能合并，錯誤； B、原式 =誤； C、原式 =確； D、原式 =誤 故選 C 【點評】 此題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵 3下列式子為最簡二次根式的是（ ） A B C D 【考點】 最簡二次根式 【分析】 判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次 根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是 第 7 頁（共 19 頁） 【解答】 解： A、 被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故 A 正確； B、 被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故 B 錯誤； C、 被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故 C 錯誤； D、 被開方數(shù)含分母，故 D 錯誤； 故選 ： A 【點評】 本題考查最簡二次根式的定義根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式 4如果 有意義，那么 x 的取值范圍是（ ） A x 2 B x2 C x2 D x 2 【考點】 二次根式有意義的條件 【分析】 根據(jù)被開方數(shù)大于等于 0 列式計算即可得解 【解答】 解：由題意得， x 20， 解得 x2 故選 B 【點評】 本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù) 5如圖，在 ， 0， 分 D，如果 么 E 等于（ ） A 2 3 4 5考點】 角平分線的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 E，求出 E=可得出答案 【解答】 解： 在 ， 0， 分 D， E， E=E= 故選 B 【點評】 本題考查了角平分線性質(zhì)的 應用，能根據(jù)性質(zhì)得出 E 是解此題的關鍵，注意：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 6如圖的圖形面積由以下哪個公式表示（ ） A b2=a（ a b） +b（ a b） B（ a b） 2=2ab+（ a+b） 2=ab+ a+b）（ a b） 第 8 頁（共 19 頁） 【考點】 完全平方公式的幾何背景 【分析】 通過圖中幾個圖形的面積的關系來進行推導 【解答】 解：根據(jù)圖形可得出：大正方形面積為：（ a+b） 2，大正方形面 積 =4 個小圖形的面積和 =a2+b2+ab+ 可以得到公式：（ a+b） 2=ab+ 故選： C 【點評】 本題考查了完全平方公式的推導過程，運用圖形的面積表示是解題的關鍵 7若分式： 的值為 0，則（ ） A x=1 B x= 1 C x=1 D x1 【考點】 分式的值為零的條件 【專題】 計算題 【分析】 要使分式的值為 0，一定要分子的值為 0 并且分母的值不為 0 【解答】 解：由 1=0 解得： x=1， 又 x 10 即 x1， x= 1， 故選 B 【點評】 要注意使分子的值為 0 時，同時要分母的值不能為 0，否則就屬于沒有意義了 8若 x =1，則 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 4 【考點】 完全平方公式；代數(shù)式求值 【專題】 計算題；整體思想；構(gòu)造法；分式 【分析】 將代數(shù)式依據(jù)完全平方公式配方成 ，然后整體代入可得 【解答】 解：當 x =1 時， = = =12+2 =3 故答案為： A 【點評】 本題主要考查完全平方公式應用和整體代入求代數(shù)式值得能力，將原代數(shù)式配方是關鍵，屬中檔題 9如圖， ， C， D 是 中點， 垂直平分線分別交 、 O、 F，則圖中全等三角形的對數(shù) 是（ ） 第 9 頁（共 19 頁） A 1 對 B 2 對 C 3 對 D 4 對 【考點】 全等三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 【專題】 壓軸題 【分析】 根據(jù)已知條件 “C， D 為 點 ”，得出 后再由 垂直平分線分別交 點 E、 O、 F，推出 而根據(jù) “ “到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏 【解答】 解： C， D 為 點， D， 0， 在 ， ， 直平分 C， E， 在 ， ， 在 ， ， 在 ， ， 故選： D 【點 評】 本題考查的是全等三角形的判定方法；這是一道考試常見題，易錯點是漏掉 類題可以先根據(jù)直觀判斷得出可能全等的所有三角形，然后從已知條件入手，分析推理，對結(jié)論一個個進行論證 10如圖，正方形 面積為 12， 等邊三角形，點 E 在正方形 ，在對角線 有一點 P，使 E 最小，則這個最小值為（ ） 第 10 頁（共 19 頁） A B 2 C 2 D 【考點】 軸對稱 方形的性質(zhì) 【分析】 由于點 B 與 D 關于 稱，所以 交點即為 P 點此時 E= 等邊 邊， B，由正方形 面積為 12，可求出 長，從而得出結(jié)果 【解答】 解：由題意，可得 于點 P 點 B 與 D 關于 稱， B， E=E=小 正方形 面積為 12， 又 等邊三角形， B=2 故所求最小值為 2 故選 B 【點評】 此題考查了軸對稱最短路線問題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點P 的位置是解決問題的關鍵 二、填空題 11 中國女藥學家屠呦呦獲 2015 年諾貝爾醫(yī)學獎，她的突出貢獻是創(chuàng)制新型抗瘧藥青蒿素和雙氫青蒿素，這是中國醫(yī)學界迄今為止獲得的最高獎項已知顯微鏡下的某種瘧原蟲平均長度為 ，該長度用科學記數(shù)法表示為 0 6 【考點】 科學記數(shù)法 表示較小的數(shù) 【分析】 絕對值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為 a10 n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定 【解答】 解： 0 6， 故答案 為： 0 6 【點評】 本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為 a10 n，其中 1|a| 10， n 為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定 第 11 頁（共 19 頁） 12如圖， C，點 E，點 D 分別在 ，要使 添加的條件是 B= C （添加一個條件即可） 【考點】 全等三角形的判定 【分析】 根據(jù) “行添加條件 【解答】 解： C， 當添加 B= C 時，可利用 “斷 故答案為 B= C 【點評】 本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊 13若 （ m 3） x+16 是一個完全平方式，那么 m 應為 1 或 7 【考點】 完全平方式 【分析】 本題考查的是完全平方式，這里首末兩項是 x 和 4 的平方，那么中間項為加上或減去 x 和 4 的乘積的 2 倍，故 2（ m 3） =8，解得 m 的值即可 【解答】 解：由于（ x4） 2=x+16=（ m 3） x+16， 2（ m 3） =8， 解得 m= 1 或 m=7 故答案為： 1； 7 【點評】 本題考查了完全平方式的應用，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)的平方和，加上或減去它們乘積的 2 倍，在已知首尾兩項式子的情況下，可求出中間項的代數(shù)式，列出相應等式，進而求出相應數(shù)值 14如圖， 斜邊 中垂線 于點 M， A=15， ，則 1 【考點】 線段垂直平分線的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形 【分析】 先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出 M， A=15，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出 度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)求出 長，進而可得出結(jié)論 【解答】 解： 斜邊 中垂線 于點 M， A=15， ， M=2， A=15， A+ 0， 第 12 頁（共 19 頁） 2=1， = = ， S C= 21=1 故答案為： 1 【點評】 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離 相等是解答此題的關鍵 15觀察下列關于自然數(shù)的等式： 32 412 52 422 72 432=13 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題： （ 1）完成第四個等式： 92 442=17 ； （ 2）寫出你猜想的第 n 個等式 （ 2n+1） 2 4n+1 （用含 n 的式子表示） 【考點】 規(guī)律型：數(shù)字的變化類 【分析】 由 三個等式可得，被減數(shù)是從 3 開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從 1 開始連續(xù)自然數(shù)的平方的 4 倍，計算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的 2 倍減 1，由此規(guī)律得出答案即可 【解答】 解：（ 1） 32 412=5 52 422=9 72 432=13 所以第四個等式： 92 442=17； （ 2）第 n 個等式為：（ 2n+1） 2 4n+1 故答案為： 92 442=17；（ 2n+1） 2 4n+1 【點評】 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題 三、解答題解答題應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程 16因式分解： （ 1） 49； （ 2） 36 【考點】 提公因式法與公式法的綜合運用 【分 析】 （ 1）直接利用平方差公式分解因式即可； （ 2）直接提取公因式 3a，進而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】 解：（ 1） 49=（ 2x+3）（ 2x 3）； （ 2） 363a（ 2xy+ =3a（ x y） 2 【點評】 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題關鍵 17計算： 第 13 頁（共 19 頁） （ 1） （ 2x+3y） 2（ 2x+y）（ 2x y） 2y （ 2） 【考點】 二次根式的混合運算；整 式的混合運算 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）利用乘法公式把括號內(nèi)展開，然后合并后進行整式的除法運算； （ 2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進行二次根式的除法運算 【解答】 解：（ 1）原式 =（ 424x2+2y =（ 1202y =6x+5y； （ 2）原式 =（ 4 2 +12 ） 2 =14 2 =7 【點評】 本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍也考查了整式的混合運算 18先化簡，再求值： （ x 2+ ），其中 x= 1 【考點】 分式的化簡求值 【分析】 先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把 x 的值代入進行計算即可 【解答】 解：原式 = = = ， 當 x= 1 時，原式 = = = 【點評】 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵 19解方程： 【考點】 解分式方程 【專題】 計算題 第 14 頁（共 19 頁） 【分析】 分 式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x（ x+2） 1=4， 去括號得： x 1=4， 解得： x= ， 經(jīng)檢驗 x= 是分式方程的解 故原方程的解是 x= 【點評】 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “轉(zhuǎn)化思想 ”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解解 分式方程一定注意要驗根 20如圖，點 C， D 在線段 ， F， A= F求證： 【考點】 全等三角形的判定 【專題】 證明題 【分析】 首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 B= 利用 定 可 【解答】 證明： B= 在 ， 【點評】 本題考查三角形全 等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有： 注意： 能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角 21如圖，在 ， 分 （ 1）作圖：作 的垂直平分線分別交 點 E， F（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （ 2）在（ 1）的條件下，連結(jié) A=60， 4，求 度數(shù) 第 15 頁（共 19 頁） 【考點】 作圖 復雜作圖；線段垂直平分線的性質(zhì) 【分析】 （ 1）分別以 B、 C 為圓心，大于 為半徑畫弧，兩弧交于兩點，過兩點畫直線，與 交點記作 E， F； （ 2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得 后利用三角形內(nèi)角和定理可得 度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得 F，進而可得 4，再根據(jù)角的和差關系可得答案 【解答】 解：（ 1）如圖所示： （ 2） 分 4， 8， 4， A=60， 80 60 48=72， 垂直平分線， F， 4， 2 24=48 【點評】 此題主要考查了復雜作圖，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，關鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等 22在 ， A=60， 對的邊 b， c 滿足 b2+4（ b+c） +8=0 （ 1）證明： 邊長為 2 的等邊三角形 （ 2）若 b， c 兩邊上的中線 于點 O，求 值 【考點】 等邊三角形的判定；因式分解的應用；三角形的重心 【分析】 （ 1）由 b2+2（ b+c） +2=0，可以判定 b=c， A=60可以確定 邊長為1 的等邊三角形； 第 16 頁（共 19 頁） （ 2）連接 D、 E 分別是邊 上的中點，所以 可得到答案 【解答】 解：（ 1） b2+4（ b+c） +8=0， （ b 2） 2+（ c 2） 2=0， b=c=2， 又 A=60， 所以 邊長為 2 的等邊三角形； （ 2）連接 點 D、 E 分別是邊 上的中點， 所以 = = 【點評】 本題考查因式分解的應用以及相似三角形的綜合應用，解答本題的關在在于熟記公式的轉(zhuǎn)化和相似三角形的判定方法和性質(zhì)的綜合應用 23 2015 年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利 70 周年某商家用 1200 元購進了一批抗戰(zhàn)主題紀念衫，上市后果然供不應求，商家又用 2800 元購進了第二批這種紀念衫，所購數(shù)量是第一批購進量的 2 倍，但 單價貴了 5 元 （ 1）該商家購進的第一批紀念衫是多少件？ （ 2）若