一元二次方程根的分布(WORD含答案)

1 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 一 知識要點一 知識要點 二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點的0 2 cbxaxcbxaxy 2 x 橫坐標 所以研究方程的實根的情況 可從的圖象上進行研0 2 cbxaxcbxaxy 2 究 若在內(nèi)研究方程的實根情況 只需考察函數(shù)與 0 2 cbxaxcbxaxy 2 軸交點個數(shù)及交點橫坐標的符號 根據(jù)判別式以及韋達定理 由的系數(shù)可判xcbxaxy 2 斷出的符號 從而判斷出實根的情況 2121 xxxx 若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程 則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確 nm0 2 cbxax 定 1 二次方程有且只有一個實根屬于 二次方程有且只有一個實根屬于的充要條件的充要條件 nm 若其中一個是方程的根 則由韋達定理可求出另一根 nm 若不是二次方程的根 二次函數(shù)的圖象有以下幾種nm 0 2 cbxaxcbxaxxf 2 可能 1 2 21 0 xnxma nxmxa 21 0 3 4 21 0 xnxma nxmxa 21 0 由圖象可以看出 在處的值與在處的值符號總是相反 即 xfmx mfnx nf 反之 若 的圖象的相對位置只能是圖中四種情況之0 nfmf0 nfmf xf 一 所以得出結(jié)論 若都不是方程的根 記 則有且nm 0 0 2 acbxaxcbxaxxf 2 0 xf 只有一個實根屬于的充要條件是 nm0 nfmf x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x 2 2 二次方程兩個根都屬于 二次方程兩個根都屬于的充要條件的充要條件 nm 方程的兩個實根都屬于 則二次函數(shù)的 0 0 2 acbcax nmcbxaxxf 2 圖象與軸有兩個交點或相切于點 且兩個交點或切點的橫坐標都大于小于 它的圖象有xmn 以下幾種情形 1 2 nxxma 21 0nxxma 21 0 3 4 nxxma 21 0nxxma 21 0 由此可得出結(jié)論 方程的兩個實根都屬于區(qū)間的充要條件是 0 0 2 acbxax nm n a b m naf maf acb 2 0 0 04 2 這里 cbxaxxf 2 同理可得出 3 二次方程 二次方程的兩個實根分別在區(qū)間的兩個實根分別在區(qū)間的兩側(cè) 一根小于的兩側(cè) 一根小于 另一根大 另一根大0 2 cbxax nmm 于于 的充要條件是 的充要條件是 n 0 0 naf maf 這里這里 cbxaxxf 2 4 二次方程 二次方程的兩個實根都在的兩個實根都在的右側(cè)的充要條件是 的右側(cè)的充要條件是 0 2 cbxax nm x y O mn 1 x 2 xx y O mn 21 xx x y O mn 1 x 2 x x y Omn 21 xx 3 n a b naf acb 2 0 04 2 二次方程二次方程的兩個實根都在的兩個實根都在的左側(cè) 兩根都小于的左側(cè) 兩根都小于 的充要條件是 的充要條件是 0 2 cbxax nmm m a b maf acb 2 0 04 2 這里這里 cbxaxxf 2 二 例題選講二 例題選講 例 設(shè)關(guān)于的方程R x bb xx 024 1 1 若方程有實數(shù)解 求實數(shù) b 的取值范圍 2 當方程有實數(shù)解時 討論方程實根的個數(shù) 并求出方程的解 例 已知二次函數(shù) f x ax2 bx c a 0 若方程 f x x 無實根 求證 方程 f f x x 也無實根 例 設(shè) 若 求實數(shù)的取值范圍 2 4 A 2 40 Bx xax BA a 4 變式 已知方程 x2 3m 1 x 3m 2 0 的兩個根都屬于 3 3 且其中至少有一個根小于 1 求 m 的取值范圍 例 已知方程有兩個負根 求的取值范圍 0 32 1 24 2 Rmmxmx m 例 求實數(shù)的范圍 使關(guān)于的方程 mx062 1 2 2 mxmx 有兩個實根 且一個比 大 一個比 小 有兩個實根 且滿足 410 至少有一個正根 5 例 已知關(guān)于 x 的二次方程 x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有兩根 其中一根在區(qū)間 1 0 內(nèi) 另一根在區(qū)間 1 2 內(nèi) 求 m 的范圍 2 若方程兩根均在區(qū)間 0 1 內(nèi) 求 m 的范圍 變式 已知方程 2x2 2 2a 1 x a 2 0 的兩個根在 3 與 3 之間 求 a 的取值范圍 例 已知二次方程的兩個根都小于 1 求的取值范圍 02 12 2 mxmmxm 6 變式 如果二次函數(shù) y mx2 m 3 x 1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側(cè) 試求 m 的取值范圍 例 已知是實數(shù) 函數(shù) 如果函數(shù)在區(qū)間上有零a 2 223f xaxxa yf x 11 點 求的取值范圍 a 二次方程實根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況 在其它的一些場合下 也可以適當運用 下面再舉兩個例子 例 求函數(shù) y 1 x0 求證 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 wxckt wxckt 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 m r m q m p 12 1 pf 0 1 m m 2 方程 f x 0 在 0 1 內(nèi)恒有解 9 參考答案參考答案 例 分析 可用換元法 設(shè) 原方程化為二次方程 但要注意 t x 202 2 btt0 t 故原方程有解并不等價于方程有解 而等價于方程在內(nèi)02 2 btt02 2 btt 0 有解 另外 方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題 它的原理是 若關(guān)于 的方程有解 則的值域 x xfa xfa 解 1 原方程為 1 24 xx b 11 12 22 2 24 221 xxxxx 時方程有實數(shù)解 1 b當 2 當時 方程有唯一解 1 b12 x 0 x 當時 1 bbb xx 1121 12 2 的解為 bb xx 112 011 02 11 log2bx 令 0111011 bbb 的解為 bb x 112 01時當 11 log2bx 綜合 得 1 當時原方程有兩解 01 b 11 log2bx 2 當時 原方程有唯一解 10 bb或 11 log2bx 3 當時 原方程無解 1 b 例 證明 方程 f x x 即 f x x ax2 b 1 x c 0 無實根 f x x 仍是二次函數(shù) f x x 0 仍是 二次方程 它無實根即 b 1 2 4ac 0 若 a 0 則函數(shù) y f x x 的圖象在 x 軸上方 y 0 即 f x x 0 恒成立 即 f x x 對任意實數(shù) x 恒成立 對 f x 有 f f x f x x 恒成立 f f x x 無實根 若 a 0 函數(shù) y f x x 的圖象在 x 軸下方 y 0 即 f x x 0 恒成立 對任意實數(shù) x f x 0 恒成立 對實數(shù) f x 有 f f x f x x 恒成立 10 f f x x 無實根 綜上可知 當 f x x 無實根時 方程 f f x x 也無實根 例 分析 觀察到方程有兩個實根 故此題不妨用求根公式來解決 2 40 xax 解 因有兩個實根 2 40 xax 2 1 4 24 aa x 2 2 4 24 aa x 故等價于且 即BA 1 2x 2 4x 且 2 42 24 aa 2 44 24 aa 解之得 03a 變式 解 原方程即為 x 1 x 3m 2 0 所以方程兩根分別為 1 2 3m 而 1 在 3 1 上 則 由題意 另一根滿足 3 2 3m 3 m 1 3 5 3 例 解 依題意有 032 0 1 0 32 44 1 4 2 m m mm 11 m 例 解 設(shè) 62 1 2 2 mxmxxfy 依題意有 即 得 0 2 f062 1 44 mm1 m 依題意有 解得 01410 4 054 1 062 0 mf mf mf 4 5 5 7 m 方程至少有一個正根 則有三種可能 有兩個正根 此時可得 即 0 2 1 2 0 0 0 m f 1 3 51 m m mm或 13 m 有一個正根 一個負根 此時可得 得 0 0 f3 m 有一個正根 另一根為 此時可得 0 1 2 026 m m 3 m 綜上所述 得 1 m 例 解 1 條件說明拋物線 f x x2 2mx 2m 1 與 x 軸的交點分別在區(qū)間 1 0 和 1 2 內(nèi) 則 11 6 5 2 1 2 1 056 2 024 1 02 1 012 0 m m Rm m mf mf f mf 2 1 6 5 m 實數(shù) m 的范圍是 2 1 6 5 2 據(jù)拋物線與 x 軸交點落在區(qū)間 0 1 內(nèi) 列不等式組 10 0 0 1 0 0 m f f m 1 01 2121 2 1 2 1 m mm m m 或 1 22 實數(shù) m 的范圍是 21 2 1 變式 解 設(shè) f x 2x2 2 2a 1 x a 2 則原方程兩根都屬于 3 3 的充要條件為 m 或 m0 1 當 m 0 時 二次函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點且分別在 y 軸兩側(cè) 符合題意 2 當 m 0 時 則解得 0 m 1 0 3 0 m m 綜上所述 m 的取值范圍是 m m 1 且 m 0 例 解析 1 函數(shù)在區(qū)間 1 1 上有零點 即方程 0 在 1 1 yf x 2 223f xaxxa 上有解 a 0 時 不符合題意 所以 a 0 方程 f x 0 在 1 1 上有解或 1 1 0ff 13 或或或 a 1 1 0 1 0 48 3 0 1 1 1 af af aa a 15a 37 2 a 5a 37 2 a 所以實數(shù) a 的取值范圍是或 a 1 37 2 a 解析 2 a 0 時 不符合題意 所以 a 0 又 0 在 1 1 上有解 在 1 1 上有解 2 223f xaxxa 2 21 32xax 在 1 1 上有解 問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 1 1 上的值域 設(shè) t 3 2x x 2 121 32 x ax 2 21 32 x y x 1 1 則 t 1 5 23xt 2 1 3 217 6 22 t yt tt 設(shè) 時 此函數(shù) g t 單調(diào)遞減 時 2 2 77 t g ttg t tt 1 7 t 0g t 7 5 t 0 此函數(shù) g t 單調(diào)遞增 y 的取值范圍是 0 在 1 1 g t 73 1 2 223f xaxxa 上有解 或 1 a 73 1 1a 37 2 a 例 解 原函數(shù)即為 y x2 3x 2 x 1 yx2 3y 1 x 2y 1 0 由題意 關(guān)于的方程 在 1 2 上有實根 x 易知 y 0 令 f x yx2 3y 1 x 2y 1 則 f 1 2 0 f 2 3 0 所以方程 在 1 2 上有實根 當且僅當 解得 y 5 2 6 原函數(shù)的值域為 5 2 6 例 10 解 以 0 0 1 1 為端點的線段所在直線為 y x 代入拋物線方程得 x 2x2 mx m 即 2x2 m 1 x m 0 由題意 方程 在區(qū)間 0 1 上有實根 令 f x 2x2 m 1 x m 則當且僅當 f 0 f 1 0 或 m 0 或 m 3 2且 m 0 m2 6m 1 0 1 m 0 2 故 m 的取值范圍為 0 0 3 2 2 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 1 解 易知 x1 1 是方程的一個根 則另一根為 x2 所以原方程有且僅有一個實 m 4 3m 1 根屬于 1 1 當且僅當 1 1 即 m m 的取值范圍為 m 4 3m 1 3 2 5 4 3 2 5 4 2 解 令 當時 x t2 1 x 2 0 t 由于是一一映射的函數(shù) 所以在上有兩個值 則 在上有兩個對應(yīng)的 x t2 x 1 t 2 0 值 因而方程在 0 2 上有兩個不等實根 其充要條件為0 12 2 mtmmt 14 4 2 2 12 0 3 0 29 2 0 1 04 12 2 22 m m mm m mm 由 1 得 4 1 m 由 2 得 0 m 由 3 得 或 0 m 9 2 m 由 4 得 2 1 6 1 m 即的取值范圍為 4 1 9 2 mm 4 1 9 2 3 解 設(shè) f x 由于 f x 是二次函數(shù) 所以 2m 1 0 即 m 1 2 12 2 mmxxm 1 2 f x 0 在 1 2 上有且僅有一個實根當且僅當 f 1 f 2 0 5m 3 m 2 0 m 2 3 5 綜上得 m 的取值范圍是 2 3 5 1 2 1 2 4 令二次函數(shù) f x m 1 x2 3m 4 x m 1 則 m 1 0 即 m 1 f x 0 的兩個實根均在 1 1 上 當且僅當 0 1 1 0 1 1 1 22 43 1 0 1 1 4 43 2 fm fm m m mmm 5 4 5 11212 5 11212 4 mm或 m 的取值范圍為 5 4 5 11212 5 11212 4 mmmm 5 解 令 f x x2 a 1 x 1 則滿足題意當且僅當 解得 a0 所以 pf 0 1 m m 2 由題意 得 f 0 r f 1 p q r 當 p 0 時 由 1 知 f 0 1 m m 若 r 0 則 f 0 0 又 f 0