自動控制原理（第2版） 第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2)

自動控制原理 有志者事競成 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 of 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù) 遞函數(shù)的定義 傳遞傳遞函數(shù)的基本性質(zhì) 控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會遇到如下的困難： 1） 微分方程式的階次一高 ， 求解就有難度 ， 且計(jì)算的工作量大 。 2） 對于控制系統(tǒng)的分析 ， 不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應(yīng) ， 而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 、參數(shù)與其性能間的關(guān)系 。 對于后者的要求 ， 顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的 。 在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應(yīng)曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動態(tài)過程中的主要特征，能夠判別某些參數(shù)的改變或校正裝置的加入對系統(tǒng)性能的影響。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 下面以一個簡單的 明卷積積分的應(yīng)用。 已知一 其中輸入電壓為 ，輸出為電容兩端的充電電壓 。 由基爾霍夫定律得 因?yàn)?， 則上式便改寫為 這就是該電路的微分方程式。 方程兩端進(jìn)行拉氏變換 c)()()0()( s U 遞函數(shù) (定義 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若 則有 )0(1)(11)( 其中， )(*0 r )0()1()(00)0( 則有 )(11)( 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 () 11)()(R C 始電壓 為 零 時，電路 輸出函數(shù) 的拉氏變換函數(shù)與 輸入函數(shù) 拉氏變換之比，是一個只與電路結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，稱為 傳遞函數(shù) 。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 式中， 為系統(tǒng)的輸入量； 為系統(tǒng)的輸出量。 在零初始條件下， 對上式進(jìn)行拉氏變換得 )()()()()()()()(1111011110)()()()( 11101110 設(shè)線性定常數(shù)系統(tǒng)的微分方程式為 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為 與 之比，即 )()()( )()( )()( )(11101110)()()(于是得 其中 在 零初始條件 ( )下，線性定常系統(tǒng) 輸出量 的拉氏變換與引起該輸出的 輸入量 的拉氏變換之比。 據(jù)此得出線性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數(shù)的定義： 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即 t 0 時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為 0 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2方法一 方法二 運(yùn)算法 )(1)(1)()(2211)()()(2 R C 傳遞函數(shù)的求法 先列寫系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求取 畫出運(yùn)算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\(yùn)算阻抗，利用電路分析方法求取。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 適用于線性定常系統(tǒng) 傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律 只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān) 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入與輸出之間的關(guān)系。對于多輸入 多輸出的系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關(guān)系。 遞函數(shù)的基本性質(zhì) 傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng) g(t). 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g t L C s L G s R s L G s 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)矩陣 描述輸出與輸入間的關(guān)系 )()()()()( 2121111 )()()()()( 2221212 )()()()()()()()(212221121121)()( )()()()()()()()()()()(222112112121，大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) g(t)， 就可以根據(jù)卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入 r(t)作用下的輸出響應(yīng) ， 即 因?yàn)?tt 0 )()()()()()()( )()()()( 求取系統(tǒng)時域響應(yīng)的兩種方法 ： 1. 對 r(t)拉式變換得到 R(s),由 得到 C(s)，然后進(jìn)行拉式反變換得到 c(t). 2. 由傳遞函數(shù)的拉式反變換得到 g(t),由 得到 c(t). )()()( )()()( 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 11)()()(求取該電路在單位階躍輸入時的響應(yīng)。 )(1 tu r 11 1( ) ( ) e t G 0 01( ) ( ) ( ) d e e t g t ()1()1(1)( (1)()()(方法 1 方法 2 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2 )t(u)t(t)t( dt)t(iC)t(u o 1)t(u)t(t(t(22112 s)s(U)s(求初始電流為電容初始電壓為若 )t(u),(i),(u),t()t(u 01再反變換即可。則若初始值均為零解 ,)R C s(s)s(U,: 初態(tài)下的拉氏變換得：現(xiàn)在對微分方程求非零)t(u os)(u)s()( )R C s(s 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)輸出響應(yīng)大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 N(s)=0 系統(tǒng)的 特征方程 ， 特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。 N(s)中 ！從微分方程的角度看，此時相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。 K 系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。 )()()( 1110 . .)( 1110 . .)(當(dāng) s=0時 系統(tǒng)的 放大系數(shù) 或 增益 )0(傳遞函數(shù)的 特征方程 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 M(s)=b0(s 0的根 s=zi(i=1, 2, , m) ，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。 N(s)=a0(s 0的根 s=pj(j=1, 2, , n) ，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 ！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。 ！零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 ) . .()() . .()()(21021011101110. . . . .)(零點(diǎn)和極點(diǎn) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3 1 j傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖： 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形。 零點(diǎn)用“ o” 表示 極點(diǎn)用“ ” 表示 零、極點(diǎn)分布圖 22( ) =( 3 ) ( 2 2 )s s 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。 一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運(yùn)動特性共同組成。 同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 典型環(huán)節(jié) (大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真 、 不延遲 、 成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號 。 它的運(yùn)動方程為 對應(yīng)的傳遞函數(shù)是 式中， 是環(huán)節(jié)的輸出量； 是環(huán)節(jié)的輸入量； )()()()()( k R(S) C(S) 方框圖： 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 1：齒輪傳動 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2：運(yùn)算放大器 uu自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比 ，即有 對應(yīng)的傳遞函數(shù)為 t )()( )()()(2積分環(huán)節(jié) 方框圖： k/s R(s) C(s) 積分環(huán)節(jié)具有 記憶 功能和明顯的 滯后 作用 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 1：積分調(diào)節(jié)器 C Uc(t) R Ur(t) i1 傳遞函數(shù)為： R C )()()( 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律 。 它的微分方程為 對應(yīng)的傳遞函數(shù)為 式中 ， d ( ) ( ) ( )c t K r 1)()()( 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 1： 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 理想的微分環(huán)節(jié) ， 其輸出與輸入信號對時間的微分成正比 ， 即有 對應(yīng)的傳遞函數(shù)為 ()( )()()(4微分環(huán)節(jié) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 1： 1 )(大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān) ， 而且與輸入量的變化率有關(guān) 運(yùn)動方程 對應(yīng)的傳遞函數(shù)是 1)()()( )()( 一階微分環(huán)節(jié) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 比例環(huán)節(jié)： 及時成比例地反映調(diào)節(jié)系統(tǒng)的偏差信號，偏差一產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用，以減少偏差。 積分環(huán)節(jié)：主要是為了消除系統(tǒng)的余差，提高系統(tǒng)的無差度。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。 微分環(huán)節(jié)：能反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號變得太大之前，引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間。 通常情況下三種環(huán)節(jié)并聯(lián)做 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是 ， 如輸入為一階躍信號 ， 則其輸出成周期性振蕩形式 。 式中 ， 為阻尼比 ， 其值為 01。 由于該傳遞函數(shù)有一對位于 因而這種環(huán)節(jié)在階躍信號作用下 ， 其輸出必必然會呈現(xiàn)出振蕩性質(zhì) 。 12)()()(22 22d ( ) d ( )2 ( ) ( )t c c t K r 蕩環(huán)節(jié) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 1： 11)()(2 R C )()()(22傳遞函數(shù) 微分方程 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2：機(jī)械平移系統(tǒng) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在有滯后作用的系統(tǒng)中 ， 其輸出信號與輸入信號的形狀完全相同 ， 只是延遲一段時間后重現(xiàn)原函數(shù) 。 其動態(tài)方程為 它們之間的傳遞函數(shù)為 )()( ( ) e() 環(huán)節(jié)