一分析的化身──歐拉

分析的化身 歐拉的故事 即使在完全失聰?shù)淖詈髱啄?貝多芬 Beethoven 依然創(chuàng)作了弦樂(lè)四重奏 鋼琴奏鳴曲 第 30 31 32 號(hào) 莊嚴(yán)彌撒和第九交響曲 對(duì)于一個(gè)沒(méi)有聽(tīng)覺(jué)的人來(lái)說(shuō) 音樂(lè)是什么 我無(wú)法回答 但是我想應(yīng)該是超越了音樂(lè)本身 也許歐拉可以回答 在生命最后的八 年里 他生活在一個(gè)完全黑暗的世界 雙目失明卻沒(méi)能阻止他繼續(xù)一篇又一篇的發(fā)表 了占他一生百分之五十的論文 音樂(lè)對(duì)于貝多芬 數(shù)學(xué)對(duì)于歐拉也許只是他們存在的 方式 不論他們自身如何改變 要么繼續(xù)這種方式 要么消失 三大牛人的概念已經(jīng)深入人心 其實(shí)數(shù)學(xué)史上還有所謂的四杰 多出來(lái)這位就 是本章的主人公歐拉 牛頓去世的時(shí)候歐拉十九歲 歐拉去世的時(shí)候高斯只有 六歲 應(yīng)該說(shuō)歐拉趕上了好時(shí)候 牛頓和萊布尼茲留下了一個(gè)威力巨大的工具 微積分 卻沒(méi)有人能夠真正駕馭它 歐拉是第一個(gè)真正征服微積分的人 歐拉的成長(zhǎng)再次證明了數(shù)學(xué)史是一部天才史 天賦在這部歷史里是普遍現(xiàn)象 如果你覺(jué)得天才如 Sheldon Cooper 的人物只是 The Big Bang Theory 劇集里虛 構(gòu)出的角色的話 那么在真實(shí)的數(shù)學(xué)史里我們可以在很多人的身上找到 sheldon 的身影 唯一不同的就是 他們都還有著至少正常的的情商 在數(shù)學(xué)家第三集 團(tuán)的陣容里 不乏聰明而勤奮的人 他們通過(guò)良好的教育縮小了與天才的差距 卻永遠(yuǎn)也不能真正跟上天才的腳步 因?yàn)樘觳挪皇墙逃芘囵B(yǎng)出來(lái)的 歐拉進(jìn) 入巴塞爾大學(xué)是 13 歲 在前面我們提到過(guò)伯努利家族的人也是這所大學(xué)培養(yǎng)出 來(lái)的 而歐拉能夠順利的進(jìn)入沒(méi)有少年班的巴塞爾大學(xué)也有約翰 伯努利的功勞 當(dāng)時(shí)約翰在巴塞爾大學(xué)任數(shù)學(xué)教授 也正是他推薦歐拉進(jìn)入巴塞爾大學(xué) 當(dāng)校 長(zhǎng)表示不支持錄取如此年輕的歐拉時(shí) 約翰說(shuō) 對(duì)于天才 年齡不能成為進(jìn) 入大學(xué)的一種限制 15 歲的歐拉完成本科 16 歲時(shí)取得了藝術(shù)碩士的學(xué)位 19 歲得到博士學(xué)位 同一年歐拉獨(dú)立完成了他的第一項(xiàng)研究 船舶的桅桿配 置 論述了在一艘船上應(yīng)該有多少桅桿和在什么位置裝置這些桅桿 現(xiàn)在看來(lái) 這不是什么重要的問(wèn)題 但是在那個(gè)大航海時(shí)代這是關(guān)系到對(duì)海洋控制的國(guó)家 利益問(wèn)題 這個(gè)題目是當(dāng)年巴黎金獎(jiǎng)的題目 遺憾的是歐拉只獲得了安慰獎(jiǎng) 榮譽(yù)提名 不過(guò)此后歐拉十二次榮獲巴黎金獎(jiǎng)算是彌補(bǔ)了這個(gè)小小的遺憾 26 歲的時(shí)候 歐拉接替丹尼爾 伯努利成為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的首席研究 員 在 33 歲的時(shí)候離開(kāi)俄國(guó) 到普魯士任柏林研究院首席數(shù)學(xué)研究員 在 59 歲的時(shí)候 受邀再次回到俄國(guó) 并在圣彼得堡度過(guò)了生命中最后的十七年 關(guān)于歐拉的趣聞?shì)W事不少 少年時(shí)數(shù)過(guò)天上的星星 幫老爸智改過(guò)羊圈 還自己發(fā) 現(xiàn)了 完全數(shù) 今天我挑戰(zhàn)一下向大眾傳播數(shù)學(xué)知識(shí)的高難度任務(wù) 講講歐拉 在 29 歲解決的格尼斯堡七橋問(wèn)題 這個(gè)問(wèn)題本身并不復(fù)雜 如圖所示 格尼斯堡這個(gè)城市被一條叫做 Pregel 的河分為四部分 兩岸 B 和 D 和兩座河心島 A 和 C 這四部分土地由七座橋按照?qǐng)D中給出的方式連通在了一起 假設(shè)有一個(gè)人想散步 在散步過(guò)程中要求每座橋都經(jīng)過(guò)并且只經(jīng)過(guò)一次 而且起點(diǎn)與終點(diǎn)相同 這樣的散步 可以做到嗎 當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣 很多人都親自實(shí)踐試圖找出答案 并 因此掀起了一股全民健身的熱潮 我看了一下這個(gè)城市的航拍圖 又用谷歌地圖估 算了一下距離 從 B 出發(fā)經(jīng) 5 1 到 D 再由 4 7 回到 B 光這一圈就的有 8 公里左 右 如果還要盡可能的走過(guò)每一座橋 那怎么也得 10K 了 好在沒(méi)有人因?yàn)檠芯窟@ 個(gè)問(wèn)題而猝死 到了 1735 年 當(dāng)?shù)鼐用癫淮蛩阍僭嚵?決定請(qǐng)人來(lái)幫忙 候選人有 兩個(gè) 一個(gè)是歐拉 一個(gè)是當(dāng)時(shí)世界馬拉松的冠軍 最后頭腦戰(zhàn)勝了身體 歐拉獲勝 被邀請(qǐng)到格尼斯堡研究這個(gè)問(wèn)題 經(jīng)過(guò)一年的思考 歐拉終于得到了解答 這個(gè)散 步是 Mission Impossible 也就是說(shuō)只有湯姆 克魯斯才能完成 考慮到幾百年以后 阿湯哥才出生 所以七橋問(wèn)題無(wú)解 下面我就給大家講解一下無(wú)解的原因 首先七 橋問(wèn)題不是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 所以第一步我們要把它轉(zhuǎn)化為等價(jià)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 也就是 下面這張圖 圖二 ABCD 四片土地被簡(jiǎn)化為了四個(gè)點(diǎn) 有人說(shuō)不對(duì)啊 我從 B 區(qū)的一個(gè)地方出發(fā)回到 B 區(qū) 另外一個(gè)地方還是不滿足回到起點(diǎn)的要求啊 從 B 區(qū)任意一點(diǎn)到 B 區(qū)的另外任意一點(diǎn) 都有不經(jīng)過(guò)任何一座橋的路線 所以你要是從 B 區(qū)任意一點(diǎn)出發(fā)做到不重復(fù)走過(guò)每座 橋一次再回到 B 區(qū)任意一點(diǎn) 那實(shí)際上已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題 七座橋被簡(jiǎn)化成了 7 條 連接這四個(gè)頂點(diǎn)的 弧 線段 A 和 B 之間有兩條弧線對(duì)應(yīng)兩座橋連接 AB 兩區(qū) 又有 人說(shuō)不行啊 你把橋簡(jiǎn)化的這么細(xì) 我又沒(méi)練過(guò)平衡木 走的時(shí)候掉下去怎么辦 這 你不用擔(dān)心 在你掉下去之前 我已經(jīng)把你踹下去了 理解了這兩張圖是等價(jià)的 等價(jià) 的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從 ABCD 任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā) 一筆畫(huà)出圖二中的圖形并回到起點(diǎn) 所謂 一筆畫(huà)就是筆不離開(kāi)紙不重復(fù)的畫(huà)出每一條邊 讓我們看兩個(gè)例子 比如說(shuō) 田 字 不能一筆畫(huà) 而 口 字和 串 字就可以一筆畫(huà) 不過(guò) 串 字的一筆畫(huà)不能回到 起點(diǎn) 如下圖 平時(shí)以狂草作為主要書(shū)寫(xiě)風(fēng)格的朋友可能又有意見(jiàn)了 只要紙夠大 哥們整篇文 章連字帶畫(huà)都是一筆畫(huà) 那我只能說(shuō)您和阿湯哥同屬于 impossible 那類(lèi)的 這里 的漢字都只代表它們的形狀 不包含它們的常規(guī)書(shū)寫(xiě)方式 沒(méi)有人真會(huì)按照上面的 方式寫(xiě)串字 在我給出最后的結(jié)論之前還要定義兩個(gè)名詞 奇點(diǎn)和偶點(diǎn) 所謂奇點(diǎn)就是有奇數(shù)條 線與之相連的一個(gè)頂點(diǎn) 例如圖二中的 ABCD A 有五條線相連 而 BCD 各有三條線 相連 所以他們都是奇點(diǎn) 偶點(diǎn)就是有偶數(shù)條線與之相連 比如 田 字中心的那 個(gè)點(diǎn) 有四條線與之相連 再讓我們來(lái)想想他們各自的性質(zhì) 在我們?cè)噲D一筆畫(huà)的 過(guò)程中 要到達(dá)一個(gè)奇點(diǎn)總要通過(guò)一條和它相連的線 而要離開(kāi)一個(gè)奇點(diǎn) 因?yàn)椴?能重復(fù) 所以還需要另外一條和它相連的線 一來(lái)一去需要兩條線 再來(lái)再去又需 要兩條線 可是一共有奇數(shù)條線與它相連 所以總會(huì)富裕出一條 也有例外就是當(dāng) 這個(gè)點(diǎn)是起點(diǎn)或者終點(diǎn) 要么不需要進(jìn)來(lái)要么不需要離開(kāi) 而偶點(diǎn)就沒(méi)有這些問(wèn)題 你總是可以選擇一半的線作為進(jìn)路另一半作為退路 結(jié)論很簡(jiǎn)單 一個(gè)圖形里面如 果所有定點(diǎn)都是偶點(diǎn) 或者只有兩個(gè)奇點(diǎn) 那么這個(gè)圖形可以一筆畫(huà)出來(lái) 不過(guò)都 是偶點(diǎn)的情形可以取任意點(diǎn)作為起點(diǎn)并在結(jié)束的時(shí)候回到起點(diǎn) 而兩個(gè)奇點(diǎn)的情況 只能取其中之一作為起點(diǎn) 另外的奇點(diǎn)作為終點(diǎn) 回到七橋問(wèn)題 因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)都是 奇點(diǎn) 所以不能一筆畫(huà) 上面的這個(gè)結(jié)論被稱為歐拉定理 這個(gè)定理不僅解決了七 橋問(wèn)題 實(shí)際上這個(gè)定理回答了所有一筆畫(huà)問(wèn)題 孤立的解決一個(gè)困難的問(wèn)題有時(shí)候有些意義 但是一流的數(shù)學(xué)家總是試圖找出或者 創(chuàng)造出一個(gè)一般的方法去解決所有同類(lèi)的問(wèn)題 這是判斷一個(gè)數(shù)學(xué)家成就時(shí)候的一 個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn) 牛頓創(chuàng)造了數(shù)學(xué)史上可以說(shuō)最有威力的工具 微積分 高斯統(tǒng)一了 數(shù)論里面許多孤立的命題并給出了一般方法 亞里士多德就更牛了 從數(shù)學(xué)到哲學(xué) 從教育到社會(huì) 他都是一個(gè)體系一個(gè)體系的來(lái) 雖然今天看來(lái) 他的許多關(guān)于自然 科學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的 而且他的數(shù)學(xué)知識(shí)水平還不如現(xiàn)在一個(gè)普通的大學(xué)畢業(yè)生 但都絲毫不妨礙他憑借可以作為一般方法并包含近代數(shù)學(xué)思想萌芽的系統(tǒng)化理論躋 身于超一流數(shù)學(xué)家的行列 七橋畫(huà)問(wèn)題并不是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題 在今天一筆畫(huà)問(wèn) 題只是小學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目 但是通過(guò)七橋問(wèn)題 歐拉不但徹底解決了一 筆畫(huà)問(wèn)題 而且開(kāi)啟了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支 圖論 這并不是歐拉的主要貢獻(xiàn) 他 的主要貢獻(xiàn)是建立了數(shù)學(xué)里最重要的分支之一 分析 在歐拉之前 數(shù)學(xué)是代數(shù) 和幾何雙雄爭(zhēng)霸 在歐拉之后數(shù)學(xué)變成了代數(shù) 幾何 分析三足鼎立 時(shí)至今日 即使數(shù)學(xué)的小分支可能有幾百個(gè)甚至更多 這個(gè)三足鼎立的大局面依然成立 終于結(jié)束了這次漫長(zhǎng)科普之旅 還是讓我們回到對(duì)歐拉本人的注意上面來(lái)吧 歐拉 有兩個(gè)重要的天賦 第一是計(jì)算能力 第二是記憶力 關(guān)于記憶力 歐拉可以從頭 到尾不猶豫地背誦出一本近萬(wàn)行的史詩(shī)巨著 埃涅阿斯紀(jì) 并能指出他所背誦的 那個(gè)版本的每一頁(yè)的第一行和最后一行是什么 除此之外 歐拉還可以背出前 100 個(gè)素?cái)?shù)中任何一個(gè)的 10 以內(nèi)的次方 而且即使在晚年 歐拉也可以記起他在青年 時(shí)寫(xiě)過(guò)的所有筆記 關(guān)于計(jì)算能力有一個(gè)非?？鋸埖睦?有一次歐拉的兩個(gè)學(xué)生 把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的 17 項(xiàng)加起來(lái) 算到第 50 位數(shù)字 兩人相差一個(gè)數(shù)字 歐 拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì) 沒(méi)有借助任何工具 沒(méi)有電腦 沒(méi)有計(jì)算器 沒(méi)有用一支筆 一張紙 只憑心算把錯(cuò)誤給找了出來(lái) 順便提一下 高斯也有著不同尋常的記憶力 和心算能力 他從來(lái)不用查對(duì)數(shù)表 對(duì)數(shù)表里的任何數(shù)字要么他記憶了下來(lái)要么他 可以輕易地心算出來(lái) 對(duì)于今日的數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō) 心算能力顯得并不是那么重要 各種 各樣的計(jì)算器 計(jì)算機(jī)和軟件可以替代我們做各種各樣的運(yùn)算 不過(guò)對(duì)于青少年來(lái) 說(shuō) 超強(qiáng)心算能力也許可以被看做數(shù)學(xué)天賦的一種表露 歐拉在 31 歲的時(shí)候就失去了右眼的視力 左眼在 60 歲的時(shí)候已經(jīng)只剩下一小部分 視力 到 68 歲完全失明 就像失去聽(tīng)覺(jué)的貝多芬可以完全不受外界雜音的干擾 只聆聽(tīng)來(lái)自他內(nèi)心的聲音一樣 失去視力的歐拉 變得對(duì)自己頭腦里那些計(jì)算更為 敏銳 在最后失明的八年里 他的效率更高了 前面說(shuō)過(guò)他完成了一生中一半的著 作 如果歐拉一生只有少量的著作 那么一半也沒(méi)有多少 可事實(shí)正好相反 歐拉 是歷史上著作第二多的人 一共有 886 本書(shū)籍和論文 而且他 64 歲時(shí)的一場(chǎng)大火 燒毀了他當(dāng)時(shí)的全部手稿 否則會(huì)有更多的著作 這個(gè)記錄直到二十世紀(jì)才被匈牙 利數(shù)學(xué)家保羅 埃爾德什打破 除了數(shù)字 還有兩則故事可以看出歐拉的多產(chǎn) 當(dāng) 歐拉在圣彼得堡科學(xué)院工作的時(shí)候 他把完成的論文堆成一摞 每完成一篇就把新 論文放到最上面 每當(dāng)科學(xué)院學(xué)報(bào)需要出版的時(shí)候 印刷工人就會(huì)取走最上面的幾 篇 所以歐拉論文的出版順序并不是他寫(xiě)作的順序 有時(shí)候歐拉對(duì)一個(gè)問(wèn)題寫(xiě)了一 系列的論文 結(jié)果后面的先發(fā)了 后面一期反倒發(fā)的是之前的結(jié)果 更為夸張的是 在歐拉死后 80 年 圣彼得堡科學(xué)院還在發(fā)表他的論文 在 1909 年的時(shí)候 瑞士科 學(xué)院試圖整理收集并出版歐拉全部的著作 為此籌措了 8 萬(wàn)美元 在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是一 筆巨款了 結(jié)果因?yàn)樵谑ケ说帽た茖W(xué)院又發(fā)現(xiàn)了歐拉的大量手稿而告吹 歐拉是一個(gè)可以在任何環(huán)境任何條件下工作的數(shù)學(xué)家 他一共有過(guò) 13 個(gè)子女 據(jù) 說(shuō)他寫(xiě)論文的時(shí)候可以把最小的嬰兒放在腿上 讓其他大一點(diǎn)的孩子圍著他玩 這 一點(diǎn)是我最羨慕歐拉的地方 我目前每天只負(fù)責(zé)在幾個(gè)特定的時(shí)間段哄我女兒入睡 而我除了抱著她以外 什么也干不了 不過(guò)有一點(diǎn)是我想要指責(zé)歐拉的 這 13 個(gè) 子女只有五個(gè)長(zhǎng)大成人 可能有疾病或者什么其他因素 作為父親的我實(shí)在是無(wú)法 理解 歐拉還有一個(gè)很大的貢獻(xiàn)就是在數(shù)學(xué)的推廣與教育上 包括第一次引進(jìn)介紹一些符 號(hào)如圓周率 自然數(shù) e 虛數(shù)單位 i 正弦 sin 余弦 cos 求和符號(hào) 和一般 函數(shù) f x 而且歐拉的文學(xué)功底很好 寫(xiě)起東西來(lái)文辭優(yōu)美 他為了向腓特烈大 帝的侄女 安哈爾特