高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)39__化歸思想

難點(diǎn) 39 化歸思想 化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想 雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法 . 1.（）一條路上共有 9 個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中 3 個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)為 . 2.（）已知平面向量 a=( 3 1),b=(23,21). （ 1）證明 a b; （ 2）若存在不同時為零的實(shí)數(shù) k 和 t，使 x=a+(3)b， y= ka+ x y，試求函數(shù)關(guān)系式 k=f(t); （ 3）據(jù)（ 2）的結(jié)論，討論關(guān)于 t 的方程 f(t) k=0的解的情況 . 例 1對任意函數(shù) f(x), x D，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下： 輸入數(shù)據(jù) D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出 x1=f( 若 D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若 D，則將 輸出 x2=f(并依此規(guī)律繼續(xù)下去 . 現(xiàn)定義124)( 1）若輸入 549，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列 請寫出 所有項(xiàng)； （ 2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù) （ 3）若輸入 生的無窮數(shù)列 滿足對任意正整數(shù) n 均有 ；求 命題意圖：本題主要考查學(xué)生的閱讀審題，綜合理解及邏 輯推理的能力 級題目 . 知識依托：函數(shù)求值的簡單運(yùn)算、方程思想的應(yīng)用 解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 . 錯解分析：考生易出現(xiàn)以下幾種錯因：（ 1）審題后不能理解題意 .（ 2）題意轉(zhuǎn)化不出數(shù)學(xué)關(guān)系式，如第 2 問 .（ 3）第 3 問不能進(jìn)行從一般到特殊的轉(zhuǎn)化 . 技巧與方法：此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強(qiáng)的題目 這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換 . 解：（ 1） f(x)的定義域 D=（ , 1) ( 1,+ ) 數(shù)列 有三項(xiàng)， 1,51,1911 321 2） 124)(,即 3x+2=0 x=1 或 x=2，即 或 2 時 1241故當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， （ n N*） （ 3）解不等式124 x 1 或 1 x 2 要使 1 或 1 2 對于函數(shù)164124)( 1，則 x2=f( 4， x3=f( 1 2 時， x2=f( 2 依次類推可得數(shù)列 所有項(xiàng)均滿足 n N*) 綜上所述， (1,2) 由 x1=f(得 (1,2). 例 2設(shè)橢圓 方程為 12222 a b 0)，曲線 方程為 y=曲線2在第一象限內(nèi)只有一個公共點(diǎn) P. （ 1）試用 a 表示點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 2）設(shè) A、 B 是橢圓 a 變化時， 求 面積函數(shù) S(a)的值域； （ 3）記 y1, , y1, ,設(shè) g(a)是以橢圓 求函數(shù) f(a)=g(a), S(a)的表達(dá)式 . 命題意圖：本題考查曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查推理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識解題的能力 級題目 . 知識依托：兩曲線交點(diǎn)個數(shù)的轉(zhuǎn)化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式 . 錯解分析：第（ 1）問中將交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)計(jì)算錯誤，不能借助找到 a、 b 的關(guān) 系 2）問中考生易忽略 a b 0 這一隱性條件 3）問中考生往往想不起將 g(a),S(a)轉(zhuǎn)化為解不等式 g(a) S(a). 技巧與方法：將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂 化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果 . 解：（ 1）將 y= 11 2222 化簡，得 由條件，有 =4，得 解得 x=2a 或 x=2a （舍去） 故 P 的坐標(biāo)為 (,2). (2)在 ， =2 22 ，高為 )41(22221)(422 a b 0,b=a a 2 ,得 044a 1 于是 0 S（ a） 2 ，故 面積函數(shù) S(a)的值域?yàn)?(0, 2 ) (3)g(a)=c2=b2=4a 解不等式 g(a) S(a)，即 4a )41(2 4a 整理，得 104 0，即 (4)(6) 0 解得 a 2 （舍去）或 a 46 . 故 f(a)=g(a), S(a) )6()41(262(444422等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的 對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正 . 應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉(zhuǎn)化 與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等 的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化 . 一、選擇題 1.（）已知兩條直線 l1:y=x,l2:y=0，其中 a R，當(dāng)這兩條直線的夾角在 (0,2)內(nèi)變動時， a 的取值范圍是 ( ) A.（ 0， 1） B.（33， 3 ） C.（33， 1）（ 1， 3 ） D.（ 1， 3 ） 2.（）等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和分別用 53 4 n ) 空題 3.（）某房間有 4 個人，那么至少有 2 人生日是同一個月的概率是 .（列式表示即可） 4.（）函數(shù) f(x)=3b 在（ 0， 1）內(nèi)有極小值，則 b 的取值范圍是 . 三、解答題 5.（）已知 f(x)=lg(x+1),g(x)=2x+t),(t R 是參數(shù)） . (1)當(dāng) t= 1 時，解不等式 f(x) g(x); (2)如果 x 0,1時， f(x) g(x)恒 成立，求參數(shù) t 的取值范圍 . 6.（）已知函數(shù) f(x)= +n N*且 、 滿足 f(1)=（ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式，并求1 （ 2）證明 0 f(31) 1. 7.（）設(shè) A、 B 是雙曲線 2y =1 上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N（ 1， 2）是線段 中點(diǎn) . （ 1）求直線 方程； （ 2）如果線段 垂直平分線與雙曲線相交于 C、 D 兩點(diǎn)，那么 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)是否共圓？為什么？ 8.（）直線 y=a 與函數(shù) y=3x 的圖象有相異三個交點(diǎn)，求 a 的取值范圍 . 參 考 答 案 難點(diǎn)磁場 9 個燈中關(guān)閉 3 個等價于在 6 個開啟的路燈中，選 3 個間隔（不包括兩端外邊0 答案： 10 2.(1)證明： a b=23)1(213 =0， a b (2)解： x y, x y=0 即 a+（ 3)b ( ka+0，整理后得 t k(3) a b+t(3) a b=0, 上式化為 4k+t(3)=0， k=41t(3). (3)解：討論方程41t(3) k=0 的解的情況，可以看作曲線 f(t)=41t(3)與直線 y=f (t)=43(1)=43(t+1)(t 1). 令 f (t)=0,解得 1,.當(dāng) f (t),f(t)的變化情況如下表： t ( , 1) 1 ( 1,1) 1 (1,+ ) f (t) + 0 0 + f(t) 極大值 極小值 當(dāng) t= 1 時， f(t)有極大值， f(t)極大值 =21； 當(dāng) t=1 時， f(t)有極小值， f(t)極小值 =21. 而 f(t)=41(3)t=0 時，得 t= 3 ,0, 3 . 所以 f(t)的圖象大致如右： 于是當(dāng) k21或 答案： 0b1 三、 (1)原不等式等價于05421)12(10120122 45021x45原不等式的解集為 x|x45. (2)x 0,1時， f(x) g(x)恒成立 . x 0,1時2)2()1(0201成立 12201即 x 0,1時， t 2x+ 1x 恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求 2x+ x1 ,x 0,1的最令 = 1x ,則 x= 2 1,則 1, 2 . 2x+ 1x = 2( 41)2+817. 當(dāng) =1 即 x=0 時， 2x+ 1x 有最大值 1 t 的取值范圍是 t 1. 6.(1)解： 前 n 項(xiàng)和 Sn=a1+ +an=f(1)= n 1=(n 1)2=2n 1(n2),又 1=1 滿足 n 項(xiàng)公式為 n 1(n N*) 112 12 nn )證明： f(31)=131+391+ +(2n 1) 31f(31)=191+3271+ +(2n 3)(2n 1)131n 得：32f(31)=131+291+2271+ +2 (2n 1)131n f(31)=21+31+91+271+ +131n (2n 1)131n=1. 12121(3 221 (n N*) 01, 011，即 0f(31 )1 (1)設(shè) y=k(x 1)+2 代入 2y =1. 整理得（ 2 2k(2 k)x (2 k)2 2=0 設(shè) A(x1, B（ x2,x1,所以 2 0 且 x1+2)2(2 k 為 有21（ x1+=1. k(2 k)=2 得 k=B y=x+1. (2)解出 A（ 1， 0）、 B（ 3， 4 方程為 y=3 消 y 有 x 11=