南京市2016屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學及全部答案

高三數(shù)學試卷 第 1 頁 共 15 頁 南京市 2016 屆高三 年級第 三 次模擬考試 數(shù) 學 意事項 ： 1 本試卷共 4 頁，包括填空題（第 1 題 第 14 題）、解答題（第 15 題 第 20 題）兩部分本試卷滿分 為 160 分 ， 考試 時 間為 120 分鐘 2答題前， 請 務必將自己的 姓名、學校、 班級、 學號 寫在答題 紙的密封線內試題的答案寫在答題紙 上對應題目的答案空格內 考試結束后，交回答題 紙 參考公式 樣本數(shù)據(jù) ， 方差 1n i 1n ( x )2，其中 x 1n i 1n 一、填空題 （ 本大題共 14 小題 ， 每小題 5 分 ， 計 70 分 . 不需寫出解答過程 ， 請把答案寫在答題紙的指定位置上 ） 1已知全集 U 1， 2， 3， a， 集 合 M 1， 3若 2， 5，則實數(shù) a 的值為 _ 2 設復數(shù) z 滿足 z(1 i) 2 4i，其中 i 為虛數(shù)單位 ， 則 復數(shù) z 的共軛復數(shù)為 3 甲 、 乙兩 位選手 參加射擊選拔賽，其中連續(xù) 5 輪比賽的成績（單位：環(huán)）如下 表 ： 選手 第 1 輪 第 2 輪 第 3 輪 第 4 輪 第 5 輪 甲 0 甲 、 乙兩位選手中成績最穩(wěn)定 的 選手的方差是 _ 4 從 2 個白球， 2 個紅球， 1 個黃球這 5 個球中隨機取出兩個球，則 取出的 兩球 中恰有一個紅 球的概率是 _ 5執(zhí)行 如圖 所示 的 偽代碼， 輸出的結果 是 6已知 ， 是兩個不同的平面， l， m 是兩條不同直線， l ， m 給出下列命題： l m； l m； m l ； l m 其中正確的命題是 _ (填 寫 所有正確命題的 序號 ) 7 設數(shù)列 前 n 項和 為 滿足 22， 則 S 1 I 2 S 100 I I 2 S S I I （第 5 題圖） 高三數(shù)學試卷 第 2 頁 共 15 頁 8 設 F 是雙曲線的一個焦點，點 P 在 雙曲線 上， 且 線段 中點恰為 雙曲線 虛軸的一個端點，則 雙曲線 的離心率為 _ 9 如圖， 已知 A， B 分別是函數(shù) f(x) 3 0)在 y 軸右 側 圖 象 上的第一個最高點和 第一個 最低點，且 2，則該函數(shù) 的周期是 _ 10已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， 當 x 0 時， f(x) 2x 2，則不等式 f(x 1) 2 的解集是_ 11 如圖，在梯形 ， 4， 3， 2， 2 若 3， 則 _ 12 在平面直角坐標系 ， 圓 M： (x a)2 (y a 3)2 1(a 0)， 點 N 為圓 M 上任意一點 若以 N 為圓心 ， 半徑的圓 與圓 M 至多有一個公共點 ， 則 a 的最小值為 _ 13 設 函數(shù) f(x)x 1 x a， x 1， x a，g(x) f(x) b 若存在實數(shù) b，使得函數(shù) g(x)恰 有 3 個零點，則實數(shù) a 的取值范圍為 _ 14 若實數(shù) x， y 滿足 21，則 x 222_ 二、解答題 （ 本大題共 6 小題，計 90 分 證明過程或演算步驟 ， 請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內 ） 15 (本小題滿分 14 分 ) 在 ， 已知 a， b， c 分別為 角 A， B， C 的對邊 若 向量 m (a， 向量 n (c)，且 m n 3 （ 1）求 值； （ 2）若 a， b， c 成等比數(shù)列，求 11 O y x A B （第 9 題圖） A B C D M （第 11 題圖） 高三數(shù)學試卷 第 3 頁 共 15 頁 16 (本小題滿分 14 分 ) 如圖 ， 在直 三棱柱 ， D 為 棱 一 點 （ 1） 若 D 為 棱 中點， 求證：平面 面 （ 2）若 面 17 (本小題滿分 14 分 ) 如圖， 在平面直角坐標系 ， 已知橢圓 C： 1(a b 0)的離心率為22 ， 點 (2， 1)在橢圓 C 上 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2） 設 直線 l 與圓 O： 2 相切 ， 與橢圓 C 相 交于 P， Q 兩點 若 直 線 l 過橢圓 C 的右焦點 F，求 面積； 求證： （第 16 題圖） A B C D 1 x y F P Q （ 第 17 題圖 ） 高三數(shù)學試卷 第 4 頁 共 15 頁 18 (本小題滿分 16 分 ) 如圖，某 森林 公園 有一 直角梯形 區(qū)域 其 四條邊均為道路， 90，5 千米， 8 千米， 3 千米 現(xiàn)甲、乙兩 管理 員同時從 A 地出發(fā)勻速前往 D 地 ，甲的路線是 度為 6 千米 /小時，乙的路線是 度為 v 千米 /小時 （ 1）若 甲、乙 兩 管理 員 到達 D 的時間相差不超過 15 分鐘，求 乙的速度 v 的 取值 范圍； （ 2） 已知 對講機 有效通話 的最大 距離是 5 千米 若 乙 先到達 D， 且 乙 從 A 到 D 的過程中 始終 能 用 對講機 與甲 保持 有效通話，求 乙的速度 v 的 取值 范圍 19 (本小題滿分 16 分 ) 設函數(shù) f(x) m(m 0) （ 1）當 m 1 時，求函數(shù) f(x)的單調 減 區(qū)間； （ 2） 設 g(x) |f(x)|， 求函數(shù) g(x)在區(qū)間 0， m上 的最大值； （ 3）若 存在 t 0，使得 函數(shù) f(x)圖 象 上有且僅有兩個不同的點， 且 函數(shù) f(x)的 圖象 在這兩點 處 的兩條切線都經過點 (2， t)，試求 m 的取值范圍 20 (本小題滿分 16 分 ) 已知數(shù)列 前 n 項的和為 n （ 1）若 首項 為 a，公差為 d 的等差數(shù)列 ，其中 a， d 均為正數(shù) 當 32等差數(shù)列時，求 求證：存在唯一的正整數(shù) n，使得 （ 2）設數(shù)列 公比為 q(q 2)的等比數(shù)列，若存在 r， t(r， t N*， r t)使得 t 2r 2，求 q 的值 （第 18 題圖） C B A D 高三數(shù)學試卷 第 5 頁 共 15 頁 南京市 2016 屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學參考答案及評分標準 說明： 1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則 2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù) 4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù) 一、填空題（本大題共 14 小題，每小題 5 分，計 70 分 . 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上） 1 5 2 3 i 3 4 35 5 8 6 7 4 8 5 9 4 10 1， 3 11 32 12 3 13 ( 1 12) 14 24 二、解答題（ 本大題共 6 小題，計 90 分 明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內） 15 (本小題滿分 14 分 ) 解：（ 1）因為 m n 3以 3 由正弦定理，得 33分 所以 C) 3以 3 因為 B 是 內角，所以 0，所以 13 7分 （ 2）因為 a， b， c 成等比數(shù)列，所以 由 正 弦 定 理 ， 得 9 分 因為 13， B 是 內角，所以 223 1 1高三數(shù)學試卷 第 6 頁 共 15 頁 分 又 11 C) 13 24 1 4 分 16 (本小題滿分 14 分 ) 證明 ： （ 1）因為 D 為 點，所以 2分 因為 直三棱柱， 所以 面 因為 面 以 4分 因為 B， 面 面 所以 面 因為 面 以平面 面 6分 (2)連結 O， 連結 以 O 為 點 8分 因為 面 面 面 平面 所以 12 分 因為 O 為 點，所以 D 為 點 ， 所以 1 1 4 分 17 (本小題滿分 14 分 ) 解：（ 1）由題意，得 2 ，41， 解得 6， 3 所以橢圓的方程為 1 2 分 （ 2） 解法一 橢圓 C 的右焦點 F( 3， 0) 設切線方程為 y k(x 3)，即 y 3k 0， 高三數(shù)學試卷 第 7 頁 共 15 頁 所以 | 3k |1 2，解得 k 2，所以切線方程為 y 2(x 3) 4分 由方程組y 2(x 3)，1，解得x4 3 3 25 ，y 6 65 ，或x4 3 3 25 ，y 6 65 所以點 P， Q 的坐標分別為 (4 3 3 25 ， 6 65 )， (4 3 3 25 ， 6 65 )， 所以 6 65 6分 因為 O 到直線 距離為 2，所以 面積為 6 35 因為橢圓的對稱性，當 切線方程為 y 2(x 3)時， 面積也為 6 35 綜上所述， 面 積為 6 35 8分 解法二 橢圓 C 的右焦點 F( 3， 0) 設切線方程為 y k(x 3)，即 y 3k 0， 所以 | 3k |1 2，解得 k 2，所以切線方程為 y 2(x 3) 4分 把切線方程 y 2(x 3)代入橢圓 C 的方程，消去 y 得 58 3x 6 0 設 P(， Q(則有 835 由橢圓定義可得， 2a e( 2 622 8 35 6 65 6分 因為 O 到直線 距離為 2，所以 面積為 6 35 因為橢圓的對稱性，當 切線方程為 y 2(x 3)時， 所以 面積為 6 35 綜上所述， 面積為 6 35 8分 解法一： (i)若直線 斜率不存在，則直線 方程為 x 2或 x 2 高三數(shù)學試卷 第 8 頁 共 15 頁 當 x 2時， P ( 2， 2)， Q( 2， 2) 因為 0，所以 當 x 2時，同理可得 1 0分 (若直線 斜率存在，設直線 方程為 y m，即 y m 0 因為直線與圓相切，所以 |m| 1 2，即 22 將直線 程代入橢圓方程，得 (1 2426 0. 設 P(， Q( 則有 4 2261 212分 因為 (m)(m) (1 k2)km( (1 261 2(42 將 22 代入上式可得 0，所以 綜上所 述， 14分 解法二： 設切點 T(則其切線方程為 2 0，且 x y 2 (i)當 0 時，則直線 直線方程為 x 2或 x 2 當 x 2時， P ( 2， 2)， Q( 2， 2) 因為 0，所以 當 x 2時，同理可得 1 0分 (當 0 時， 由方程組2 0，1，消去 y 得 (2x y)88 6y 0 設 P(， Q(則有 12 分 所以 (2 2 因為 x y 2， 代入上式可得 0，所以 綜上所述， 14 分 18 (本小題滿分 16 分 ) 高三數(shù)學試卷 第 9 頁 共 15 頁 解： (1)由題意，可得 12 千米 由題可知 |126 16v | 14， 2 分 解得 649 v 647 4 分 (2) 解法一：經過 t 小時 ， 甲、乙之間的距離的平方為 f(t) 由于先乙到達 D 地 ， 故 16v 2， 即 v 8 6分 當 0 5， 即 0 t 5 f(t) (6t)2 ( 2 6t (485 v 36) 因為 485 v 36 0， 所以當 t 5 f(t)取最大值 ， 所以 (485 v 36) (5v)2 25， 解得 v 154 9 分 當 5 13， 即 5v t 13v 時 ， f(t) (1 6t)2 9 (v 6) 2 (t 1v 6)2 9 因為 v 8， 所以 1v 6 5v， (v 6) 2 0， 所以當 t 13v 時 ， f(t)取最大值 ， 所以 (v 6) 2 (13v 1v 6)2 9 25， 解得 398 v 394 1 3 分 當 13 16， 13v t 16v 時 ， f(t) (12 6t)2 (16 ， 因為 12 6t 0， 16 0， 所以當 f(t)在 (13v ， 16v )遞減，所以 當 t 13v 時 ， f(t)取最大值 ， (12 6 13v )2 (16 v 13v )2 25， 解得 398 v 394 因為 v 8， 所以 8 v 394 16 分 解法二：設經過 t 小時，甲、乙之間的距離的平方為 f(t) 由于先乙到達 D 地，故 16v 2，即 v 8 6 分 以 A 點為原點 ， x 軸建立直角坐標系 ， 當 0 5 時， f(t) (456t)2 (35 由于 (456t)2 (35 25，所以 (45v 6)2 (35v)2 25任意 0 t 5 所以 (45v 6)2 (35v)2 解得 v 154 9 分 高三數(shù)學試卷 第 10 頁 共 15 頁 當 5 13 時 ， f(t) (1 6t)2 32 由于 (1 6t)2 32 25，所以 4 1 6t 4 對任意 5v t 13v 都成立 ， 即v 6 5t， 3t v 6，對任意 5v t 13v 都成立 ， 所以v 6 5 3v 6，解得 398 v 394 1 3 分 當 13 16 即 13v t 16v ， 此時 f (t) (12 6t)2 (16 由 及 知 ： 8 v 394 ， 于是 0 12 6t 12 78v 12 78394 4， 又因為 0 16 3， 所以 f (t) (12 6t)2 (16 42 32 25 恒成立 綜上 可知 8 v 394 1 6 分 19 (本小題滿分 16 分 ) 解：（ 1）當 m 1 時， f(x) 1 f (x) 32x x(3x 2) 由 f (x) 0，解得 x 0 或 x 23 所以函數(shù) f(x)的 減區(qū)間是 ( ， 0)和 (23， ) 2 分 （ 2） 依題意 m 0 因為 f(x) m， 所以 f (x) 32 x(3x 2m) 由 f (x) 0，得 x 2 x 0 當 0 x 2， f (x) 0，所以 f(x)在 (0， 2上為增函數(shù)； 當 2 x m 時 ， f (x) 0，所以 f(x)在 (2 m)上為減函數(shù)； 所以， f(x)極大值 f(2 427m 4 分 當 427m m，即 m 362 ， 27m 6 分 當 427m m，即 0 m 362 時， m 綜上， 427m m 3 62 ，m 0 m 362 8 分 高三數(shù)學試卷 第 11 頁 共 15 頁 （ 3）設兩切點的橫坐標分別是 函數(shù) f(x)在這兩點的切線的方程分別為 y ( m) ( 32x y ( m) ( 32x 10 分 將 (2， t)代入兩條切線方程，得 t ( m) ( 322 t ( m) ( 322 因為函數(shù) f(x)圖象上有且僅有兩個不同的切點， 所以方程 t ( m) ( 322 x)有且僅有不相等的兩個實根 12 分 整理得 t 2(6 m)4m 設 h(x) 2(6 m)4m， h (x) 62(6 m)x 4m 2(3x m)(x 2) 當 m 6 時， h (x) 6(x 2)2 0，所 以 h(x)單調遞增，顯然不成立 當 m 6 時， h (x) 0，解得 x 2 或 x 列表可判斷單調性，可得當 x 2 或 x h(x)取得極值分別為 h(2) 3m 8，或 h( 12723m 要使得關于 x 的方程 t 2(6 m)4m 有且僅有兩個不相等的實根， 則 t 3m 8， 或 t 12723m 1 4 分 因為 t 0， 所以 3m 8 0，（ *），或 12723m 0（ *） 解 （ *） ，得 m 83，解 （ *） ，得 m 9 3 6或 m 9 3 6 因為 m 0，所以 m 的范圍為 (0， 83 9 3 6， ) 16 分 20 (本小題滿分 16 分 ) 解：（ 1） 因為 32等差數(shù)列， 所以 43 43a 3 3(2a d) 4a 6 解得， 34 4 分 由 1 2， 得 a n 1)a (n 1) a (n 1)d， 高三數(shù)學試卷 第 12 頁 共 15 頁 整理得n 2 0，n 2 0，6 分 解得 1 1 8 n1 1 8 8 分 由于1 1 8 1 1 8 1 且 1 1 8 0 因此存在唯一的正整數(shù) n，使得 1 2 1 0 分 （ 2）因為 1)t(1 q) 1)r(1 q) t 2r 2，所以 1 1t(t 2)1 1r(r 2) 設 f(n) 1 1n(n 2)， n 2， n N* 則 f(n 1) f(n) 2 1(n 1)(n 3)1 1n(n 2)1(q 1)2(q 2)n 3 2n 3n(n 1)(n 2)(n 3) ， 因為 q 2， n 2，所以 (q 1)2(q 2)n 3 3 1 0， 所以 f(n 1) f(n) 0，即 f(n 1) f(n)，即 f(n)單調遞增 1 2 分 所以當 r 2 時， t r 2， 則 f(t) f(r)，即 1 1t(t 2)1 1r(r 2)，這與1 1t(t 2)1 1r(r 2)互相矛盾 所以 r 1，即 1 1t(t 2)13 1 4 分 若 t 3，則 f(t) f(3) 115 13 15 13 ， 即1 1t(t 2)13 ， 與 1 1t(t 2)13 相矛盾 于是 t 2，所以 18 13 ，即 35q 5 0 又 q 2，所以 q 5856 16 分 高三數(shù)學試卷 第 13 頁 共 15 頁 南京市 2016 屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學附加題參考答案及評分標準 說明： 1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則 2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分 數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù) 4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù) 21【選做題】在 A、 B、 C、 D 四小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，共計 20 分 請在 答卷卡指 定區(qū)域內 作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A選修 4 1： 幾何證明選講 證明 ： (1)連接 因為 半圓 O 的切線 ， 所以 因為 圓 O 的直徑 ， 所以 又因為 所以 所以 所以 平分線 5 分 (2)因為 H 是 點 ， 半圓 O 的半徑為 2， 所以 3， 1 又因為 所以 C 3， 所以 3 在 ， 3， 1，所以 30 由 (1)可得 2 60， 所以 2 3 由 半圓 O 的切線 ， 所以 B， 所以 (2 3)2 12， 所以 2 10 分 B 選修 4 2：矩陣與變換 解：設曲線 C 上的任意一點 P(x， y)， P 在矩陣 A 1 2 1 0 對應的變換下得到點 Q(x， y) 則 1 2 1 0 xy ， 即 x 2y x， x y， 所以 x y， y x y2 5 分 高三數(shù)學試卷 第 14 頁 共 15 頁 代入 221，得 y2 2yx y2 2(x y2 )2 1， 即 x2 y2 2， 所以 曲線 方程為 2 10分 C 選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程 解： M 的極坐標為 (1， 2)，故直角坐標為 M(0， 1)，且 P(2 所以 (2 (1)2 325， 1， 1 5 分 當 13時， 433 ， 此時 2 23 所以， 最大值是 433 ，此時點 P 的坐標是 (4 23 ， 13) 1 0 分 D選修 4 5：不等式選講 解：函數(shù)定義域為 0， 4，且 f(x) 0 由柯西不等式得 52 ( 2)2( x)2 ( 4 x)2) (5 x 2 4 x)2， 5 分 即 27 4 (5 x 2 4 x)2， 所以 5 x 8 2x 6 3 當且僅當 2 x 5 4 x，即 x 10027 時，取等號 所以，函數(shù) f(x) 5 x 8 2 3 10 分 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分 22（本小題滿分 1