小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用 陸宇穎 摘 要 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是將小波理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 它避免了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計的盲目性和局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題 大大簡化了訓(xùn)練 具有較強(qiáng)的 函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力及廣闊的應(yīng)用前景 首先闡明了小波變換和多分辨分析理論 然 后介紹小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用概況 1 研究背景與意義 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于生物神經(jīng)系統(tǒng)研究而建立的模型 它具有大規(guī)模并行處理和分 布式存儲各類圖像信息的功能 有很強(qiáng)的容錯性 聯(lián)想和記憶能力 因而被廣泛地應(yīng)用于 故障診斷 模式識別 聯(lián)想記憶 復(fù)雜優(yōu)化 圖像處理以及計算機(jī)領(lǐng)域 但是 人工神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)模型建立的物理解釋 網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)采用的全局性函數(shù) 網(wǎng)絡(luò)收斂性的保證 網(wǎng)絡(luò)節(jié) 點(diǎn)數(shù)的經(jīng)驗性確定等問題尚有待進(jìn)一步探討和改善 小波理論自 Morlet 提出以來 由于小波函數(shù)具有良好的局部化性質(zhì) 已經(jīng)廣泛滲透 到各個領(lǐng)域 小波變換方法是一種窗口大小固定但其形狀可以改變 時間窗和頻率窗都可 以改變的時頻局部化分析方法 由于在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨 率 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率 所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡 正 是這種特性 使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性 基于多分辨分析的小波變換由于具有時 頻局部化特性而成為了信號處理的有效工具 實際應(yīng)用時常采用 快速算法 利用正交小波基將信號分解到不同尺度上 實現(xiàn)過程如同重復(fù)使用一組高通和低通濾波器 把信號分解到不同的頻帶上 高通濾波器產(chǎn)生信號的高頻細(xì)節(jié)分量 低通濾波器產(chǎn)生信號 的低頻近似分量 每分解一次信號的采樣頻率降低一倍 近似分量還可以通過高通濾波和 低通濾波進(jìn)一步地分解 得到下一層次上的兩個分解分量 而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) Wavelet Neural Network WNN 正是在近年來小波分析研究獲得突 破的基礎(chǔ)上提出的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 它是基于小波分析理論以及小波變換所構(gòu)造的一種 分層的 多分辨率的新型人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 即用非線性小波基取代了通常的非線性 Sigmoid 函數(shù) 其信號表述是通過將所選取的小波基進(jìn)行線性疊加來表現(xiàn)的 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這方面的早期工作大約開始于1992 年 主要研究者是Zhang Q Harold H S 和焦李成等 其中 焦李成在其代表作 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用與實現(xiàn) 中從理論上對小波神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了較為詳細(xì)的論述 近年來 人們在小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用方面都開展了不少 研究工作 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以下特點(diǎn) 首先 小波基元及整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定有可靠的理論根 據(jù) 可避免BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等結(jié)構(gòu)設(shè)計上的盲目性 其次 網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)線性分布和學(xué)習(xí)目標(biāo)函 數(shù)的凸性 使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程從根本上避免了局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題 第三 有較強(qiáng)的 函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力 2 數(shù)學(xué)模型與小波工具 2 1 小波變換及多分辨分析 在函數(shù)空間 或更廣泛的Hilbert 空間 中 選擇一個母小波函數(shù) 又稱為基本 2 L R 小波函數(shù) 使其滿足允許條件 x 2 1 w Cdw w 式中為的Fourier 變換 對作伸縮 平移變換得到小波基函數(shù)系 w x x a b x 2 1 2 a b xb xa bR aa 對任意 其連續(xù)小波變換定義為 2 f xL R 1 3 fa b R Wa bf xdx C 反演公式為 0 1 4 fa b f xWa bdadb C 在實際應(yīng)用中 特別是計算機(jī)實現(xiàn)中 往往要把上述的連續(xù)小波及其變換離散化 通 常采用二進(jìn)制離散 即令 則 2 2 mm abk 2 1 2 5 2 m m k m xxkm kZ 二進(jìn)小波一定是一個允許小波 且是一個正交小波基 考慮一個連續(xù)的 平方可積的 函數(shù)在分辨率下的逼近 由多分辨分析理論可知 2 f xL R 2m m fx 6 mmkmk k fxax 是尺度函數(shù) 對其作伸縮 平移變換得到 x mk x 2 1 2 7 2 m mk m xxkm kZ 8 mkmk af xx dx Mallat同時證明了函數(shù)在和分辨率下的信息差別 即細(xì)節(jié) f x 2m 1 2m m D f x 可以通過將函數(shù)在一小波正交基上分解而獲得 從而定義了一種完全而且正交的多 f x 分辨率描述 即小波描述 9 mmkmk k D f xdx 10 mkmk df xx dx 就是式 5 定義的二進(jìn)小波 則在分辨率下的逼近式為 mk x f x 1 2m 1 11 mmmkmk k fxfxdx Mallat并指出 對于任意一個函數(shù)可以在一組正交小波基上展開 2 f xL R 12 mkmk mk f xdx 式 11 是一個平方可積函數(shù)的小波分解 提供了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的理論框架 上述理論可推廣到多維情況 我們以二維為例 若定義二維尺度函數(shù) 則 12 xx 1212 13 x xxx 則有 12 121122 12 2 2 2 14 mmm mk mkmk x xxkxk xx 同理有 121122 2 2 2 1 2 3 15 lmlmm mk x xxkxk l 1 1212 2 1212 16 x xxx x xxx 3 1212 x xxx 2 2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的典型結(jié)構(gòu)如圖 1 所示 包括輸入層 輸出層和隱層 隱層包含兩 種節(jié)點(diǎn) 小波基節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn) 和尺度函數(shù)節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn) 2 2 1分層多分辨學(xué)習(xí) 網(wǎng)絡(luò)輸出 在 分辨率 最低的分辨率 上的逼近 f x 2L 1 17 L n LLkLk k f xfxax 在分辨率上的逼近 f x 1 2 L 11 18 LL nn LLkLkLkLk kk f xfxaxdx 式 18 中的第一項表示在分辨率上的逼近 在式 17 中 1 L n LkLk k ax f x 2L 已計算 即系數(shù)與式 17 中相同 式 18 中的第二項表示增加的細(xì) Lk a 1 L n LkLk k dx 節(jié) 再考慮在 分辨率上的逼近 有 f x 2 2 L3 2 L 2 21 1 111 2 11 1 1 19 LLL L nnn LLkLkLkLkLkLk kkk n LLkLk k fxaxdxdx fxdx 4 322 2 1 L n LLLkLk k fxfxdx 1 2 011 1 1 2 111 L L L m LL n kk k nnL LkLkmkmk kmk fxf xdx axdx 上述方程式是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法 這種算法是Moody 在1989 年提出的 2 2 2網(wǎng)絡(luò)系數(shù)計算 對于式 19 可以改寫成下述形式 20 ii i f xc 是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù) 是激活函數(shù) 尺度函數(shù)或小波函數(shù) 設(shè)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有n 個 i c i 節(jié)點(diǎn) m 個訓(xùn)練數(shù)據(jù) 則有 1112111 2122222 123 n n mmmnm f xxxxc f xxxxc f xxxxc 即 21 fAc 式 20 的最小二乘解為 1 22 TT cA AAf Af 被稱為的偽逆矩陣 且 AA 2 1121 2 2122 2 12 23 iiiini iii iiiini T iii niiniini iii g xg x gxg x gx gx g xgxgx gx A A gx g xgx gxgx 如果樣本均勻分布 是正交基 i x 1 2 i in 則是一個單位矩陣 且 T A A nn 24 T cA f 2 2 3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程 選擇合適的小波函數(shù)和尺度函數(shù)后 在最粗的尺度L 上訓(xùn)練節(jié)點(diǎn) 直到網(wǎng)絡(luò)達(dá)到收 斂 要使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到收斂 需確定逼近誤差 在很多文獻(xiàn)中提出了誤差的計算方法 和增加 合適的節(jié)點(diǎn)以減少逼近誤差 最后是優(yōu)化網(wǎng)絡(luò) 使用新的樣本來檢驗網(wǎng)絡(luò)并移去權(quán)重小 的節(jié)點(diǎn)直到滿足性能準(zhǔn)則 2 2 4 計算復(fù)雜性 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的計算復(fù)雜性介于 O N 和O N2 之間 N 為學(xué)習(xí)樣本數(shù) 如果學(xué)習(xí) 樣本是均勻分布的 則計算復(fù)雜性為O N 如果學(xué)習(xí)樣本是非均勻分布的 則計算復(fù)雜性 為O N2 3 數(shù)學(xué)應(yīng)用案例 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于小波分析而構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 它充分利用小波變換的良好局部化 性質(zhì)并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)功能 因而具有較強(qiáng)的逼近 容錯能力 其實現(xiàn)過程也比較 簡單 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在近十年來應(yīng)用較廣泛 主要應(yīng)用于以下幾個領(lǐng)域 3 1 非線性函數(shù)逼近 非線性函數(shù)逼近具有非常重要的意義 很多實際問題通過建模都可歸結(jié)于非線性函數(shù)逼近 問題 而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過對小波分解進(jìn)行平移和伸縮變換之后得到的級數(shù) 具有小波 分解的函數(shù)逼近性質(zhì) 由于它引入了伸縮和平移因子 又比一般的小波分解有更多的自由 度 而且還具有小波變換在高頻域的時間精度和低頻域的頻率精度 故能夠更加細(xì)致地描 述復(fù)雜函數(shù)的特性 Zhang 和Benveniste 首先將小波理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而提出了非正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 9 并 首次將這種新理論應(yīng)用于函數(shù)逼近 取得了很好的結(jié)果 他們分別對一維 二維非線性函 數(shù)進(jìn)行擬合逼近的研究 采用高斯函數(shù)推導(dǎo)式 作為小波基函數(shù) 對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼 222 12 2 2 12 xxx xxeandxx x e 近模擬結(jié)果與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法進(jìn)行對比 結(jié)果顯示小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函 數(shù)的擬合逼近明顯要優(yōu)于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法 見圖2 實線是實際曲線 虛線是 逼近曲線 并吸收了兩者的許多優(yōu)點(diǎn) 摒棄了兩者的一些缺點(diǎn) 李銀國等則在前人的基礎(chǔ)上提出了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計的時 空 域 分解 綜合 方法 18 并通過仿真實驗 非線性函數(shù)逼近 表明 此種方法較好地解決了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 中普遍存在的 維數(shù)災(zāi) 問題 且函數(shù)逼近能力強(qiáng) 精度便于掌握 訓(xùn)練過程方便 不存 在局部最優(yōu)問題 3 2 信號表示和分類 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于信號表示已有很多范例 但用于信號分類的很少 Harold HS 等構(gòu)造了 自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并將其應(yīng)用于語音識別 他們首先提出了兩種不同的自適應(yīng)小波神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 均采用高斯函數(shù)作為小波基函數(shù) 和能量函數(shù)分別用 2 2 cos 1 75 x xx e 于信號表示與分類 并引入了超小波 super wavelet 這一新術(shù)語 對于具體的問題 超 小波不僅自適應(yīng)計算定型小波函數(shù)的參數(shù) 而且自適應(yīng)計算小波形狀 他們將這些理論 先應(yīng)用于一維信號的表示與分類 隨后又討論了其可能在語音識別中的應(yīng)用 并展望這些 理論可能會廣泛應(yīng)用于信號識別與分類和圖像識別與分類 3 3 材料損傷診斷 吳耀華等介紹了多變量輸入 輸出系統(tǒng)的B 樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和用于分類的自適應(yīng)B 樣條 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 應(yīng)用于智能復(fù)合材料應(yīng)變損傷位置的診斷 他們在實際操作中采用了一些 技術(shù)處理以減少小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性 從而加快了訓(xùn)練的速度和提高了識別能力 并且在同樣條件下將這兩種小波網(wǎng)絡(luò)與BP 網(wǎng)絡(luò)相對比 結(jié)果表明B 樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 建模精度和收斂速度明顯高于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 圖3 3 4 錯誤診斷與分析 Zhao Jinsong 等提出了一種新穎的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 小波 Sigmoid 基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) wavelet sigmoid basic function neural network WSBFN 并將其應(yīng)用于動態(tài)錯誤診斷中 他們?yōu)榱私鉀Q小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 瓶頸 效應(yīng) 提出了一種多維非乘積小波函數(shù) 2 2 cos 1 75 x xx e 并將其和相應(yīng)的尺度函數(shù)一起作為WSBFN 隱層的激勵函數(shù) 同時將sigmoid 基函數(shù)作 為WSBFN 輸出層的激勵函數(shù) 文獻(xiàn)中將WSBFN 應(yīng)用于氫化裂解過程的錯誤診斷中 并 同前人提出的較好的錯誤診斷方法之 SBFN 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比 結(jié)果顯示 WSBFN可以用 更簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)而得到更好的診斷效果 WSBFN 訓(xùn)練錯誤遠(yuǎn)低于SBFN 而且錯誤診斷 準(zhǔn)確率達(dá)到100 也優(yōu)于SBFN Bakshi 和Stephanopoulos在多分辨率基礎(chǔ)上提出了正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 并將其應(yīng)用于靜態(tài) 錯誤 3 5 動態(tài)建模 現(xiàn)實中 許多問題可以通過動態(tài)建模來解決 雖然采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非線性系統(tǒng)建模 的研究很多 但是采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行動態(tài)建模的則比較少 錢峻等應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 實現(xiàn)非線性系統(tǒng)模型的在線建立及自校正算法 并將其應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模 他們在繼承前人對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的診斷與分析問題中 也取得了非常好的診斷效果 經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法的基礎(chǔ)上 引入了限定記憶最小二乘法以替代普通的最小二乘法來實現(xiàn) 小波 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線建模和校正算法 他們將其方法應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模 結(jié)果顯 示該小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的預(yù)測功能和推廣性能 見圖4 實線是系統(tǒng)輸出 虛線是小波 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出 其訓(xùn)練方法亦比用普通的最小二乘法快得多 采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)動態(tài)建模來解決自動控制中的一些實際問題也已有研究 Oussar等 首次將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)建模 他們采用高斯函數(shù)作為小波函數(shù) 提出了一種 訓(xùn)練算法和用其構(gòu)建了反饋小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 并將其應(yīng)用于動態(tài)非線性輸入輸出系統(tǒng)建模中 機(jī)器人手臂的液壓激勵器的建模 將其建模效果與其他的輸入輸出模型 鉸鏈超平面 模型和S 形人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 進(jìn)行比較 結(jié)果表明 在輸入輸出系統(tǒng)建模中采用小波神 經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以取得與采用S 形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣良好的建模效果 Safavi 等采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來 簡化分裂蒸餾塔模型 他們采用一種混合模型替代傳統(tǒng)的機(jī)械模型 混合模型是在傳統(tǒng)的 機(jī)械模型中加上了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊 用來控制蒸餾塔的輸入輸出模塊 同時 他們將其 與傳統(tǒng)模型進(jìn)行比較 結(jié)果顯示 該模型大大簡化了分裂蒸餾塔模型且保持了原有機(jī)械模 型的精確性和內(nèi)部數(shù)據(jù)變量的有效性 3 6 非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析 由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用非線性小波基的線性疊加表示信號 故具有很好的特征提取和抑噪 能 力 特別適用于非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析 Bakshi 和Stephanopoulos 則首次在多分辨率 基礎(chǔ)上提出正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析 楊宜康等則將小波神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)應(yīng)用于測量中的異常數(shù)據(jù)診斷和消除 他們首先借助時 頻譜圖識別時間序列中異常數(shù)據(jù) 的位置和性質(zhì) 然后利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為擬合工具 同時引入加權(quán)誤差能量函數(shù) 通過 適當(dāng)選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化 實現(xiàn)了對受污染的時間序列的抗擾最佳逼近 實例表明 采用加權(quán)誤差能量函數(shù)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了具有逼近性能好 抑噪特性強(qiáng)和收 斂速度快的優(yōu)點(diǎn)外 還能有效地消除異常數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果的影響 具有較強(qiáng)的魯棒性 4 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計實例小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計實例 采用sinc函數(shù)來驗證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合能力 Sinc函數(shù)定義為 sin sin xa yc xabb xa 自變量x的范圍取為 5 5 采樣間隔為0 1 共101個樣本點(diǎn) 其中前70個樣本點(diǎn)作為 訓(xùn)練樣本 后31個樣本點(diǎn)作為檢驗樣本 a 1 b 1 因變量 sin 1 1 yc x 本例中采用緊致型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層中神經(jīng)元的傳統(tǒng)激發(fā)函數(shù)用小波函 數(shù)來代替 采用通常用于信號分類的小波基函數(shù)Morlet小波函數(shù) r通常取值為1 75 作為 網(wǎng)絡(luò)隱含層的激勵函數(shù) 2 cos 1 75 exp 2 h ttt 式中 t為函數(shù)的輸入 當(dāng)函數(shù)的輸入為零時 其輸出為1 達(dá)到最大值 當(dāng)輸入的絕 對值較大時 輸出很快衰減為0 MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的傳遞函數(shù)沒有Morlet小波函數(shù) 所以將創(chuàng)建自定義的傳輸 函數(shù) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中包含了一個自定義傳遞函數(shù)template transfer 輸入help template transfer就可以得到有關(guān)此函數(shù)的幫助信息 將template transfer函數(shù)作為一個模板 來生成自定義的傳遞函數(shù) 首先 在MATLAB安裝目錄下找到template transfer m文件 將原傳遞函數(shù)改為Morlet 小波函數(shù)表達(dá)式 cos 1 75 exp 2 2 ann 再將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)改為 1 1 75 sin 1 75 exp 2 2 dadnnann 將輸入輸出范圍改為 infinf 在主程序中將傳遞函數(shù)設(shè)為 template transfer 本例中未改模板文件名稱 程序如 下 clc clear close all 產(chǎn)生訓(xùn)練樣本與測試樣本 n1 5 0 1 4 95 x1 sinc n1 1 1 n2 4 95 0 1 5 x2 sinc n1 1 1 xn train n1 訓(xùn)練樣本 每一列為一個樣本 dn train x1 xn test n2 dn test x2 設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù) NodeNum 20 TypeNum 1 p1 xn train 訓(xùn)練輸入 t1 dn train 訓(xùn)練輸出 Epochs 1000 訓(xùn)練次數(shù) P xn test 測試輸入 T dn test 測試輸出 真實值 設(shè)置網(wǎng)絡(luò)參數(shù) TF1 template transfer TF2 purelin 設(shè)置傳遞參數(shù) template transfer 為自 定義Morlet小波函數(shù)net newff minmax p1 NodeNum TypeNum TF1 TF2 trainlm 指定訓(xùn)練參數(shù) net trainParam epochs Epochs 最大訓(xùn)練次數(shù) net trainParam goal 1e 8 最小均方誤差 net trainParam min grad 1e 20 最小梯度 net trainParam show 200 訓(xùn)練顯示間隔 net trainParam time inf 最大訓(xùn)練時間 訓(xùn)練與測試 net train net p1 t1 訓(xùn)練 X sim net P 測試 輸出為預(yù)測值 結(jié)果作圖 plot 1 length n2 x2 r 1 length n2 X bo title 為真實值 o為預(yù)測值 5 結(jié)論與展望 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最初主要用于函數(shù)逼近 語音識別 隨著小波網(wǎng)絡(luò)的理論不斷發(fā)展 應(yīng) 用領(lǐng)域也不斷拓寬 如非線性系統(tǒng)辨識 模式識別 信號分類 心電信號的識別與分類 數(shù)據(jù)與圖像壓縮 近年來 小波網(wǎng)絡(luò)在我國也引起了廣大學(xué)者的關(guān)注 總體而言 小波