勾股定理16種經(jīng)典證明方法

1 1 勾股定理的證明勾股定理的證明 證法證法 1 1 做 8 個全等的直角三角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b 斜邊長為 c 再做三個邊長分別為 a b c 的正 方形 把它們像上圖那樣拼成兩個正方形 從圖上可以看到 這兩個正方形的邊長都是 a b 所以面積相等 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 整理得 222 cba 證法證法 2 2 鄒元治證明 鄒元治證明 以 a b 為直角邊 以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形 則每個直角三角形的面積等于 ab 2 1 把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀 使 A E B 三點在一條直線上 B F C 三點在一條直線上 C G D 三點在一條直線上 Rt HAE Rt EBF AHE BEF AEH AHE 90 AEH BEF 90 HEF 180 90 90 四邊形 EFGH 是一個邊長為 c 的 正方形 它的面積等于 c2 Rt GDH Rt HAE HGD EHA HGD GHD 90 EHA GHD 90 又 GHE 90 DHA 90 90 180 ABCD 是一個邊長為 a b 的正方形 它的面積等于 2 ba 2 2 2 1 4cabba 222 cba 證法證法 3 3 趙爽證明 趙爽證明 以 a b 為直角邊 b a 以 c 為斜 邊作四個全等的直角三角形 則每個直角 三角形的面積等于 ab 2 1 把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀 Rt DAH Rt ABE HDA EAB HAD HAD 90 EAB HAD 90 ABCD 是一個邊長為 c 的正方形 它的面積等于 c2 DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH 2 2 a ba b c c AB C D E P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c EF FG GH HE b a HEF 90 EFGH 是一個邊長為 b a 的正方形 它的面積等于 2 ab 2 2 2 1 4cabab 222 cba 證法證法 4 4 18761876 年美國總統(tǒng)年美國總統(tǒng) GarfieldGarfield 證明 證明 以 a b 為直角邊 以 c 為斜邊作兩個全等的直角三角形 則每個直角三角形的面積等于 ab 2 1 把這兩個直角 三角形拼成如圖所示形狀 使 A E B 三點在一條直線上 Rt EAD Rt CBE ADE BEC AED ADE 90 AED BEC 90 DEC 180 90 90 DEC 是一個等腰直角三角形 它的面積等于 2 2 1 c 又 DAE 90 EBC 90 AD BC ABCD 是一個直角梯形 它的面積等于 2 2 1 ba 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba 222 cba 證法證法 5 5 梅文鼎證明 梅文鼎證明 做四個全等的直角三角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b 斜邊長為 c 把它們拼成如圖那樣的一個多邊 形 使 D E F 在一條直線上 過 C 作 AC 的延長線交 DF 于點 P D E F 在一條直線上 且 Rt GEF Rt EBD EGF BED EGF GEF 90 BED GEF 90 BEG 180 90 90 又 AB BE EG GA c ABEG 是一個邊長為 c 的正方形 ABC CBE 90 Rt ABC Rt EBD ABC EBD EBD CBE 90 即 CBD 90 又 BDE 90 BCP 90 BC BD a BDPC 是一個邊長為 a 的正方形 同理 HPFG 是一個邊長為 b 的正方形 設(shè)多邊形 GHCBE 的面積為 S 則 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 3 3 c c c ba c b a A B C E F P Q M N 222 cba 證法證法 6 6 項明達證明 項明達證明 做兩個全等的直角三角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b b a 斜邊長為 c 再做一個邊長為 c 的正 方形 把它們拼成如圖所示的多邊形 使 E A C 三點在一條直線上 過點 Q 作 QP BC 交 AC 于點 P 過點 B 作 BM PQ 垂足為 M 再過點 F 作 FN PQ 垂足為 N BCA 90 QP BC MPC 90 BM PQ BMP 90 BCPM 是一個矩形 即 MBC 90 QBM MBA QBA 90 ABC MBA MBC 90 QBM ABC 又 BMP 90 BCA 90 BQ BA c Rt BMQ Rt BCA 同理可證 Rt QNF Rt AEF 從而將問題轉(zhuǎn)化為 證法 4 梅文鼎證明 證法證法 7 7 歐幾里得證明 歐幾里得證明 做三個邊長分別為 a b c 的正方形 把它們拼成如圖所示形狀 使 H C B 三點在一條直線上 連結(jié) BF CD 過 C 作 CL DE 交 AB 于點 M 交 DE 于點 L AF AC AB AD FAB GAD FAB GAD FAB 的面積等于 2 2 1 a GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半 矩形 ADLM 的面積 2 a 同理可證 矩形 MLEB 的面積 2 b 正方形 ADEB 的面積 矩形 ADLM 的面積 矩形 MLEB 的面積 222 bac 即 222 cba 證法證法 8 8 利用相似三角形性質(zhì)證明 利用相似三角形性質(zhì)證明 證法證法 9 9 楊作玫證明 楊作玫證明 做兩個全等的直角三角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b b a 斜邊長為 c 再做一個邊長為 c 的正方形 把它們拼成如圖所示的多邊形 過 A 作 AF AC AF 交 GT 于 F AF 交 DT 于 R 過 B 作 BP AF 垂足為 P 過 D 作 DE 與 CB 的延長線垂直 垂足為 E DE 交 AF 于 H BAD 90 PAC 90 DAH BAC 又 DHA 90 BCA 90 AD AB c Rt DHA Rt BCA DH BC a AH AC b 由作法可知 PBCA 是一個矩形 所以 Rt APB Rt BCA 即 PB CA b AP a 從而 PH b a Rt DGT Rt BCA 9 8 7 6543 21 P Q R T H G F E D CB A a b c a b cc c c b a c b a AB C D E F G H M L K 4 4 Rt DHA Rt BCA Rt DGT Rt DHA DH DG a GDT HDA 又 DGT 90 DHF 90 GDH GDT TDH HDA TDH 90 DGFH 是一個邊長為 a 的正方形 GF FH a TF AF TF GT GF b a TFPB 是一個直角梯形 上底 TF b a 下底 BP b 高 FP a b a 用數(shù)字表示面積的編號 如圖 則以 c 為邊長的正方形的面積為 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 abb 2 1 2 985 SSS 8 2 43 2 1 SabbSS 81 2 SSb 把 代入 得 9881 2 21 2 SSSSbSSc 92 2 SSb 22 ab 222 cba 證法證法 10 10 李銳證明 李銳證明 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a b b a 斜邊的長為 c 做三個邊長分別為 a b c 的正方形 把它們拼 成如圖所示形狀 使 A E G 三點在一條直線上 用數(shù)字表示面積的編號 如圖 TBE ABH 90 TBH ABE 又 BTH BEA 90 BT BE b Rt HBT Rt ABE HT AE a GH GT HT b a 又 GHF BHT 90 DBC BHT TBH BHT 90 GHF DBC DB EB ED b a HGF BDC 90 Rt HGF Rt BDC 即 27 SS 過 Q 作 QM AG 垂足是 M 由 BAQ BEA 90 可知 ABE QAM 而 AB AQ c 所以 Rt ABE Rt QAM 又 Rt HBT Rt ABE 所以 Rt HBT Rt QAM 即 58 SS 由 Rt ABE Rt QAM 又得 QM AE a AQM BAE AQM FQM 90 BAE CAR 90 AQM BAE FQM CAR 又 QMF ARC 90 QM AR a Rt QMF Rt ARC 即 64 SS 54321 2 SSSSSc 61 2 SSa 873 2 SSSb 又 27 SS 58 SS 64 SS 87361 22 SSSSSba M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 5 5 52341 SSSSS 2 c 即 222 cba 證法證法 11 11 利用切割線定理證明 利用切割線定理證明 證法證法 12 12 利用多列米定理證明 利用多列米定理證明 證法證法 13 13 作直角三角形的內(nèi)切圓證明 作直角三角形的內(nèi)切圓證明 證法證法 14 14 利用反證法證明 利用反證法證明 證法證法 15 15 辛卜松證明 辛卜松證明 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a b 斜邊的長為 c 作邊長是 a b 的正方形 ABCD 把正方形 ABCD 劃分成上 方左圖所示的幾個部分 則正方形 ABCD 的面積為 abbaba2 22 2 把正方形 ABCD 劃分成上方右圖所示的 幾個部分 則正方形 ABCD 的面積為 2 2 2 1 4cabba 2 2cab 222 22cababba 222 cba 證法證法 16 16 陳杰證明 陳杰證明 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a b b a 斜邊的長為 c 做兩個邊長分別為 a b 的正方形 b a 把它 們拼成如圖所示形狀 使 E H M 三點在一條直線上 用數(shù)字表示面積的編號 如圖 在 EH b 上截取 ED a 連結(jié) DA DC 則 AD c EM EH HM b a ED a DM EM ED ab a b 又 CMD 90 CM a AED 90 AE b Rt AED Rt DMC EAD MDC DC AD c ADE ADC MDC 180 ADE MDC ADE EAD 90 ADC 90 作 AB DC CB DA 則 ABCD 是一個邊長為 c 的正方形 BAF FAD DAE FAD 90 BAF DAE 連結(jié) FB 在 ABF 和 ADE 中 AB AD c AE AF b BAF DAE ABF ADE AFB AED 90 BF DE a 點 B F G H 在一條直線上 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a b