2011屆高考數(shù)學(xué)權(quán)威預(yù)測 29三角函數(shù)的圖圖象與性質(zhì) 新人教A版

用心 愛心 專心 1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一 一 課標(biāo)要求課標(biāo)要求 1 能畫出 y sin x y cos x y tan x 的圖像 了解三角函數(shù)的周期性 2 借助圖像理解正弦函數(shù) 余弦函數(shù)在 0 2 正切函數(shù)在 2 2 上的性質(zhì) 如單調(diào)性 最大和最小值 圖像與 x 軸交點(diǎn)等 3 結(jié)合具體實(shí)例 了解 y Asin wx 的實(shí)際意義 能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出 y Asin wx 的圖像 觀察參數(shù) A w 對(duì)函數(shù)圖像變化的影響 二 二 命題走向命題走向 近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求 而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查 因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容 是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ) 又是 解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具 因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn) 在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù) 形結(jié)合的思想 把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來 即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì) 或由單位圓 上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì) 同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象 這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì) 又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法 預(yù)測 2011 年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為 1 題型為 1 道選擇題 求值或圖象變換 1 道解答題 求值或圖像變換 2 熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 特別是 y Asin wx 的圖象及其變換 三 三 要點(diǎn)精講要點(diǎn)精講 1 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù)的圖像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x y cotx 3 2 2 2 2 o y x 2 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 xysin 的遞增區(qū)間是 2 2 2 2 kk Zk 用心 愛心 專心 2 遞減區(qū)間是 2 3 2 2 2 kk Zk xycos 的遞增區(qū)間是 kk22 Zk 遞減區(qū)間是 kk22 Zk xytan 的遞增區(qū)間是 22 kk Zk 3 函數(shù)BxAy sin 其中00 A 最大值是BA 最小值是AB 周期是 2 T 頻率是 2 f 相位是 x 初相是 其圖象的對(duì)稱軸是直線 2 Zkkx 凡是該圖象與直線By 的交 點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心 4 由 y sinx 的圖象變換出 y sin x 的圖象一般有兩個(gè)途徑 只有區(qū)別開這兩個(gè) 途徑 才能靈活進(jìn)行圖象變換 利用圖象的變換作圖象時(shí) 提倡先平移后伸縮 但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變 形 請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母 x 而言 即圖象變換要看 變量 起多大變化 而不是 角變化 多少 途徑一 先平移變換再周期變換 伸縮變換 先將 y sinx 的圖象向左 0 或向右 0 平移 個(gè)單位 再將圖象上各點(diǎn)的 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1 倍 0 便得 y sin x 的圖象 途徑二 先周期變換 伸縮變換 再平移變換 先將 y sinx 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1 倍 0 再沿 x 軸向左 0 或向 右 0 平移 個(gè)單位 便得 y sin x 的圖象 5 由 y Asin x 的圖象求其函數(shù)式 給出圖象確定解析式y(tǒng) Asin x 的題型 有時(shí)從尋找 五點(diǎn) 中的第一零點(diǎn) 0 作為突破口 要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置 6 對(duì)稱軸與對(duì)稱中心 sinyx 的對(duì)稱軸為 2 xk 對(duì)稱中心為 0 kkZ cosyx 的對(duì)稱軸為xk 對(duì)稱中心為 2 0 k 對(duì)于sin yAx 和cos yAx 來說 對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系 對(duì)稱軸與最 值點(diǎn)聯(lián)系 7 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式 要特別注意 A 的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù) 并且在同一單調(diào)區(qū)間 8 求三角函數(shù)的周期的常用方法 經(jīng)過恒等變形化成 sin yAx cos yAx 的形式 在利用周期公 式 另外還有圖像法和定義法 用心 愛心 專心 3 9 五點(diǎn)法作 y Asin x 的簡圖 五點(diǎn)取法是設(shè) x x 由 x 取 0 2 2 3 2 來求相應(yīng)的 x 值及對(duì)應(yīng)的 y 值 再描點(diǎn)作圖 四 四 典例解析典例解析 題型 1 三角函數(shù)的圖象 例 1 2009 浙江理 已知a是實(shí)數(shù) 則函數(shù) 1sinf xaax 的圖象不可能是 解析 對(duì)于振幅大于 1 時(shí) 三角函數(shù)的周期為 2 1 2TaT a 而 D 不符合要求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了2 答案 D 例 2 2009 遼寧理 8 已知函數(shù) f x Acos x 的圖象如圖所示 2 23 f 則 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 答案 C 題型 2 三角函數(shù)圖象的變換 用心 愛心 專心 4 例 3 試述如何由 y 3 1 sin 2x 3 的圖象得到 y sinx 的圖象 解析 y 3 1 sin 2x 3 縱坐標(biāo)不變 倍橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 3 sin 3 1 2 xy xysin 3 1 3 縱坐標(biāo)不變 個(gè)單位圖象向右平移 xysin 3 橫坐標(biāo)不變 倍縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 另法答案 1 先將 y 3 1 sin 2x 3 的圖象向右平移 6 個(gè)單位 得 y 3 1 sin2x 的圖象 2 再將 y 3 1 sin2x 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 2 倍 縱坐標(biāo)不變 得 y 3 1 sinx 的 圖象 3 再將 y 3 1 sinx 圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 3 倍 橫坐標(biāo)不變 即可得到 y sinx 的圖象 例 4 2009 山東卷理 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 再向上平移 1 個(gè)單位 所 得圖象的函數(shù)解析式是 A cos2yx B 2 2cosyx C 4 2sin 1 xy D 2 2sinyx 解析 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 得到函數(shù)sin2 4 yx 即 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個(gè)單位 所得圖象的函數(shù)解析式為 2 1 cos22cosyxx 故選 B 答案 B 命題立意 本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式 的基本知識(shí)和基本技能 學(xué)會(huì)公式的變形 7 2009 山東卷文 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 再向上平移 1 個(gè)單位 所得圖 象的函數(shù)解析式是 A 2 2cosyx B 2 2sinyx C 4 2sin 1 xy D cos2yx 解析 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 得到函數(shù)sin2 4 yx 即 用心 愛心 專心 5 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個(gè)單位 所得圖象的函數(shù)解析式為 2 1 cos22cosyxx 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式 的基本知識(shí)和基本技能 學(xué)會(huì)公式的變形 題型 3 三角函數(shù)圖象的應(yīng)用 例 5 已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為sin IAt 右圖是sin IAt 0 2 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求sin IAt 的解析式 如果t在任意一段 1 150 秒的時(shí)間內(nèi) 電流 sin IAt 都能取得最大值和最小值 那么 的最小正整 數(shù)值是多少 解析 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算能力和邏輯推理能 力 由圖可知 A 300 設(shè)t1 1 900 t2 1 180 則周期T 2 t2 t1 2 1 180 1 900 1 75 2 T 150 又當(dāng)t 1 180 時(shí) I 0 即 sin 150 1 180 0 而 2 6 故所求的解析式為300sin 150 6 It 依題意 周期T 1 150 即 2 1 150 0 300 942 又 N 故最小正整數(shù) 943 點(diǎn)評(píng) 本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言 其中 讀圖 識(shí)圖 用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑 300 300 1 180 1 900 o I t 用心 愛心 專心 6 例 6 1 2009 遼寧卷理 已知函數(shù) f x Acos x 的圖象如圖所示 2 23 f 則 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 解析 由圖象可得最小正周期為 2 3 于是 f 0 f 注意到與 關(guān)于對(duì)稱 2 3 2 3 2 7 12 所以 f f 2 3 2 3 2 答案 B 2 2009 寧夏海南卷理 已知函數(shù) y sin x 0 的圖像如圖所示 則 解析 由圖可知 544 2 1 255 89 510 Tx 把代入y si n有 1 si n 答案 9 10 題型 4 三角函數(shù)的定義域 值域 例 7 1 已知 f x 的定義域?yàn)?0 1 求 f cosx 的定義域 2 求函數(shù) y lgsin cosx 的定義域 圖 用心 愛心 專心 7 分析 求函數(shù)的定義域 1 要使 0 cosx 1 2 要使 sin cosx 0 這里的 cosx 以它的值充當(dāng)角 解析 1 0 cosx 1 2k 2 x 2k 2 且 x 2k k Z 所求函數(shù)的定義域?yàn)?x x 2k 2 2k 2 且 x 2k k Z 2 由 sin cosx 0 2k cosx 2k k Z 又 1 cosx 1 0 cosx 1 故所求定義域?yàn)?x x 2k 2 2k 2 k Z 點(diǎn)評(píng) 求三角函數(shù)的定義域 要解三角不等式 常用的方法有二 一是圖象 二是三角函數(shù)線 例 8 已知函數(shù) f x x xx 2cos 1cos5cos6 24 求 f x 的定義域 判斷它的奇偶性 并求其值域 解析 由 cos2x 0 得 2x k 2 解得 x 42 k k Z 所以 f x 的定義域?yàn)?x x R 且 x 42 k k Z 因?yàn)?f x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且 f x x xx x xx 2cos 1cos5cos6 2cos 1 cos5 cos6 2424 f x 所以 f x 是偶函數(shù) 又當(dāng) x 42 k k Z 時(shí) f x 1cos3 2cos 1cos3 1cos2 2cos 1cos5cos6 2 2224 x x xx x xx 所以 f x 的值域?yàn)?y 1 y 2 1 或 2 1 y 2 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí) 考查邏輯思維能力 分析和解決問題的能力 題型 5 三角函數(shù)的單調(diào)性 例 9 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 y sin x 4 分析 1 要將原函數(shù)化為y 2 1 sin 3 2 x 4 再求之 2 可畫出y sin x 4 的圖象 用心 愛心 專心 8 解 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 1 sin 3 2x 4 故由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3k 8 3 x 3k 8 9 k Z 為單調(diào)減區(qū)間 由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3 3k 8 9 x 3k 8 21 k Z 為單調(diào)增區(qū)間 遞減區(qū)間為 3k 8 3 3k 8 9 遞增區(qū)間為 3k 8 9 3k 8 21 k Z 2 y sin x 4 的圖象的增區(qū)間為 k 4 k 4 3 減區(qū)間為 k 4 k 4 5 4 3 4 7 4 5 4 3 4 4 4 o y x 例 10 2002 京皖春文 9 函數(shù) y 2sinx的單調(diào)增區(qū)間是 A 2k 2 2k 2 k Z B 2k 2 2k 2 3 k Z C 2k 2k k Z D 2k 2k k Z 解析 A 函數(shù) y 2x為增函數(shù) 因此求函數(shù) y 2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù) y sinx 的單調(diào) 增區(qū)間 題型 6 三角函數(shù)的奇偶性 例 11 判斷下面函數(shù)的奇偶性 f x lg sinx x 2 sin1 分析 判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 然后再看 f x 與f x 的關(guān)系 解析 定義域?yàn)?R 又 f x f x lg1 0 即 f x f x f x 為奇函數(shù) 點(diǎn)評(píng) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要 但不充分 條件 例 12 2001 上海春 關(guān)于 x 的函數(shù) f x sin x 有以下命題 對(duì)任意的 f x 都是非奇非偶函數(shù) 不存在 使 f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 用心 愛心 專心 9 存在 使 f x 是奇函數(shù) 對(duì)任意的 f x 都不是偶函數(shù) 其中一個(gè)假命題的序號(hào)是 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 該命題的結(jié)論不成立 答案 k k Z 或者 2 k k Z 或者 2 k k Z 解析 當(dāng) 2k k Z 時(shí) f x sinx 是奇函數(shù) 當(dāng) 2 k 1 k Z 時(shí) f x sinx 仍是奇函數(shù) 當(dāng) 2k 2 k Z 時(shí) f x cosx 或當(dāng) 2k 2 k Z 時(shí) f x cosx f x 都是偶函數(shù) 所以 和 都是正確的 無論 為何值都不能使 f x 恒 等于零 所以 f x 不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 和 都是假命題 點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的奇偶性 誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力 注意 k Z 不能不寫 否則不給分 本題的答案不惟一 兩個(gè)空全答對(duì)才能得分 題型 7 三角函數(shù)的周期性 例 13 求函數(shù) y sin6x cos6x 的最小正周期 并求 x 為何值時(shí) y 有最大值 分析 將原函數(shù)化成 y Asin x B 的形式 即可求解 解析 y sin6x cos6x sin2x cos2x sin4x sin2xcos2x cos4x 1 3sin2xcos2x 1 4 3 sin22x 8 3 cos4x 8 5 T 2 當(dāng) cos4x 1 即 x 2 k k Z 時(shí) ymax 1 例 14 設(shè) 0 cossin xbxaxf的周期 T 最大值4 12 f 1 求 a b的值 2 的值終邊不共線 求 的兩根 為方程 若 tan 0 xf 解析 1 sin 22 xbaxf T 2 又 xf 的最大值 4 12 f 22 4ba 且 12 2 cosb 12 2 sina4 由 解出 a 2 b 3 2 3 2sin 42cos322sin2 xxxxf 0 ff 3 2sin 4 3 2sin 4 3 22 3 2 k 或 3 2 2 3 2 k 即 k 共線 故舍去 或 6 k 3 3 6 tan tan k Zk 點(diǎn)評(píng) 方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法 在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的 用心 愛心 專心 10 周期性 題型 8 三角函數(shù)的最值