2016年5月海南省?？谑兄锌紨?shù)學(xué)綜合性壓軸題含詳細(xì)解析

2016年海南省?？诰拍昙?jí)數(shù)學(xué) 綜合性壓軸題 (第 1題圖 ) 1 如圖 ， 拋物線 y 12c 與 (0， 4)， 與 x 軸交于點(diǎn) A， B， 且 2， 0) (1)求該拋物線的表達(dá)式 (2)若點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) E 交 ， 連結(jié) 求 (3)若點(diǎn) 點(diǎn) 且 求 解： (1)把點(diǎn) C(0， 4)， B(2， 0)的坐標(biāo)分別代入 y 12c 中 ， 得 c 4，12 22 2b c 0， 解得b 1，c 4. 該拋物線的表達(dá)式為 y 12x 4. (2)令 y 0， 即 12x 4 0， 解得 4， 2， 點(diǎn) A( 4， 0)， S 1212. 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x， 0)， 則 2 x. S (， 即 S (2 2， 化簡(jiǎn) ， 得 S 13(2 x)2. S S S 12S 12 (2 x)4 13(2 x)2 1323x 83 13(x 1)2 3， 當(dāng) x 1 時(shí) ， S . (3) 等腰三角形 ， 可能有三種情形： ( )當(dāng) ， 如解圖 所示 2， 45， 90， 點(diǎn) 2， 2) ,(第 1題圖解 ) ( )當(dāng) ， 如解圖 所示 過(guò)點(diǎn) N 點(diǎn) N， 則點(diǎn) N 為 中點(diǎn) ， 1， 3， 又 等腰直角三角形 ， 3， 點(diǎn) 1， 3) ( )當(dāng) ， 等腰直角三角形 ， 點(diǎn) O 到 距離為 22 4 2 2， 即 的點(diǎn)與點(diǎn) O 之間的最小距離為 2 2. 2 2 2， 情況不存在 綜上所述 ， 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2， 2)或 ( 1， 3) (第 2題圖 ) 2 如圖 ， 拋物線 y 12n與 ， 與 ， 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交 ， 已知點(diǎn) A( 1， 0)， C(0， 2) (1)求拋物線的表達(dá)式 (2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) P， 使 以 腰的等腰三角形？如果存在 ， 直接寫(xiě)出點(diǎn) 果不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由 (3)點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) E作 ， 當(dāng)點(diǎn) 四邊形 出四邊形 的坐標(biāo) 解： (1) 拋物線 y 12n 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 1， 0)， C(0， 2)， 12 m n 0，n 2，解得m 32，n 2. 拋物線的表達(dá)式為 y 1232x 2. (2) y 1232x 2， y 12 x 322 258 ， 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x 32. 32. 點(diǎn) C(0， 2)， 2. 在 ， 由勾股定理 ， 得 52. 以 腰的等腰三角形 ， 如解圖 ， 分別以 C， D 為圓心 ， 為半徑畫(huà)圓交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn) 作 x 軸于 H， 2， 4. 點(diǎn) 32， 4 ， 32， 52 ， 32， 52 . (第 2 題圖解 ) (3)當(dāng) y 0時(shí) ， 0 1232x 2， 解得 1， 4， 點(diǎn) B(4， 0) 設(shè)直線 y b， 將 B， 得 2 b，0 4k b， 解得 k 12，b 2. 直線 y 12x 2. 如解圖 ， 過(guò)點(diǎn) M ， 設(shè)點(diǎn) E a， 12a 2 ， 則 F a， 1232a 2 ， 1232a 2 12a 2 122a(0 x 4) S 四邊形 S S S 121212 12 52 2 12 122a a 12 122a（ 4 a） . 4a 52 (a 2)2 132 (0 x 4) a 2時(shí) ， S 四邊形 S 最大 132， 此時(shí)點(diǎn) E(2， 1) (第 3題圖 ) 3 如圖所示 ， 點(diǎn) 重合 ， 點(diǎn)A在 點(diǎn) B在 已知 3， 使點(diǎn) 記為點(diǎn) D， E在 (1)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中 ， 求點(diǎn) (2)線段 (不與 A， 自點(diǎn) 個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s)(0 t 3)， 過(guò)點(diǎn) M 點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) 點(diǎn) ， 求四邊形 與時(shí)間 式 當(dāng) 大值是多少？ (3)當(dāng) t(0 t 3)為何值時(shí) ， A， D， 求出點(diǎn) 解： (1)根據(jù)題意 ， 得 90， 3， 在 ， 32 42 5， 設(shè) x， 在 ， 根據(jù)勾股定理 ， 得 即 22 (4 x)2， 解得 x 32， 點(diǎn) E 0， 32 . 在 ， 32 322 3 52 . (2) 且 90， 四邊形 矩形 t1 t， 3 t. S 矩形 D (3 t)， S 矩形 1232t 或 S 矩形 12(t 32)2 98， 當(dāng) t322 12 32時(shí) ， S 最大 98. (3) 等腰 三角形有以下兩種情況： ( )當(dāng) ， 點(diǎn) P 是 點(diǎn) ， 32， t 32 1 32(s) 當(dāng) t 32時(shí) ， A， D， M 三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形 ， 過(guò)點(diǎn) M 作 F， 如解圖 ， 32， 34， 3 32 32， 點(diǎn) M 32， 34 . ,(第 3題圖解 ) ( )當(dāng) 3 時(shí) ， 33 52， 6 55 ， t 6 55 1 6 55 (s) 當(dāng) t 6 55 s 時(shí) ， A， D， 過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) . 6 55 ， 3 55 ， 3 6 55 ， 點(diǎn) M 3 65 5， 35 5 . 4 如圖 ， 在矩形 5， 203， 垂足是 是點(diǎn) 連結(jié) (第 4題圖 ) (1)求 (2)若將 設(shè)平移的距離為 m(平移距離指點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn) B， 直接寫(xiě)出相應(yīng)的 (3)如圖 ， 將 點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 (0 180 )， 記旋轉(zhuǎn)中的 A 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ， 設(shè) AF所在的直線與直線 于 點(diǎn) P， 與直線 于點(diǎn) ， Q 兩點(diǎn) ， 使 等腰 三角形？若存在 ， 求出此時(shí) 長(zhǎng)；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由 解： (1)在 ， 5， 203 ， 由勾股定理 ， 得 52 2032 253 . S 1212 5 203253 4. 在 ， 5， 4， 由勾股定理 ， 得 3. (第 4題圖解 ) (2)設(shè)平移中的三角形為 ABF， 如解圖 所示 由對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性質(zhì)可知 ， 1 2. 由平移性質(zhì)可知 ， A B ， 4 5 1， B F 3. 當(dāng)點(diǎn) F落在 A B， 3 4， 3 1 2， BF 3， 即 m 3； 當(dāng)點(diǎn) F落在 A B ， 6 2. 1 2， 5 1， 5 6. 又易知 AB B F B D BF 3， BD 253 3 163， 即 m 163 . (3)存在 理由如下： 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ， 等腰 種情形： 如解圖 所示 ， 點(diǎn) 且 易知 2 2 Q. (第 4題圖解 ) 1 3 Q， 1 2， 3 Q， A Q AB 5， F Q FA AQ 4 5 9. 在 由勾股定理 ， 得 F F92 32 3 10. (第 4題圖解 ) 3 10 253 . 如解圖 所示 ， 點(diǎn) 且 易知 2 P. 1 2， 1 P， 則此時(shí)點(diǎn) A落在 3 2， 3 1， AQ， F Q FA AQ 4 在 中 ， 由勾股定理 ， 得 F 即 32 (4 解得 258 . 253 258 12524 . 如解圖 所示 ， 點(diǎn) 且 易知 3 4. (第 4題圖解 ) 2 3 4 180 ， 3 4， 4 90 12 2. 1 2， 4 90 12 1. A 4 90 12 1， A 180 A 1 90 12 1， A A A Q AB 5， F Q AQ AF 5 4 1. 在 由勾股定理 ， 得 F F12 32 10， 253 10. 如解圖 所示 ， 點(diǎn) 且 易知 2 3. (第 4題圖解 ) 1 2， 3 4， 2 3， 1 4， 5， 253 5 103 . 綜上所述 ， 存在 4組符合條件的點(diǎn) P， Q， 使 其中 3 10 253， 12524， 253 10或 103 . 5 如圖所示 ， 在平面直角坐標(biāo)系 拋物線 y 14(x m)2 14，與 ， 連結(jié) 交 ， 延長(zhǎng) ， 使 連結(jié) 作 交于點(diǎn) E. (1)當(dāng) m 2時(shí) ， 求點(diǎn) (2)求 (3) 設(shè)點(diǎn) x， y)， 求 過(guò)點(diǎn) 與第 (3) 題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為 P.當(dāng) 以 A， B， D， ,(第 5題圖 ) 解： (1)當(dāng) m 2 時(shí) ， y 14(x 2)2 1， 把 x 0 代入 y 14(x 2)2 1， 得 y 2， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (0， 2) (2)延長(zhǎng) 交 y 軸于點(diǎn) F， 90， 點(diǎn) A(m， 14m)， 點(diǎn) B(0， m)， |m|， m ( 14m) 14 90 90， 即14m2|m| |m| 4. (3) 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (m， 14m)， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2m， 14m 4)， x 2m， y 14m 4， y 14 12x 4， 所求函數(shù)的表達(dá)式為 y 11612x 4. 作 點(diǎn) Q， 則 ( )當(dāng)四邊形 平行四邊形時(shí) (如解 圖 )， 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 3m， 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 14m 4 14 12m 4， 把點(diǎn) P(3m， 12m 4)的坐標(biāo)代入 y 11612x 4， 得 12m 4 116 (3m)2 12 3m 4， 解得 m 0(此時(shí) A， B， D， P 在同一直線上 ， 舍去 )或 m 8. ,圖 ) ,圖 ),(第 5題圖解 ) ( )當(dāng)四邊形 平行四邊形時(shí) (如解圖 )， 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m， 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 14m 4 14 m 4， 把點(diǎn) P(m， m 4)的坐標(biāo)代入 y 11612x 4， 得 m 4 11612m 4， 解得 m 0(此時(shí) A， B， D， P 在同一直線上 ， 舍去 )或 m 8. 綜上所述 ， m 的值為 8 或 8. 拓展提高 (第 6題圖 ) 6 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 直線 l 平行 x 軸 ， 交 y 軸于點(diǎn) A， 第一象限內(nèi)的點(diǎn) B在 連結(jié) 動(dòng)點(diǎn) 90 ， . (1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 重合時(shí) ， 若點(diǎn) 2， 1)， 求 長(zhǎng) (2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 若點(diǎn) 的橫坐標(biāo)相等 ， 求 (3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) P與 若 2求 解： (1) 點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合 ， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 (2， 1)， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (2， 1) 長(zhǎng)為 2. (第 6題圖解 ) (2)過(guò)點(diǎn) M 垂足為 M， 過(guò)點(diǎn) N 垂足為 N， 如解圖 所示 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)相等 ， 90 ， 45 . 90 ， 45 . 90 . 90 . 90 . 90 在 1 1. (3) 若點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) M 垂足為 M， 過(guò)點(diǎn) N 垂足為 N， (第 6題圖解 ) ， 如解圖 所示 12設(shè) x， 2 22x. 1212x. 52x. 90 ， 24x. 90 ， 15x. 90 ， 四邊形 152 x. 152 x 52x 155 . 當(dāng)點(diǎn) 不合題意 若點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) M 垂足為 M， 過(guò)點(diǎn) N 垂足為 N， ， 如解圖 所示 (第 6題圖解 ) 同理可得： 32x， 24x， 15x. 12152 x. 152 x 32x 153 . 綜上所述 ， 55 或 153 . (第 7題圖 ) 7 如圖 ， 正方形 A， 點(diǎn) 4， 4) 點(diǎn) 以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn) 同時(shí)出發(fā) ， 以相同的速度沿 規(guī)定點(diǎn) 時(shí) ， 點(diǎn) 連結(jié) 過(guò)點(diǎn) 與過(guò)點(diǎn) D， ， 連結(jié) 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t(s) (1) _45 _， 點(diǎn) t， t)(用含 (2)當(dāng) (3)探索 長(zhǎng)是否隨時(shí)間 t 的變化而變化？若變化 ， 說(shuō)明理由；若不變 ， 試求這個(gè)定值 解： (1)由題意 ， 得 1 t t， 四邊形 正方形 ， 90 . 90 . 90 在 ， 90， A 90 ， 45 . t， t. 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (t， t) (2) 若 則 45 . 90 . 90 ， 點(diǎn) E 與點(diǎn) D 重合 點(diǎn) Q 與點(diǎn) O 重合 與條件 “ y 軸 ” 矛盾 ， 這種情況應(yīng)舍去 若 則 45 . 90 . 90 在 ， E 點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合 (即 0) 點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合 (即 0) 點(diǎn) B( 4， 4)， t 4. 若 在 ， P L) t， t. 4 t. 90 ， 2(4 t) (第 7題圖解 ) 延長(zhǎng) ， 使得 連結(jié) 如解圖所示 在 90， 45 ， 90 ， 45 . 45 . 在 P t t 2t. 2(4 t) 2t. 解得 t 4 2 4. 當(dāng) 或 4 2 4時(shí) ， (3)不變 同理于 (2) ， 易得 4 4 8. 該定值為 8. 8 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 矩形 在坐標(biāo)原點(diǎn) ， 頂點(diǎn) A， 且 2， 1， 矩形對(duì)角線 ， 過(guò)點(diǎn) A， ， H. (1) 直接寫(xiě)出點(diǎn) 1， 12 ； 求證： (2)如圖 ， 以 ， 若直線 ， 求直線 (3)在 (2)的結(jié)論下 ， 梯形 P， 當(dāng) G， 求 ,(第 8題圖 ) 解： (1) 根據(jù)矩形的性質(zhì)和邊長(zhǎng)即可求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)是 1， 12 . 證明： 四邊形 矩形 ， 在 ， E (2)連結(jié) 延長(zhǎng)交 M， 如解圖 . 1 12 D 是 中點(diǎn) ， 在 ， E 2 1 1. 90， 四邊形 矩形 ， O 于點(diǎn) D. O 于 F， 點(diǎn) E 1， 12 ， 可設(shè) x， 12 在 ， 有 即 (1 x)2 122 12 解得 x 13， 點(diǎn) H 13， 1 ， 2 13 53. 又 點(diǎn) G 53， 0 ， 設(shè)直線 表達(dá)式是 y b， 把點(diǎn) G， H 的坐標(biāo)代入 ， 得 0 35k b， 且 1 13k b， 解得 k 34， b 54， 直線 函數(shù)表達(dá)式為 y 34x 54. (3)連結(jié) 如解圖 ， 在 ， C (第 8題圖解 ) 90， O 于 C， O 于 F， 分 在 ， E 即 分 P 與 相切 ， 圓心 P 必在 ， 過(guò) P 作 垂足為 N， 則 設(shè)半徑為 r， 則 3 解得 r 14. P 的半徑是 14. 9 如圖 ， 在平面 直角坐標(biāo)系中 ， 已知點(diǎn) 4， 0)， 且 4動(dòng)點(diǎn) ， B， (第 9題圖 ) (1)求拋物線的表達(dá)式 (2)是否存在點(diǎn) P， 使得 存在 ， 求出所有符合條件的點(diǎn) 不存 在 ， 說(shuō)明理由 (3)過(guò)動(dòng)點(diǎn) ， 交直線 ， 過(guò)點(diǎn) D作 垂足為F， 連結(jié) 當(dāng)線段 求出點(diǎn) 解： (1)由點(diǎn) A(4， 0)， 可知 4. 4 4， 1， 點(diǎn) C(0， 4)， B( 1， 0) 設(shè)拋物線的表達(dá)式是 y x， 則a b c 0，16a 4b c 0，c 4，解得a 1，b 3，c y 3x 4. (2)存在 如解圖 . 第一種情況 ， 當(dāng)以 C 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) C 作 交拋物線于點(diǎn) 1作 垂足是 M. 90 ， 90 . 90 ， 45 ， 設(shè)點(diǎn) P(m， 3m 4)， 則 m 3m 4 4， 解得： 0(舍去 )， 2. 3m 4 6， 即點(diǎn) P(2， 6) 第二種情況 ， 當(dāng)點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) A 作 拋物線于點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) 垂足是 N， y 軸于點(diǎn) F. x 軸 45 ， 45 ， 45 ， 設(shè)點(diǎn) P2(n， 3n 4)， 則 n ( 3n 4) 4， 解得 2， 4(舍去 )， 3n 4 6， 則點(diǎn) 坐標(biāo)是 ( 2， 6) 綜上所述 ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (2， 6)或 ( 2， 6) (第 9 題圖解 ) (3)如解圖 ， 連結(jié) 由題意可知 ， 四邊形 則 根據(jù)垂線段最短 ， 可得當(dāng) 即 由 (1)可知 ， 在 4， 則 4 2， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì) ， 又 122， 點(diǎn) . 則 3x 4 2， 解得 x 3 172 ， 當(dāng) 點(diǎn) 3 172 ， 0 或 3 172 ， 0 . 10 已知在平面直角坐標(biāo)系 以 P(1， 1)為圓心的 P與 和點(diǎn) N， 點(diǎn) 出發(fā) ， 沿 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng) ， 連結(jié) 過(guò)點(diǎn) ， 設(shè)點(diǎn) t(s)(t 0) (第 10題圖 ) (1)若點(diǎn) E在 如圖所示 )， 求證： (2)在點(diǎn) 設(shè) a， b， 試用含 b. (3)作點(diǎn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F， 經(jīng)過(guò) M， 三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交 ，連結(jié) 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ， 是否存在某一時(shí)刻 ， 使得以點(diǎn) Q， O， ， M， 存在 ， 請(qǐng)直接寫(xiě)出 不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由 (第 10題圖解 ) 解： (1)證明：如解圖 ， 連結(jié) P 與 x 軸 ， y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N， 且 90 ， 且 90 . 90 在 ， N (2) 當(dāng) t 1 時(shí) ， 點(diǎn) E 在 y 軸的負(fù)半軸上 ， 如解圖 ， 由 (1)得 t， 1， b 1 t，