文科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題六 數(shù)列 第十七講 遞推數(shù)列與數(shù)列求和—后附解析答案

專題六數(shù)列第十七講 遞推數(shù)列與數(shù)列求和2019年 1.（2019江蘇20）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列an滿足：，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；（2）已知數(shù)列bn滿足：，其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)km時(shí)，都有成立，求m的最大值2.（2019浙江10）設(shè)a，bR，數(shù)列an中an=a，an+1=an2+b， ,則A當(dāng)b=時(shí)，a1010 B當(dāng)b=時(shí)，a1010 C當(dāng)b=-2時(shí)，a1010 D當(dāng)b=-4時(shí)，a10103.（2019浙江20）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記 證明： 2010-2018年一、選擇題1（2013大綱）已知數(shù)列滿足，則的前10項(xiàng)和等于A B C D2（2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為A3690 B3660 C1845 D18303（2011安徽）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則=A15 B12 C12 D15二、填空題4（2015新課標(biāo)1）數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則 5（2015安徽）已知數(shù)列中，()，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于_6（2015江蘇）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列前10項(xiàng)的和為 7（2014新課標(biāo)2）數(shù)列滿足，=2，則=_8（2013新課標(biāo)1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_9（2013湖南）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（1）_；（2）_10（2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為11（2012福建）數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則=_12（2011浙江）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=_三、解答題13（2018天津）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為()；是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為()已知，(1)求和；(2)若，求正整數(shù)的值14設(shè)（2017新課標(biāo)）數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和15（2016全國I卷）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，（I）求的通項(xiàng)公式；（II）求的前n項(xiàng)和16（2016年全國II卷）等差數(shù)列中，()求的通項(xiàng)公式；()設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如0.9=0，2.6=217（2015浙江）已知數(shù)列和滿足，（）求與；（）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求18（2015湖南）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（）證明：；（）求19（2014廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）求的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有20（2013湖南）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，2，N()求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()求數(shù)列的前項(xiàng)和21（2011廣東）設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，專題六數(shù)列第十七講 遞推數(shù)列與數(shù)列求和答案部分2019年 1.解析（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由，得，解得因此數(shù)列為“M數(shù)列”.（2）因?yàn)?，所以由，得，則.由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=n.由知，bk=k，.因?yàn)閿?shù)列cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q0.因?yàn)閏kbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當(dāng)k=1時(shí)，有q1；當(dāng)k=2，3，m時(shí)，有設(shè)f（x）=，則令，得x=e.列表如下：xe(e，+) +0f（x）極大值因?yàn)?，所以取，?dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為52.解析：對(duì)于B，令，得，取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得或，取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于A，遞增，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以故A正確故選A3.解析（）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得從而由成等比數(shù)列得解得所以（）我們用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，c1=02，不等式成立；（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即那么，當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)不等式也成立根據(jù)（1）和（2），不等式對(duì)任意成立2010-2018年1C【解析】，是等比數(shù)列 又，故選C2D【解析】【法1】有題設(shè)知=1， =3 =5 =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，得=2，+得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，的前60項(xiàng)和為=1830.【法2】可證明：【法3】不妨設(shè)，得，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，構(gòu)成以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以得3A【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；法二：，故=故選A.46【解析】，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，527【解析】，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)和6【解析】由題意得：所以7【解析】將代入，可求得；再將代入，可求得；再將代入得；由此可知數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以8【解析】當(dāng)=1時(shí)，=，解得=1，當(dāng)2時(shí)，=()=，即=，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，=.9（1），（2）【解析】(1)時(shí)，a1a2a3a3 時(shí)，a1a2a3a4a4，a1a2a3. 由知a3(2)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故，10【名師解析】可證明：， 113018【解析】因?yàn)榈闹芷跒?；由， 124【解析】由題意得，得，13【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得因?yàn)?，可得，故所以設(shè)等差數(shù)列的公差為由，可得由，可得 從而，故，所以(2)由(1)，知 由可得，整理得，解得（舍），或所以的值為414【解析】（1）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，兩式相減得所以又由題設(shè)可得從而的通項(xiàng)公式為 an =22n-1.（2）記的前項(xiàng)和為，由（1）知?jiǎng)t15【解析】（）由已知，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（）由（）和 ，得，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.記的前項(xiàng)和為，則16【解析】 ()設(shè)數(shù)列的公差為，由題意有，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（）由()知，當(dāng)=1,2,3時(shí)，；當(dāng)=4,5時(shí)，；當(dāng)=6,7,8時(shí)，；當(dāng)=9,10時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.17【解析】（）由，得當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，整理得所以（）由（）知，故，所以18【解析】（）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以