自動(dòng)控制理論習(xí)題答案.doc

習(xí)題參考答案2-1 已知R-L-C網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試列寫以ui為輸入，uo為輸出的微分方程模型。解：電感方程：.（1）電容方程：.（2）有6個(gè)變量，列出微分方程模型時(shí)保留2個(gè)，因此要消掉4個(gè)變量，還需要列出3個(gè)方程：由KVL：.（3）由KCL：.（4）在輸出端：.（5）將（5）代入（1）（4）可消去，然后將（4）代入（1）（3）消去得到：用方程（2）消去：將（7）整理為后取時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，再將（2）代入，得到：.（8）最后，將（6）整理為，代入得到經(jīng)整理，可得到系統(tǒng)的微分方程模型為2-2 已知機(jī)械系統(tǒng)如圖所示，其中位移為輸入，位移為輸出。試列寫該系統(tǒng)的微分方程模型及其傳遞函數(shù)。解：在阻尼器1和2取輔助點(diǎn)，設(shè)其位移為，由彈簧力和阻尼力平衡的原則，可得到消去中間變量，可得到系統(tǒng)的微分方程模型為則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-3 已知水箱系統(tǒng)如圖所示，該系統(tǒng)為有自衡能力雙容過程，其中 和分別為水箱1和水箱2的容量系數(shù)，、和分別為閥門1、閥門2和閥門3的液阻，Q1為輸入，h2為輸出。試列寫該系統(tǒng)的微分方程模型及其傳遞函數(shù)。解：根據(jù)動(dòng)態(tài)物料平衡，可列出下列增量方程：對水箱1：對水箱2：從以上四個(gè)式子中消去、和，并整理得上式中，令，則得對上式進(jìn)行Laplace變換，并分解因式，得傳遞函數(shù)為2-4 試求下列函數(shù)的Laplace變換，假設(shè)時(shí)，函數(shù)。 解：2-5 已知某傳遞函數(shù)為 ，(1) 試將傳遞函數(shù)化為首1標(biāo)準(zhǔn)型（零、極點(diǎn)形式）；(2) 求系統(tǒng)的靜態(tài)增益； (3) 求系統(tǒng)的微分方程；(4) 求系統(tǒng)的零、極點(diǎn)。解：(1) (2)(3)由得到在零初始條件下進(jìn)行Laplace反變換可得系統(tǒng)的微分方程(4)令分子多項(xiàng)式等于零，求出，令分母多項(xiàng)式等于零，求出，2-6 試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡求下圖的傳遞函數(shù)。解：（1）將環(huán)節(jié)輸出端的引出點(diǎn)后移，并將、反饋環(huán)節(jié)合并，得到圖（1）；（2）將環(huán)節(jié)輸出端的引出點(diǎn)后移，并將反饋環(huán)節(jié)合并，得到圖（2）；（3）由圖（2）可計(jì)算得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-7 已知系統(tǒng)方程組如下：試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：由系統(tǒng)方程繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，該系統(tǒng)有4個(gè)獨(dú)立環(huán)路：，有1條前向通路，其前向通路的傳遞函數(shù)分別為。由Mason增益公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-8 試用Mason增益公式求下圖中各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：（a）該系統(tǒng)有4個(gè)獨(dú)立環(huán)路：，。有1條前向通路，其前向通路的傳遞函數(shù)分別為。由Mason增益公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）該系統(tǒng)有3個(gè)獨(dú)立環(huán)路：，。有2條前向通路，其前向通路的傳遞函數(shù)分別為：，有1組互不接觸環(huán)路：和。由Mason增益公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-9 已知系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：該系統(tǒng)有3個(gè)獨(dú)立環(huán)路：，。有2條前向通路，其前向通路的傳遞函數(shù)分別為由Mason增益公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-10 已知系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)的輸出。解：令，則令，則令，則令，則根據(jù)疊加原理，則有系統(tǒng)的輸出633-1 已知系統(tǒng)的特征方程如下，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）（2）（3）（4）解：用Routh判據(jù)。（1）穩(wěn)定。（2）不穩(wěn)定。（3）不穩(wěn)定。（4）不穩(wěn)定。3-2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K的范圍。（1）（2）解：用Routh判據(jù)。（1）系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為。列出Routh表因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是。（2）系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為。列出Routh表因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是。3-3 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K和T的范圍。（1）（2）解：用Routh判據(jù)。（1）系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為。列出Routh表因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是。（2）系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為。列出Routh表不妨設(shè)，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是即。3-4某典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。求（1）調(diào)節(jié)時(shí)間（5%）；（2）超調(diào)量%；（3）峰值時(shí)間；（4）阻尼振蕩頻率；（5）系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。3-4題圖解：(1)過渡過程時(shí)間 (2)超調(diào)量 (3)峰值時(shí)間(4)阻尼振蕩頻率(5) ，極點(diǎn)為。3-5已知單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求（1）K50時(shí)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量；（2）K取何值才能使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量。3-5題圖解：（1）閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式，。代入得到。（2）由得到。令得到。將代入得到。因此。閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式，。因此有，得到。3-6根據(jù)以下二階系統(tǒng)的技術(shù)指標(biāo)要求，畫出系統(tǒng)極點(diǎn)在s平面上的分布。（1）（2）（3）（4）解：3-7某速度反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示。求（1）K0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。（2）K取何值閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)？（3）K取何值使得閉環(huán)系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)？3-7題圖解：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。因此有，。（1）K0時(shí)，因此，（2）時(shí)，要求K0.207。（3）要使閉環(huán)系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，要求K0.5。3-8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求（1）T0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。（2）T2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。（3）T取何值使得系統(tǒng)的超調(diào)量為零？3-8題圖解：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。因此有，。（1）T0時(shí)，因此，（2）T2時(shí)，對于典型二階系統(tǒng)，但實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，含有零點(diǎn)?？捎糜?jì)算機(jī)輔助計(jì)算得到實(shí)際，。（3）要使系統(tǒng)的超調(diào)量為零，要求T4。3-9 某一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)閉環(huán)增益為2，調(diào)節(jié)時(shí)間。試確定參數(shù)T和K的值。3-9題圖解：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。閉環(huán)增益得到K0.5。調(diào)節(jié)時(shí)間得到。3-10給定典型二階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)：超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間，峰值時(shí)間。試確定系統(tǒng)極點(diǎn)配置的區(qū)域，以獲得預(yù)期的響應(yīng)特性。解：系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)。根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定系統(tǒng)參數(shù)（1）若令，前面已經(jīng)得到。因此。（2）由得到。（3）調(diào)節(jié)時(shí)間比較復(fù)雜。如果設(shè)，則，得到。事實(shí)上，越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。系統(tǒng)極點(diǎn)配置的區(qū)域如圖陰影部分所示。3-11 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（1）（2）（3）（4）解：單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為。單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為。（1）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，（2）閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，（4）閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 3-12 已知溫度計(jì)的傳遞函數(shù)為。用其測量容器內(nèi)的水溫，1分鐘才能顯示出該溫度的98%的數(shù)值。若加熱容器使水溫按每分鐘5C的速度勻速上升，問溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？解：依題意，溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù)。輸入信號為斜坡信號，。輸出穩(wěn)態(tài)誤差為3-13 已知如圖系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)均為。求（1）系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）調(diào)整哪個(gè)環(huán)節(jié)可以使穩(wěn)態(tài)誤差為零？如何調(diào)整？解：（1）系統(tǒng)輸出為。輸出穩(wěn)態(tài)值為。穩(wěn)態(tài)誤差。（2）在擾動(dòng)輸入之前，即處，串聯(lián)一個(gè)比例積分環(huán)節(jié)就可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。只增加純積分環(huán)節(jié)不能保持系統(tǒng)穩(wěn)定性。3-13題圖3-14題圖3-14 如圖是船舶橫搖鎮(zhèn)定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，引入內(nèi)環(huán)速度反饋是為了增加船只的阻尼。（1）求海浪擾動(dòng)力矩對船只傾斜角的傳遞函數(shù)；（2）為保證為單位階躍輸入時(shí)傾斜角的值不超過0.1，且系統(tǒng)的阻尼比為0.5，求、和應(yīng)滿足的方程；（3）=1時(shí)，確定滿足（2）中指標(biāo)的和值。解：（1）由Mason公式得到（2）擾動(dòng)。由Laplace變換的終值定理，傾斜角的穩(wěn)態(tài)值，得到。系統(tǒng)的阻尼比為0.5，即，可簡化為。即應(yīng)滿足，。（3）=1時(shí)，。3-15 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。（1）（2）解：根軌跡如圖。步驟略。3-15（1）根軌跡3-15（2）根軌跡3-16 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制以a為變量的參數(shù)根軌跡。（1）（2）解：（1）閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為解出a得到變換為實(shí)際上就是繪制的常規(guī)根軌跡。系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于極點(diǎn)，一條趨向零點(diǎn)，另一條趨向?qū)嵼S負(fù)無窮。起始角滿足相角條件可得到起始角為。分離點(diǎn)滿足方程，經(jīng)整理得，解出。根軌跡如圖。（2）閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為解出a得到變換為實(shí)際上就是繪制的常規(guī)根軌跡。系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于極點(diǎn)，一條趨向零點(diǎn)，另一條趨向?qū)嵼S負(fù)無窮。起始角滿足相角條件可得到起始角為。分離點(diǎn)滿足方程，解出。根軌跡如圖。3-17 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。希望系統(tǒng)的所有特征根位于s平面上s2的左側(cè)區(qū)域，且阻尼比。求K和a的取值范圍。解：先畫出根軌跡。如圖所示。分別做出和的等阻尼線，它們與負(fù)實(shí)軸夾角分別為和。它們與根軌跡的交點(diǎn)分別為閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為。時(shí)特征根為，可得到時(shí)特征根為，可得到因此K的取值范圍是為了使所有特征根位于s平面上s2的左側(cè)區(qū)域，應(yīng)使。即a的取值范圍是。3-18 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試確定系統(tǒng)在阻尼比時(shí)對應(yīng)的值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，估算此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：先畫出根軌跡。做出的等阻尼線，它與負(fù)實(shí)軸夾角為。如圖所示。等阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)即為相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，可設(shè)相應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)分別為閉環(huán)特征多項(xiàng)式為同時(shí)比較系數(shù)有解得故時(shí)在所求得的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，至虛軸的距離與或至虛軸的距離之比為倍?？梢?，、是系統(tǒng)的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。于是，可由、所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算原三階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。將代入二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的公式得原系統(tǒng)為型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計(jì)算如下系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0，在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為。3-19在正反饋條件下，系統(tǒng)特征方程為時(shí)，此時(shí)根軌跡方程為，相角條件為，；或者，將負(fù)反饋條件下非最小相位系統(tǒng)化為標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，會(huì)出現(xiàn)增益為負(fù)的情形，根軌跡的相角條件也為。以相角條件為相應(yīng)繪制的根軌跡稱為零度根軌跡。在繪制零度根軌跡時(shí)，僅與幅值有關(guān)的性質(zhì)都與相角條件為的常規(guī)根軌跡的性質(zhì)相同，而所有跟相位有關(guān)的性質(zhì)則與常規(guī)根軌跡的性質(zhì)不同，請你列舉零度根軌跡這些不同的性質(zhì)，并加以說明。法則3 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4 根軌跡的漸近線與實(shí)軸夾角應(yīng)改為 （=0，1，2，）法則6 根軌跡的出射角和入射角用可直接利用相角條件4-1已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：使系統(tǒng)增益裕度為10的K值；使系統(tǒng)相角裕度為的K值。解: 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為(1) 求的K值：令為相角交越頻率，有，由可解得K=1。(2) 求的K值：由定義求得系統(tǒng)幅值交越頻率由將代入上式可求得。4-2試由幅相頻率計(jì)算式確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:由相頻計(jì)算式可得出傳遞函數(shù)的形式為由幅頻計(jì)算式有求得，所求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4-3已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)若希望系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)都具有小于-1的實(shí)部，試用Nyquist判據(jù)確定增益K的最大值。解：令，則“平面所有極點(diǎn)均處于負(fù)平面”等價(jià)于“平面所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有小于-1的實(shí)部”，并且可見并無右半平面的開環(huán)極點(diǎn)，所以的Nyquist軌線不能包圍點(diǎn)。只要滿足：軌線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)在-1點(diǎn)右側(cè)（大于-1）即可，令的相頻為，得到求得的相角交越頻率 即若希望系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)都具有小于-1的實(shí)部，增益K的最大值為。4-4設(shè)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K 0。（1）試求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；（2）若=1時(shí),要求穩(wěn)態(tài)誤差幅值，試選擇K值。解：(1)求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為其幅值與相位為因輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(2)因，令有解得 (舍去).故滿足題意要求的K值范圍為4-5已知系統(tǒng)型次（含有個(gè)積分環(huán)節(jié)），Nyquist曲線起始于實(shí)軸（），試問什么情況下起始于負(fù)實(shí)軸，什么情況下起始于正實(shí)軸。答：當(dāng)開環(huán)增益時(shí)，起始點(diǎn)位于正實(shí)軸；當(dāng)開環(huán)增益時(shí)，起始點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸。4-6 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中。（1）已知，試概略繪制該系統(tǒng)的Nyquist圖。（2）若，請概略繪制該系統(tǒng)的Nyquist圖。解：（1），而且對于小正數(shù)，有， 概略繪制的Nyquist圖如下 （2），而且對于小正數(shù)，有，概略繪制的Nyquist圖如下 4-7 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)的極坐標(biāo)圖如圖所示。試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)RHP極點(diǎn)解：（1）P=0，2，N= P+=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)RHP極點(diǎn)。（2）P=0，1，故N= P+=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有1個(gè)RHP極點(diǎn)。（3）P=2，-2，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)把虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)視為不穩(wěn)定的開環(huán)極點(diǎn)，重新確定Nyquist路徑，并繪制L(s)的Nyquist圖，據(jù)此判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：s平面小圓弧順時(shí)針的路徑映射為L(s)平面逆時(shí)針的大圓弧。 Nyquist路徑 L(s)的Nyquist圖wn =-1（逆時(shí)針）， P=1，N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-9已知最小相位（單位反饋）開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖所示。（1）試求取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）要求系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度，求開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)。解: (1) 由圖可得出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式為 將點(diǎn)(0.1，40)代入上式，因低頻段幅值僅由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定，即求得 K=10，所求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)由相角裕度的定義導(dǎo)出 解出由交越頻率的定義有解出K=0.335。即開環(huán)放大倍數(shù)衰減30倍。4-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）用漸近線法繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖；（2）由Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）求出交越頻率以及相角裕度的近似值；（4）由MATTAB作Bode圖，求出交越頻率和相角裕度，并與漸近線圖解比較。解：（1）首先將化為尾1標(biāo)準(zhǔn)形式=知該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率為0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，過=1，|G(i)|dB=20的點(diǎn)，作斜率為-40的直線，遇到轉(zhuǎn)折頻率0.2、0.6 、12、50時(shí)，相應(yīng)地直線斜率變化，如下圖所示。（2）P=0，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）由=1 ，解得5.56，（4）MATTAB程序校驗(yàn)num=400/3*25 15 9;den=conv(1 0.2 0 0,1 62 600);bode(num,den); grid on Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(num,den)Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533交越頻率為5.05rad/s，相角裕度為，這與近似計(jì)算值非常接近。4-11 已知各最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示，（1）試確定各系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）求相角裕度；（3）概略畫出對應(yīng)的相頻特性曲線；（4）分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：I. 針對(a)圖：(1)如圖，轉(zhuǎn)折頻率為2、10、20。該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)形式為即20lgK=20，解得K=10。該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)即20=20lg(2) ，解得=5，由此(3) (4)P=0，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。II. 針對(b)圖：(1)設(shè)未知轉(zhuǎn)折頻率從左至右依次為、，則其開環(huán)傳遞函數(shù)形式為， 解得K=10；，解得=1 =1；，解得=82.54， =0.0121，解得=46.42，=0.0215 解得=2.61 =0.383該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)=100，由此(3) (4)P=0，故N= P+=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)RHP極點(diǎn)。4-12針對正反饋系統(tǒng)，Nyquist給出=0的幅相頻率特性圖如下，臨界點(diǎn)為1，重新表述Nyquist穩(wěn)定性定理。正反饋系統(tǒng)的Nyquist圖，臨界點(diǎn)為1答：若開環(huán)傳遞函數(shù)的RHP極點(diǎn)數(shù)為P, 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是L(s) 的Nyquist 圖 L(i) ，=順時(shí)針環(huán)繞臨界點(diǎn)L=1的圈數(shù)為P。4-13設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求交越頻率和相角交越頻率，并用MATLAB程序進(jìn)行校核，你得到什么結(jié)論。解：（1）起點(diǎn)：（2）終點(diǎn)： （3）=與實(shí)軸的交點(diǎn)：令虛部為即=0 解得=0.2，=0.447，此時(shí)=-9。與虛軸的交點(diǎn)：令實(shí)部為即=0 解得=9.57 =3.09，此時(shí)=4.43。使用理論計(jì)算值與nyquist(sys)的計(jì)算結(jié)果基本沒差別，但相差較大。原因是變化范圍為-+。若指定頻率范圍，采用命令nyquist(sys,w)，w=wmin,wmax，可使之與理論計(jì)算值吻合。num=6 -18 30;den=1 2 -3;sys=tf(num,den);w=0.1,100;nyquist(sys,w)margin(sys)5-1設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。設(shè)計(jì)串聯(lián)校正環(huán)節(jié)，使校正后系統(tǒng)的相角裕度，交越頻率。解 由MATLAB程序num=200;den=0.1 1 0;margin(num,den);grid on繪制未校正環(huán)節(jié)的幅頻特性圖，得到：，所需要的相角最大超前量為由于，可使用超前校正 校正裝置在處增益。令，在交越頻率處幅值為，由此得到，由此解出。校正裝置的傳遞函數(shù)，校驗(yàn)否滿足設(shè)計(jì)條件：校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由MATLAB程序num=200*0.035 1;den=conv(0.1 1 0,0.006 1);margin(num,den);grid on校正后系統(tǒng)的Bode圖為，滿足設(shè)計(jì)要求。5-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)，相角裕度，試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。解（1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求，選取控制器的靜態(tài)增益。(2)繪制未校正系統(tǒng)的Bode圖。的Bode圖及穩(wěn)定裕度因?yàn)?，可使用滯后校正，由確定校正后系統(tǒng)的交越頻率，從圖中直接讀出。在交越頻率下的增益為11.8dB，由，解出，滯后校正為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為MATLAB程序驗(yàn)證：num=100;den=0.04 1 0;numc=0.5 1;denc=1.9 1;G=tf(num,den);C=tf(numc,denc);L=G*C;margin(L)校正后系統(tǒng)的Bode圖及穩(wěn)定裕度，滿足要求。5-3 已知單位反饋?zhàn)钚∠辔幌到y(tǒng)的固有部分對數(shù)幅頻特性和串聯(lián)校正裝置的對數(shù)幅頻特性如下圖所示。（1）由圖形寫出傳遞函數(shù)和；（2）求校正前系統(tǒng)的相角裕度；（3）畫出校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。解 （1）未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)時(shí)，其幅值為80dB，即，故。（2）未校正系統(tǒng)的交越頻率為，解得，未校正系統(tǒng)的相位裕度為（3）校正裝置的傳遞函數(shù)為，校正后開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，由可以求得，在各轉(zhuǎn)折頻率處的幅值：當(dāng)時(shí)，74dB；當(dāng)時(shí)，21.9dB；當(dāng)時(shí)，6dB；當(dāng)時(shí)，46dB。由此可知，已校正系統(tǒng)的交越頻率。故有，解出，校正后的對數(shù)幅頻特性圖。5-4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，且，系統(tǒng)具有的高頻滾降特性。解 依題意，校正裝置需具有積分控制功能。由MATLAB程序：num=250;den=0.001 0.11 1 0;margin(num, den)作的Bode圖，由此可知不能僅靠PI校正實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的校正目標(biāo)，應(yīng)采用PID校正選擇。使系統(tǒng)校正后的交越頻率。的Bode圖PD校正部分：，PI校正部分：rad/s，s，解出高頻滾降部分：，s，所以，校正裝置的傳遞函數(shù)：驗(yàn)算：校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為采用MATLAB來驗(yàn)證：numP=250;denP=conv(0.1 1 0,0.01 1);P=tf(numP,denP);numC=0.44*conv(0.1 1,0.316 1);denC=conv(0.01 1 0,0.003162 0.00316 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L)由圖直接讀出以下數(shù)據(jù)：；高頻具有滯后相角，對應(yīng)于具有的高頻滾降特性。滿足校正要求。的Bode圖5-5設(shè)一單位反饋系統(tǒng)如下圖所示，試設(shè)計(jì)一速度反饋校正裝置，使系統(tǒng)校正后對單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量不超過15%。解 采用如下圖所示的局部速度反饋校正方案校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得到， 由，得到，取5-6 對含有諧振環(huán)節(jié)的高階系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置，使校正后的系統(tǒng)滿足：模裕度，誤差系數(shù)，交越頻率。解：（1）由校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定的靜態(tài)增益為。繪制KP(s)的頻率特性，由如下MATLAB程序numKP=500*0.2*1 0.1 0.5; denKP=conv(1 1 0,1 0.05 0.45); KP=tf(numKP,denKP); margin(KP)計(jì)算出KP(s)的交越頻率。由如下MATLAB程序S0=feedback(1,KP ,-1); ninf,fpeak = norm(S0,inf)得到，模裕度。這些性能指標(biāo)都不符合系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。（2）確定校正裝置采用超前校正顯然不能滿足交越頻率要求；若使用滯后校正，可能使諧振頻段的開環(huán)幅頻特性靠近0dB線，對系統(tǒng)的魯棒性不利。因此考慮采用滯后-超前校正。 取,計(jì)算校正后的相角裕度；取，由上圖讀出。取，。超前校正部分提供的相角補(bǔ)償，s所以，超前裝置部分的參數(shù)為確定滯后校正部分由圖可以讀出，滯后校正部分提供的高頻衰減參數(shù)為， （3）驗(yàn)算寫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制校正后系統(tǒng)的頻率特性，得到，符合要求。numP=0.2*1 0.1 0.5; denP= conv(1 1 0,1 0.05 0.45) ;P=tf(numP,denP);numC=500*conv(0.48 1,2 1);denC=conv(0.083 1,13.4 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L) 由MATLAB 程序S=feedback(1,L ,-1); ninf,fpeak = norm(S,inf)得到，模裕度，滿足要求。5-7極點(diǎn)配置：已知圖5-29中被控對象的傳遞函數(shù)為設(shè)參考輸入uc指令至輸出y的理想的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)由指定，求控制器的多項(xiàng)式，和。解：(1)，（2）取，令，得到多項(xiàng)式和 的Diophantine方程比較方程各次冪的系數(shù)，給出若，這些方程有解，有，控制器的多項(xiàng)式，和為6-1 已知線性系統(tǒng)的微分方程如下，試用等傾線法繪制其相軌跡。（1）（2）（3）（4）（5）（6）6-2 已知二階非線性系統(tǒng)的微分方程如下，求其奇點(diǎn)并確定奇點(diǎn)類型。（1）（2）6-3 如圖所示二階系統(tǒng)，非線性部分輸出M1。（1）輸入時(shí)，試用等傾線法做出變量x的相平面圖，分析極限環(huán)的形成情況。（1）輸入時(shí)，試用等傾線法做出變量x的相平面圖，并與（1）對比。題6-3圖解：由圖列出系統(tǒng)變量的方程：得到變量x的方程：（1）時(shí)，變量x的方程：在I區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。在II區(qū)，等傾線方程為，即一簇平行線。在III區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。當(dāng)a = 0時(shí)，不存在II區(qū)，可形成極限環(huán)。（2）時(shí)，變量x的方程：在I區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。在II區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。在III區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處?？梢娤嘬壽E形成一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。（1）（2）6-4 如圖所示二階系統(tǒng)，非線性部分k1，輸入。試用等傾線法做出變量x的相平面圖，分析極限環(huán)的形成情況。題6-4圖解：由圖列出系統(tǒng)變量的方程：，即。再由得到變量x的微分方程：在I區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。在III區(qū)，等傾線方程為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠(yuǎn)處。在II區(qū)，作變量替換，系統(tǒng)方程變?yōu)椤Ｆ纥c(diǎn)z0（xT）是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。當(dāng)Ta時(shí)，I區(qū)和III區(qū)的相軌跡進(jìn)入II區(qū)，但是II區(qū)的奇點(diǎn)xT在I區(qū)，因此相軌跡將在I區(qū)和II區(qū)循環(huán)，形成極限環(huán)。6-5 如圖所示非線性系統(tǒng)中，繼電特性輸出幅值M=4.7。（1）如果繼電器特性的a=0，求系統(tǒng)的自持振蕩周期和振幅。（2）a為何值時(shí)，系統(tǒng)無自持振蕩？題6-5圖解： 設(shè)正弦輸入信號的幅值為A。死區(qū)繼電器特性描述函數(shù)為：其負(fù)倒描述函數(shù)為實(shí)數(shù)。系統(tǒng)頻率特性，產(chǎn)生自持振蕩的條件是，即。因此分析系統(tǒng)自持振蕩就是確定和的交點(diǎn)。線性部分的頻率特性為畫出其Nyquist圖。當(dāng)，即時(shí)，與實(shí)軸相交，交點(diǎn)為。（1）a=0時(shí)，當(dāng)A從變化時(shí)，從。時(shí)，與相交，交點(diǎn)為實(shí)軸的2/3，即，得到。因此自持振蕩周期，振幅。（2）a0時(shí)，當(dāng)A從變化時(shí)，從，其中時(shí)達(dá)到最大值。如果，則和不相交。因此時(shí)，系統(tǒng)無自持振蕩。6-6已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中Mh1，。當(dāng)K取何值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自振？題6-6圖解：輸入為正弦信號時(shí)，非線性元件的描述函數(shù)與頻率無關(guān)，可以看作常數(shù)。由梅森公式寫出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為，即由Nyquist判據(jù)可知，當(dāng)在右半平面沒有零極點(diǎn)時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，要求曲線與不相交。兩位置滯環(huán)繼電器特性的描述函數(shù)負(fù)倒描述函數(shù)為再由將代入得到作出s平面圖如下。下面計(jì)算曲線與虛軸的交點(diǎn)。令實(shí)部為0，即，得到。此時(shí)就是曲線與虛軸的交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為0；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也為0。因此當(dāng)K由變化時(shí)，交點(diǎn)由0向虛軸負(fù)無窮方向移動(dòng)，達(dá)到最大值后又向0移動(dòng)。當(dāng)交點(diǎn)位于虛軸時(shí)，曲線與不相交，系統(tǒng)穩(wěn)定。臨界的K值滿足即解得即，根據(jù)前面分析，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生自振，頻率。6-7已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，。當(dāng)K取何值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自振？題6-7圖解：前面已經(jīng)得到飽和非線性特性的描述函數(shù)為當(dāng)Aa時(shí)取最小值k，作出G(i)平面圖如下。下面計(jì)算曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。令虛部為0，即，得到。此時(shí)當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為0；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為5/3。因此當(dāng)K由變化時(shí)，交點(diǎn)由0向5/3移動(dòng)。當(dāng)交點(diǎn)位于實(shí)軸時(shí)，曲線與不相交。臨界點(diǎn)的K值滿足解出K6。根據(jù)前面分析，當(dāng)K6時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生自振。6-8 已知非線性速度反饋系統(tǒng)如圖所示。利用MATLAB的輔助，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的解析表達(dá)式。題6-8圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)（），單位階躍響應(yīng)為借助MATLAB可知當(dāng)t1.294時(shí)。此時(shí)（2）當(dāng)，即tt01.294時(shí)，系統(tǒng)微分方程為作拉普拉斯變換得到得到系統(tǒng)響應(yīng)總之，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為7-1 求如下信號的頻譜。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：控制系統(tǒng)中的信號都是指時(shí)函數(shù)。以下信號不考慮頻譜中的奇異信號。（1）（2）（3）（4）（5）（6）7-2 對題7-1的信號進(jìn)行采樣，采樣頻率為T=0.1秒，（