《拉氏變換詳解》PPT課件

1 2 常用函數(shù)的拉氏變換 1 例1 求階躍函數(shù)f t A 1 t 的拉氏變換 單位階躍函數(shù)f t 1 t 的拉氏變換為 2 例2 求單位脈沖函數(shù)f t t 的拉氏變換 數(shù)學(xué)知識回顧 2 3 例3 求指數(shù)函數(shù)f t 的拉氏變換幾個重要的拉氏變換 3 3 拉氏變換的基本性質(zhì) 1 線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和 2 微分性質(zhì)若 則有f 0 為原函數(shù)f t 在t 0時的初始值 4 證 根據(jù)拉氏變換的定義有原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推 可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換 5 3 積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t 0時的值 證 設(shè)則有由上述微分定理 有 6 即 同理 對f t 的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f t 及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f t 的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以 7 4 終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值 證 由微分定理 有等式兩邊對s趨向于0取極限 8 注 若時f t 極限不存在 則不能用終值定理 如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理 5 初值定理 證明方法同上 只是要將取極限 6 位移定理 a 實域中的位移定理 若原函數(shù)在時間上延遲 則其象函數(shù)應(yīng)乘以 9 b 復(fù)域中的位移定理 象函數(shù)的自變量延遲a 原函數(shù)應(yīng)乘以即 7 時間比例尺定理原函數(shù)在時間上收縮 或展寬 若干倍 則象函數(shù)及其自變量都增加 或減小 同樣倍數(shù) 即 證 10 8 卷積定理兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積 即證明 11 12 二 拉氏反變換1 定義 從象函數(shù)F s 求原函數(shù)f t 的運算稱為拉氏反變換 記為 由F s 可按下式求出式中C是實常數(shù) 而且大于F s 所有極點的實部 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜 一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換 但F s 必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式 13 若F s 不能在表中直接找到原函數(shù) 則需要將F s 展開成若干部分分式之和 而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到 例1 例2 求的逆變換 解 14 例3 15 2 拉式反變換 部分分式展開式的求法 1 情況一 F s 有不同極點 這時 F s 總能展開成如下簡單的部分分式之和 16 17 18 2 情況2 F s 有共軛極點例2 求解微分方程 19 3 情況3 F s 有重極點 假若F s 有L重極點 而其余極點均不相同 那么 20 21 22 23 如果不記公式 可用以下方法求解 也可得解 24 3 線性定常微分方程的求解 例2 6P25 下圖中 若已知L 1H C 1F r 1 U0 0 0 1V i 0 0 1A ui t 1V 試求電路突然接通電源時電容電壓的變化規(guī)律 25 解 已求得微分方程為 拉氏變換得 26 代入得 根據(jù)初值定理 終值定理 27 三 傳遞函數(shù)1 定義 零初始條件下 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 用G s 表示 設(shè)線性定常系統(tǒng) 元件 的微分方程是 28 c t 為系統(tǒng)的輸出 r t 為系統(tǒng)輸入 則零初始條件下 對上式兩邊取拉氏變換 得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次 29 因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性 所以G s 的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù) 即 若m n 我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng) 30 2 性質(zhì) 1 傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng) 2 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù) 而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān) 可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性 3 只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng) 且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映 4 如果存在零極點對消情況 傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了 5 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出 不能反映非零初始條件引起的輸出 31 例1 RC電路如圖所示依據(jù) 基爾霍夫定律消去中間變量 則微分方程為 32 可用方框圖表示例2 雙T網(wǎng)絡(luò) 對上式進行零初始條件下的拉氏變換得 33 解 方法一 根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組 方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得 34 35 方法二 雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián) 即 36 傳遞函數(shù)的基本概念例 例2 9P31 求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù) 解 已知電樞控制式直流電動機的微分方程為 方程兩邊求拉氏變換為 令 得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù) 令 得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù) 最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為 37 38 2 4典型環(huán)節(jié)的特性 控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的 為了研究控制系統(tǒng)的特性 有必要首先研究其各個組成部分的特性 即研究各個環(huán)節(jié)的特性 不同物理性質(zhì) 不同結(jié)構(gòu)用途的環(huán)節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動態(tài)特性 可以有相同的數(shù)學(xué)模型 所以這里按數(shù)學(xué)模型對環(huán)節(jié)進行分類 39 1 比例環(huán)節(jié) 1 微分方程c t Kr t K為常數(shù)任意時刻 輸出與輸入成比例 2 傳遞函數(shù)K為常數(shù) 3 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 4 動態(tài)特性r t 1 t c t K 1 t 輸出不失真 不延遲 成比例地表現(xiàn)輸入信號的變化 迅速 準(zhǔn)確地表現(xiàn)輸入信號的變化 40 5 舉例 a 工作于線性狀態(tài)的電子放大器 其慣性很小可以近似地看成一個比例環(huán)節(jié) b 測速發(fā)電機空載時 它的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比例關(guān)系 帶負載時 略去其電樞反應(yīng)和電刷與換相器的接觸電壓 仍近似地把它視為一個比例環(huán)節(jié) 41 2 4結(jié)構(gòu)圖 一 結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1 概念 我們可以用結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向 在引入傳遞函數(shù)后 可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里 并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示 這時Y s G s X s 的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來 42 3 比較點 綜合點 相加點加號常省略 負號必須標(biāo)出 4 引出點 一條傳遞線上的信號處處相等 引出點的信號與原信號相等 2 組成 1 方框 有輸入信號 輸出信號 傳遞線 方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù) 一條傳遞線上的信號處處相同 2 信號線 帶箭頭的直線 箭頭表示信號的流向 在直線旁標(biāo)注信號的時間函數(shù)或象函數(shù) 43 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 例1 利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù) 解 不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián) 有負載效應(yīng) 根據(jù)電路定理 有以下式子 二 結(jié)構(gòu)圖的繪制 44 繪圖 ui s 為輸入 畫在最左邊 這個例子不是由微分方程組 代數(shù)方程組 結(jié)構(gòu)圖 而是直接列寫s域中的代數(shù)方程 畫出了結(jié)構(gòu)圖 45 若重新選擇一組中間變量 會有什么結(jié)果呢 剛才中間變量為i1 u1 i2 現(xiàn)在改為I I1 I2 從右到左列方程 46 這個結(jié)構(gòu)與前一個不一樣 選擇不同的中間變量 結(jié)構(gòu)圖也不一樣 但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會變的 繪圖 47 三 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 1 串聯(lián) 48 2 并聯(lián) 49 3 反饋這是個單回路的閉環(huán)形式 反饋可能是負 可能是正 我們用消去中間法來證明 C s 50 以后我們均采用 s 表示閉環(huán)傳遞函數(shù) 負反饋時 s 的分母為1 回路傳遞函數(shù) 分子是前向通路傳遞函數(shù) 正反饋時 s 的分母為1 回路傳遞函數(shù) 分子為前向通路傳遞函數(shù) 單位負反饋時 51 4 信號引出點的移動 引出點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 信號分支點的移動和互換 52 信號相加點和分支點的移動和互換 引出點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 注意 相臨的信號相加點位置可以互換 見下例 53 信號相加點和分支點的移動和互換 同一信號的分支點位置可以互換 見下例 相加點和分支點在一般情況下 不能互換 常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2 1 所以 一般情況下 相加點向相加點移動 分支點向分支點移動 54 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 例2 利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù) 總的結(jié)構(gòu)圖如下 55 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 為了求出總的傳遞函數(shù) 需要進行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q 一個可能的變換過程如下 56 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 57 解 結(jié)構(gòu)圖等效變換如下 例3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下 求傳遞函數(shù) 58 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 12 59 小結(jié) 結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 環(huán)節(jié)的合并和分支點 相加點的移動 作業(yè) 2 2 b 2 4 b 2 8 2 9 2 11 2 17 e 60 2 5信號流圖 信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系 它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型 在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便 61 一 信號流圖及其等效變換組成 信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò) 見下圖 信號流圖的概念 節(jié)點 節(jié)點表示變量 以小圓圈表示 支路 連接節(jié)點之間的有向線段 支路上箭頭方向表示信號傳送方向 傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊 稱支路增益 支路相當(dāng)于乘法器 信號流經(jīng)支路時 被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號 62 上圖中 兩者都具有關(guān)系 支路對節(jié)點來說是輸出支路 對輸出節(jié)點y來說是輸入支路 信號流圖的概念 63 信號流圖的術(shù)語 幾個術(shù)語 輸出節(jié)點 阱點 只有輸入支路的節(jié)點 如 C 混合節(jié)點 既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點 如 E P Q 混合節(jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點 它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加 前向通路 信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時 每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路 輸入節(jié)點 源點 只有輸出支路的節(jié)點 如 R N 64 回路 閉通路 起點和終點為同一節(jié)點 而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路 互不接觸回路 回路之間沒有公共節(jié)點時 這種回路稱為互不接觸回路 信號流圖的術(shù)語 通路傳輸 增益 通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益 前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益 回路傳輸 增益 回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益 65 信號流圖的等效變換 66 信號流圖的等效變換 67 信號流圖的性質(zhì) 節(jié)點表示系統(tǒng)的變量 一般 節(jié)點自左向右順序設(shè)置 每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和 而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示 支路相當(dāng)于乘法器 信號流經(jīng)支路時 被乘以支路增益而變換為另一信號 信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞 即只有前因后果的因果關(guān)系 對于給定的系統(tǒng) 節(jié)點變量的設(shè)置是任意的 因此信號流圖不是唯一的 信號流圖的性質(zhì) 68 信號流圖的繪制 信號流圖的繪制 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖例2已知結(jié)構(gòu)圖如下 可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點 如上圖所示 然后畫出信號流圖如下圖所示 69 信號流圖的繪制 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制 如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為 按方程可繪制信號流圖 70 梅遜公式的推導(dǎo) 二 梅遜公式的推導(dǎo) 如前例已知信號流圖如圖所示 所對應(yīng)的代數(shù)方程為 以R為輸入 V2為輸出則可整理成下列方程 71 于是可求得該方程組的系數(shù)行列式 和 梅遜公式的推導(dǎo) 72 根據(jù)克萊姆法則得 于是傳遞函數(shù)為 分析上式可以看到 傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式 而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓撲結(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系 從拓撲結(jié)構(gòu)的觀點 信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量 而信號流圖所含回路的主要類型有兩種 單獨的回路和互不接觸回路 梅遜公式的推導(dǎo) 73 圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路 回路 和 和 和 所有單獨回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 而 值恰好為 可見 傳遞函數(shù)的分母 取決于信號流圖的拓撲結(jié)構(gòu)特征 梅遜公式的推導(dǎo) 74 如果把 中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后 剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式 并記為 k 由圖可得 從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示 梅遜公式的推導(dǎo) 75 故用信號流圖拓撲結(jié)構(gòu)的術(shù)語 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為 梅遜公式的推導(dǎo) 傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式 除以R s 而恰好為 76 梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸 即總傳遞函數(shù) 其表達式為 式中 總傳輸 即總傳遞函數(shù) 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù) 第k個前向通道的總傳輸 流圖特征式 其計算公式為 二 梅遜公式 77 第k個前向通道的特征式的余子式 其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分 梅遜公式 78 梅遜公式 例2 13a 解 前向通道有一條 有一個回路 例2 13a 求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 不計擾動 79 梅遜公式 例4 解 先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點 再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下 例4 繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù) 80 有兩個互不接觸回路 梅遜公式 例4 81 梅遜公式 例4 討論 信號流圖中 a點和b點之間的傳輸為1 是否可以將該兩點合并 使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路 如果可以的話 總傳輸將不一樣 不能合并 因為a b兩點的信號值不一樣 上圖中 ui和ue I1和I a和b可以合并 為什么 82 梅遜公式 例5 例5 使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù) 解 在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點 如上 然后畫出信號流圖 如下 83 回路有三 分別為 有兩個不接觸回路 所以 梅遜公式 例5 84 梅遜公式 例5 注意 上面講不變 為什么 是流圖特征式 也就是傳遞函數(shù)的特征表達式 對于一個給定的系統(tǒng) 特征表達式總是不變的 可以試著求一下 85 梅遜公式注意事項 注意 梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益 即輸出對輸入的增益 而輸出對混合節(jié)點 中間變量 的增益就不