特殊平行四邊形典型例題解析題

一、參考例題 例1如下圖，ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明你的結(jié)論.分析：(1)要證明OE=OF，可借助第三條線段OC，即證：OE=OC，OF=OC，這兩對(duì)線段又分別在兩個(gè)三角形中，所以只需證OEC、OCF是等腰三角形，由已知條件即可證明.(2)假設(shè)四邊形AECF是矩形，則對(duì)角線互相平分且相等，四個(gè)角都是直角.由已知可得到：ECF=90，由(1)可證得OE=OF，所以要使四邊形AECF是矩形,只需OA=OC.證明：(1)CE、CF分別是ACB、ACD的平分線.ACE=BCE，ACF=DCFMNBC OEC=ECB，OFC=FCDACE=OEC，ACF=OFCOE=OC，OF=OC OE=OF(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，即OA=OC又由(1)證得OE=OF四邊形AECF是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)由(1)知：ECA+ACF=ACB+ACD= (ACB+ACD)=90即ECF=90四邊形AECF是矩形.因此：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.例2如下圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，OFAD于F，OF=3 cm，AEBD于E，且BEED=13，求AC的長(zhǎng).分析：本題主要利用矩形的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算.即：由矩形的對(duì)角線互相平分且相等；可導(dǎo)出BE=OE，進(jìn)而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD的長(zhǎng)，即AC的長(zhǎng).解：四邊形ABCD是矩形. AC=BD,OB=OD=OA=OC又BEED=13 BEBO=12 BE=EO又AEBOABEADE AB=OA即AB=AO=OBBAE=EAO=30，F(xiàn)AO=30 ABEAOFBE=OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm二、參考練習(xí)1.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，將紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B與D重合，求折痕EF的長(zhǎng).解：連結(jié)BD、BE、DF 由折疊的意義可知：EFBD，EF平分BD.BE=ED,BF=FD四邊形ABCD為矩形 AB=CD，AD=BC，C=90，ADBCEDO=FBO點(diǎn)B和D重合 BO=DO，BOF=DOEBOFDOE ED=BF，ED=BF=FD=BE四邊形BFDE是菱形 S菱形=BDEF=BFCDBF=DF，可設(shè)BF=DF=x 則FC=8x在RtFCD中，根據(jù)勾股定理得： x2=(8x)2+62x= EF=7.5因此，折痕EF的長(zhǎng)為7.5 cm.2.當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件_時(shí)，它成為矩形(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可).答案：BAC=90或AC=BD或OA=OB或ABC+ADC=180或BAD+BCD= 180等條件中的任一個(gè)即可.典型例題例1 如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且，求：（1）的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（3）菱形ABCD的面積分析 （1）由E為AB的中點(diǎn)，可知DE是AB的垂直平分線，從而，且，則是等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出（2）而，利用勾股定理可以求出AC（3）由菱形的對(duì)角線互相垂直，可知 解 （1）連結(jié)BD，四邊形ABCD是菱形， 是AB的中點(diǎn)，且， 是等邊三角形，也是等邊三角形 （2）四邊形ABCD是菱形，AC與BD互相垂直平分， ， （3）菱形ABCD的面積 說明：本題中的菱形有一個(gè)內(nèi)角是60的特殊的菱形，這個(gè)菱形有許多特點(diǎn)，通過解題應(yīng)該逐步認(rèn)識(shí)這些特點(diǎn)例2 已知：如圖，在菱形ABCD中，于于 F求證： 分析 要證明，可以先證明，而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明，從而可以證得本題的結(jié)論證明 四邊形ABCD是菱形，且， ， 例3 已知：如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的一點(diǎn)，求的度數(shù). 解答：連結(jié)AC. 四邊形ABCD為菱形，. 與為等邊三角形. ， ，為等邊三角形. ， 說明 本題綜合考查菱形和等邊三角形的 性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連AC，證. 例4 如圖，已知四邊形和四邊形都是矩形，且求證：垂直平分分析 由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角以及等腰三角形的“三線合一”可證明垂直平分證明：四邊形、都是矩形， 四邊形是平行四邊形， 在和中 ， 四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形平分 平分 垂直平分例5 如圖，中，、在直線上，且求證：分析 要證，關(guān)鍵是要證明四邊形是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)證明結(jié)論證明 四邊形是平行四邊形， ， 在和中 同理： 四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形 典型例題例1 一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是它鄰角的3倍，那么這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角各是多少度？分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)可以求出四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解 設(shè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得，解得， 這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為45，135，45，135例2 已知：如圖，的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm，求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng)分析 由平行四邊形對(duì)邊相等，可知平行四邊形周長(zhǎng)的一半30cm，又由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長(zhǎng)解 四邊形為平行四邊形， ， ， 答：這個(gè)平行四邊形各邊長(zhǎng)分別為19cm，11cm，19cm，11cm說明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個(gè)結(jié)論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半（2）平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差例 3 已知：如圖，在中，交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，說明理由分析 觀察圖形，從而可說明 證明 在中，交于O， ， 例4 已知：如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上，且，垂足為F。求證： 分析 觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個(gè)直角三角形全等。在這個(gè)圖形中，若連結(jié)AE，則與全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明 四邊形ABCD是矩形， ，又，。 例5 O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，的周長(zhǎng)為59，則_，若與的周長(zhǎng)之差為15，則_，ABCD的周長(zhǎng)=_. 解答：ABCD中，. 的周長(zhǎng) . 在ABCD中，. 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) ABCD的周長(zhǎng) 說明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長(zhǎng)的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差. 例6 已知：如圖，ABCD的周長(zhǎng)