1.6 有限與無限的思想

6. 有限與無限的思想 考試中心對考試大綱的說明中指出：“對有限的研究往往先于對無限的研究,對有限個(gè)研究對象的研究往往有章可循,并積累了一定的經(jīng)驗(yàn),而對無限個(gè)研究對象的研究,卻往往不知如何下手,顯得經(jīng)驗(yàn)不足,于是將對無限的研究化成對有限的研究,就成了解決無限問題的必經(jīng)之路,反之,當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后,可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決,這種無限化有限,有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限的思想.” “高考中對有限與無限的思想的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時(shí)考查有限與無限的思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時(shí)，含有有限與無限的思想；在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等?！?在2005年的高考中，對數(shù)學(xué)歸納法的考查加強(qiáng)了，除文科之外的16套試卷中，就有7道數(shù)學(xué)歸納法的試題（全國遼寧，浙江，福建，江西，湖北，重慶），極值和導(dǎo)數(shù)問題也是體現(xiàn)有限與無限的思想的一個(gè)重要的側(cè)面，在29套試卷中都考查到了。 【例1】(2005年，福建卷，理22)已知數(shù)列an滿足a1=a, an+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無窮數(shù)列：當(dāng)時(shí),得到有窮數(shù)列:.（）求當(dāng)a為何值時(shí)a4=0；（）設(shè)數(shù)列bn滿足b1=1, bn+1=，求證a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列an；（）若，求a的取值范圍.【分析及解】 這是一道體現(xiàn)有限與無限的思想的典型試題，對于題設(shè)的遞推關(guān)系，由于所給出的初始條件不同，得到的數(shù)列也不同，并在題干中舉出了具體的例子，第（）問則是可以通過有有限次試驗(yàn)，得到對無限個(gè)都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列an的猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，第（）問又是把對無限個(gè)都成立的結(jié)果，通過有限次分析求的解決。（）解法一： 解法二 故當(dāng)時(shí)，.() 解法一故a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列an解法二;,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.一般地, 當(dāng)時(shí),可得一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1) 當(dāng)時(shí), ,顯然,可得一個(gè)含有2項(xiàng)的有窮數(shù)列(2) 假設(shè)當(dāng)時(shí),得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,其中 則時(shí), 由假設(shè)可知, 得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,其中所以,當(dāng)時(shí), 可以得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,其中由(1),(2)知,對一切,命題都成立.（）要使,即,所以, 要使,當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項(xiàng)滿足.由于,所以只須當(dāng)時(shí),都有由,得,解此不等式得. 【例2】(2002年,全國卷) 某城市規(guī)劃2001年末汽車保有量為30萬輛,預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同,為保護(hù)城市環(huán)境,要求該城市汽車保有量不超過60萬輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛? 解 設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛,.以后各年的汽車保有量為(萬輛) 設(shè)每年新增汽車萬輛,則 , 是以為首項(xiàng),為公比的等差數(shù)列. (1) 當(dāng),即時(shí),為減數(shù)列,所以 又時(shí), .所以此