第3章 空間向量與立體幾何 §3.2 立體幾何中的向量方法.doc

3.2 立體幾何中的向量方法知識點一 用向量方法判定線面位置關(guān)系(1)設(shè)a、b分別是l1、l2的方向向量，判斷l(xiāng)1、l2的位置關(guān)系：a(2,3，1)，b(6，9,3)a(5,0,2)，b(0,4,0)(2)設(shè)u、v分別是平面、的法向量，判斷、的位置關(guān)系：u(1，1,2)，v(3,2，)u(0,3,0)，v(0，5,0)(3)設(shè)u是平面的法向量，a是直線l的方向向量，判斷直線l與的位置關(guān)系u(2,2，1)，a(3,4,2)u(0,2，3)，a(0，8,12)解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l1l2.(2)u(1，1,2)，v(3,2，)，uv3210，uv，.u(0,3,0)，v(0，5,0)，uv，uv，.(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820，ua，l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，ua，ua，l.知識點二 利用向量方法證明平行問題如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點求證：MN平面A1BD.證明方法一如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是 =（，0，），設(shè)平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）. n(x，y，z)則n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又 n (,0，)(1，1，1)0，方法二 = ，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.知識點三 利用向量方法證明垂直問題在正棱錐PABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點，且BEECPFFB12.(1)求證：平面GEF平面PBC；(2)求證：EG是PG與BC的公垂線段證明(1)方法一如圖所示，以三棱錐的頂點P為原點，以PA、PB、PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系令PAPBPC3，則A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)于是(3,0,0)，(3,0,0)，故 3，PAFG.而PA平面PBC，F(xiàn)G平面PBC，又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.方法二 同方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，則E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)(0，1，1)，(0，1，1)，設(shè)平面EFG的法向量是n(x，y，z)，則有n，n，令y1，得z1，x0，即n(0,1，1)而顯然=（3，0，0）是平面PBC的一個法向量.這樣n = 0,n即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG平面PBC.（2） =（1， 1， 1）， =（1，1，0）， =（0， 3，3），=11= 0， =33 = 0，EGPG，EGBC，EG是PG與BC的公垂線段. 知識點四 利用向量方法求角四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60，在四邊形ABCD中，DDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點B，P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值解(1)如圖所示，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，DDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD面ABCD得PAD為PA與平面ABCD所成的角PAD60.在RtPAD中，由AD2，得PD2P(0,0,2)（2）(2,0，2)， =（2， 3，0）cos,= PA與BC所成角的余弦值為正方體ABEFDCEF中，M、N分別為AC、BF的中點(如圖所示)，求平面MNA與平面MNB所成二面角的余弦值解取MN的中點G，連結(jié)BG，設(shè)正方體棱長為1.方法一 AMN，BMN為等腰三角形，AGMN，BGMN.AGB為二面角的平面角或其補角AG=BG=,，設(shè)，=， 2222，1()22cos()2.cos，故所求二面角的余弦值為方法二以B為坐標(biāo)原點，BA，BE，BC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz則M(，0， )，N (,0)，中點G(，)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知AGB為二面角的平面角或其補角(，)，(，)， cos=,故所求二面角的余弦值為方法三 建立如方法二的坐標(biāo)系，即取n1(1,1,1)同理可求得平面BMN的法向量n2(1，1，1)cosn1，n2,故所求二面角的余弦值為知識點五 用向量方法求空間的距離已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離解如圖所示，以C為原點，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)，(2,4,0)，設(shè)向量平面GEF，垂足為M，則M、G、E、F四點共面，故存在實數(shù)x，y，z，使 = x + y + z，即 = x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM平面GEF，得,，于是0，0，即即，解得 (2y4z,2x4y,2z)| 即點B到平面GEF的距離為考題賞析(安徽高考)如圖所示，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(1)求異面直線AB與MD所成角的大小；(2)求點B到平面OCD的距離解作APCD于點P.如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，0)，D (，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)設(shè)AB與MD所成角為，(1,0,0)， (，1)，cos =AB與MD所成角的大小為（2） =（0,，）， =（， ，）,設(shè)平面OCD的法向量為n = ( x, y , z ),則n=0， n = 0.得取z=，解得n = (0,4, ).設(shè)點B到平面OCD的距離為d,則d為在向量n上的投影的絕對值. =（1，0， 2），d,點B到平面OCD的距離為,1已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是( )A (，) B (，)C (，) D (，)答案D(1,1,0)，是平面OAC的一個法向量(1,0,1)，(0，1,1)設(shè)平面ABC的一個法向量為n(x，y，z)令x1，則y1，z1n(1,1,1)單位法向量為： (,，)2已知正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角是( )A60 B45C30 D90答案B3設(shè)l1的方向向量a(1,2，2)，l2的方向向量b(2,3，m)，若l1l2，則m( )A1 B2 C D3答案B解析因l1l2，所以ab0，則有1(2)23(2)m0，2m624，即m2.4若兩個不同平面，的法向量分別為u(1,2，1)，v(3，6,3)，則( )A BC，相交但不垂直 D以上均不正確答案A解析因v3u，vu.故.5已知a、b是異面直線，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，則a與b所成的角是( )A30 B45 C60 D90答案 C解析 設(shè)，=，=（+ += |2= 1，cos=,所以=606若異面直線l1、l2的方向向量分別是a(0，2，1)，b(2,0,4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于( )A BC D答案B解析設(shè)異面直線l1與l2的夾角為，則cos7已知向量n(6,3,4)和直線l垂直，點A(2,0,2)在直線l上，則點P(4,0,2)到直線l的距離為_答案 ，解析 =（6，0，0），因為點A在直線l上， n與l垂直，所以點P到直線l的距離為8平面的法向量為(1,0，1)，平面的法向量為(0，1,1)，則平面與平面所成二面角的大小為_答案或，解析設(shè)n1(1,0，1)，n2(0，1,1)則cosn1，n2n1，n2因平面與平面所成的角與n1，n2相等或互補，所以與所成的角為或9已知四面體頂點A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)和D(5，4,8)，則頂點D到平面ABC的距離為_答案 11解析 設(shè)平面ABC的一個法向量為n =（x,y,z）則令x=1,則n = (1,2, ), =（7，7，7）故所求距離為,10如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中點，作EFPB交PB于F.(1)證明：PA平面BDE；(2)證明：PB平面DEF.證明 (1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，ACBDG，連結(jié)EG，則A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，)，G (，0)于是=（a，0， a）， =（，0，）, = 2，PAEG.又EG平面DEB.PA平面DEB.PA平面DEB.(2)由B(a,a,0),得 =(a, a, a),又 =（0, ,）, =PBDE.又EFPB，EFDE=E，PB平面EFD.11如圖所示，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA60.(1)求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小解如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則 =（1，0，0）， = (0,0,1).連結(jié)BD,BD.在平面BBDD中,延長DP交BD于H.設(shè) = (m,m,1) (m0),由已知,= 60,由= |cos,可得2m =解得m =，所以(，1)，(1) 因為cos,= (2) 所以,= 45,即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個法向量是= (0,1,0).因為cos,= 所以,= 60,可得DP與平面AADD所成的角為30.12. 如圖，四邊形ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60.平面PBD平面PAC，(1)求點A到平面PBD的距離;(2)求異面直線AB與PC的距離.(1)解 以AC、BD的交點為坐標(biāo)原點，以AC、BD所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0， 1，0），P（3，0，2）.設(shè)平面PBD的一個法向量為n1=（1，y1，z1）.由n1， n1，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），點A到平面PBD的距離,13.如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D為A1C1的中點，在線段AA1上是否存在點F，使CF平面B1DF？若存在，求出|；若不存在，請說明理由.解 以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.假設(shè)存在點F，使CF平面B1DF，并設(shè) =（0，0，3a）=（0，0，3a）（01），D為A1C1的中點，D(，,3a) (，,3a)(0,0,3a) (,， 0)，=CF平面B1DF，CF, ,即解得或存在點F使CF面B1DF，且當(dāng)=時，|=,| = a當(dāng)=，| =,| = 2a.14如圖(1)所示，已知四邊形ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為eq r(3)的等腰梯形將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖(2)(1)證明：ACBO1；(2)求二面角OACO1的余弦值(1)證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAO