高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 2.2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理課件 新人教A版選修41.ppt

二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1 圓內(nèi)接四邊形 1 如果多邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上 那么這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形 這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓 2 如果四邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上 那么這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓 名師點(diǎn)撥任意三角形都有外接圓 任意正方形 矩形都有外接圓 但并不是所有四邊形都有外接圓 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 1 性質(zhì)定理1 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 如圖 若四邊形abcd內(nèi)接于圓o 則 a c 180 b d 180 該定理的作用是證明兩個(gè)角互補(bǔ) 2 性質(zhì)定理2 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 如圖 若四邊形abcd內(nèi)接于圓o e為ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 則 cbe adc 該定理的作用是證明兩個(gè)角相等 名師點(diǎn)撥1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明角的相等或互補(bǔ)提供了理論依據(jù) 因而也為論證角邊關(guān)系提供了一種新方法 2 注意幾個(gè)常用結(jié)論 1 內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形 2 內(nèi)接于圓的菱形是正方形 3 內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形 做一做1 如圖 四邊形abcd內(nèi)接于圓o 若 a 2 c 則 c 若 adc 85 則 abe 解析 因?yàn)樗倪呅蝍bcd是圓內(nèi)接四邊形 所以 a c 180 又 a 2 c 所以 c 60 又因?yàn)?adc abe adc 85 所以 abe 85 答案 60 85 3 圓內(nèi)接四邊形的判定定理 1 判定定理 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 如圖 在四邊形abcd中 若 a c 180 或 b d 180 則a b c d四點(diǎn)共圓 該定理的作用是證明四點(diǎn)共圓 2 推論 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 如圖 在四邊形abcd中 延長(zhǎng)ab到e 若 cbe adc 則a b c d四點(diǎn)共圓 該推論的作用是證明四點(diǎn)共圓 名師點(diǎn)撥判斷或證明四點(diǎn)共圓的常用方法 1 如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離相等 那么這四個(gè)點(diǎn)共圓 2 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 3 如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 4 如果兩個(gè)三角形有公共邊 公共邊所對(duì)的角相等 且在公共邊的同側(cè) 那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 做一做2 如圖 四邊形abcd的邊ab的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)e 且bc be d 80 e 50 求證 a b c d四點(diǎn)共圓 證明 bc be e bce ebc 180 2 e 80 ebc d a b c d四點(diǎn)共圓 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫 錯(cuò)誤的畫 1 任意矩形都有唯一的外接圓 2 菱形一定有外接圓 3 任意正多邊形都有外接圓 4 圓內(nèi)接梯形一定是等腰梯形 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的應(yīng)用 例1 1 如圖 已知 o的內(nèi)接四邊形abcd ab和dc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)p ad和bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)q 若 a 50 p 30 求 q的度數(shù) 2 如圖 在 o中 ac ab e是弦bc延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) ae交 o于點(diǎn)d 求證 ac2 ad ae 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 分析 1 先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 cdq和 dcq的度數(shù) 再利用三角形的內(nèi)角和定理求得 q的度數(shù) 2 可先考慮證明 adc ace 得到比例式后 再轉(zhuǎn)化為欲證等積式 1 解 四邊形abcd是 o的內(nèi)接四邊形 qcd a 50 又 p 30 cdq p a 80 故 q 180 80 50 50 2 證明 如圖 連接dc ac ab acb b 又四邊形abcd內(nèi)接于 o edc b acb edc adc ace eac cad adc ace 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟1 因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)主要涉及有關(guān)角的關(guān)系 所以在圓內(nèi)求角的大小以及證明角之間的相等關(guān)系時(shí) 要發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形 利用兩個(gè)性質(zhì)定理進(jìn)行求解和證明 2 在圓內(nèi)證明等積式時(shí) 由于比例式是等積式的一種特殊形式 因此可轉(zhuǎn)化為比例式 只需找到包含所證線段的兩個(gè)三角形來證明 而要證三角形相似 可借助圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 得出對(duì)應(yīng)的角相等 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練1如圖 o的直徑ab的延長(zhǎng)線與弦cd的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)p e為 o上一點(diǎn) ae ac 求證 pde poc 證明 連接be bc ae ac ab為直徑 在rt abe和rt abc中 abe abc aeb acb ae ac rt abe rt abc oae oac 又 oac oca oca oae poc oac oca oac oae eac 又四邊形acde內(nèi)接于 o eac pde pde poc 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 圓內(nèi)接四邊形判定定理的應(yīng)用 例2 如圖 在 abc中 ad db df ab交ac于點(diǎn)f ae ec eg ac交ab于點(diǎn)g 求證 1 d e f g四點(diǎn)共圓 2 g b c f四點(diǎn)共圓 分析 1 連接gf 則易證 gdf與 gef均為直角三角形 由直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可得出結(jié)論 2 連接de 由條件易證de bc 從而 ade b 由 1 知 ade gfe 從而 gfe b 從而得到結(jié)論 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 證明 1 連接gf 由df ab eg ac 知 gdf gef 90 gf的中點(diǎn)到d e f g四點(diǎn)的距離相等 d e f g四點(diǎn)共圓 2 連接de 由ad db ae ec 知de bc ade b 又由 1 中d e f g四點(diǎn)共圓 ade gfe gfe b g b c f四點(diǎn)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟判定四點(diǎn)共圓的方法1 如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等 那么這四個(gè)點(diǎn)共圓 2 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 3 如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 4 與線段兩個(gè)端點(diǎn)連線的夾角相等 或互補(bǔ) 的點(diǎn)連同該線段兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練2如圖 已知四邊形abcd為平行四邊形 過點(diǎn)a和點(diǎn)b的圓與ad bc分別交于e f 求證 c d e f四點(diǎn)共圓 證明 連接ef 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為平行四邊形 所以 b c 180 因?yàn)樗倪呅蝍bfe內(nèi)接于圓 所以 b aef 180 所以 aef c 故c d e f四點(diǎn)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用 典例 如圖 a b c d四點(diǎn)在同一圓上 ad的延長(zhǎng)線與bc的延長(zhǎng)線交于e點(diǎn) 且ec ed 1 求證 cd ab 2 延長(zhǎng)cd到f 延長(zhǎng)dc到g 使得ef eg 證明a b g f四點(diǎn)共圓 審題策略 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理證明 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 規(guī)范展示 證明 1 因?yàn)閑c ed 所以 edc ecd 因?yàn)閍 b c d四點(diǎn)在同一圓上 所以 edc eba 故 ecd eba 所以cd ab 2 由 1 知 ae be 因?yàn)閑f eg 所以 efd egc 從而 fed gec 連接af bg 則 efa egb 故 fae gbe 由 1 得cd ab 所以 fab gba 所以 afg gba 180 故a b g f四點(diǎn)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 答題模板 1 第1步 證 edc兩底角相等 第2步 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理得兩角相等 第3步 利用同位角相等證得結(jié)論 2 第1步 證明兩角相等 第2步 證明兩三角形全等 第3步 由圓內(nèi)接四邊形的判定定理證得結(jié)論 失誤警示通過閱卷統(tǒng)計(jì)分析 造成失分的原因是 1 不能利用等腰三角形的性質(zhì)得出兩底角相等 2 不能正確利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出角的相等關(guān)系 3 無法正確利用圓內(nèi)接四邊形的判定定理證明四點(diǎn)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練已知cf是 abc的ab邊上的高 fp bc于點(diǎn)p fq ac于點(diǎn)q 求證 a b p q四點(diǎn)共圓 證明 連接pq 在四邊形qfpc中 因?yàn)閜f bc fq ac 所以 fqa fpc 90 所以q f p c四點(diǎn)共圓 所以 qfc qpc 又因?yàn)閏f ab 所以 qfc與 qfa互余 而 a與 qfa也互余 所以 a qfc 所以 a qpc 故a b p q四點(diǎn)共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 1 已知四邊形abcd是圓內(nèi)接四邊形 則下列結(jié)論正確的有 若 a c 則 a 90 若 a b 則四邊形abcd是等腰梯形 a的補(bǔ)角與 c的補(bǔ)角互補(bǔ) a b c d的比可以是1 2 3 4 a 1個(gè)b 2個(gè)c 3個(gè)d 4個(gè)答案 b2 圓內(nèi)接平行四邊形一定是 a 正方形b 菱形c 等腰梯形d 矩形解析 因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 平行四邊形的對(duì)角相等 所以圓內(nèi)接平行四邊形的各角均為直角 故為矩形 答案 d 探究一 探究二 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 3 如圖 四邊形abcd為 o的內(nèi)接四邊形 e為ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn) cbe 40 則 aoc等于 a 20 b 40 c 80 d 100 解析 因?yàn)?cbe 40 所以 adc 40 于是 aoc 2 adc 80 答案 c4 若be和c