初二數(shù)學(xué)第八講全等三角形的性質(zhì)及判定(二)(教案)

初二數(shù)學(xué)第八講全等三角形的性質(zhì)及判定(二)(教案) 第08講全等三角形的性質(zhì)及判定（二）適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國-人教版課時時長（分鐘）120分鐘知識點1.全等三角形的應(yīng)用2.全等三角形的判定與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.深刻理解“全等”的含義；2.熟悉組成全等三角形的基本圖形，并能在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)分解出這些基本圖形；3.恰當(dāng)選擇判定三角形全等的方法；4.掌握證明三角形全等的幾個要領(lǐng)。 教學(xué)重點熟悉全等三角形證明中的中點問題、旋轉(zhuǎn)及截長補(bǔ)短的運用教學(xué)難點證明全等三角形的中點問題、旋轉(zhuǎn)及截長補(bǔ)短的識別教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)德軍在萊茵河北岸Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營聰明的拿破侖站在南岸的點O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面德國軍營Q處，然后他一步一步后退，一直退到自己的視線恰好落在他剛剛站立的點O處，讓士兵丈量他所站立位置B與O點的距離，并下令按照這個距離炮轟德軍試問法軍能命中目標(biāo)嗎？如果可以，聰明的你能告訴我為什么嗎？用帽舌邊緣視線法還可以怎樣測量，也能測出河岸兩邊的距離嗎？【答案】解法軍能命中目標(biāo)理由易知AB=PO，A=P，又ABBO，POBQ，ABO=POQ=90，在ABO和POQ中，90A PABPOABO POQ?，ABOPOQ（ASA），BO=OQ，因此，按照BO的距離炮轟德軍時，炮彈恰好落入德軍Q處；如果拿破侖站在O處，只需轉(zhuǎn)過身來仍可用帽舌邊緣視線法測出河岸兩邊的距離【解析】根據(jù)拿破侖的身高不變可得AB=PO，視線方向不變可得A=P，然后利用“角邊角”證明ABO和POQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BO=OQ，從而得到能夠使炮彈落入德軍Q處；同理，轉(zhuǎn)過身來仍然可以測量 二、知識講解三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與的結(jié)論聯(lián)系起來應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點1.條件充足時直接應(yīng)用判定定理在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等2.條件不足，會增加條件用判定定理此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件解這類問題的基本思路是執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案3.條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理證明兩個三角形全等時，若邊或角的關(guān)系不明顯，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等常見的隱藏條件有公共邊，公共角，對頂角；線段的相加減；角度的互余，互補(bǔ)，三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角和。 4.條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法不能直接證明一對三角形全等時，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形考點/易錯點1常見的幾種輔助線添加遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目 三、例題精析【例題1】【題干】如圖，CB，CD分別是鈍角AEC和銳角ABC的中線，且AC=AB求證CE=2CD【答案】證明如圖，延長CD至點F，使DF=CD，連接BF在ADC和BDF中，AD BDADCBDFCD FD?，ADCBDF（SAS），AC=BF，1=A由AC=AB得ACB=23=A+ACB，3=CBF再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，在CBE和CBF中，3BE BFCBFBCBC?，CBECBF，CE=CF，即CE=2CD【解析】在三角形全等的證明中，我們常會遇到證明某條線段的長度等于另一條線段長度的兩倍或者二分之一等，還會遇到兩條線段和與另一條線段的不等關(guān)系。 如果題目中有中點這個已知條件，運用倍長中線法，可達(dá)到事半功倍的效果。 【變式1】在ABC中，AD為BC邊上的中線求證AB+AC2AD【答案】延長AD至E，使DE=AD，連接CEAD是BC邊上中線，BD=DC。 ADB=CDE，在ABD和ECD中，BD DCADBCDEAD DE?，ABDECD（SAS）AB=EC在ACE中，AC+ECAE=2AD，AB+AC2AD【解析】條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，注意運用類比方法構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形【變式2】如圖，分別以ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH的中點求證MABC【答案】設(shè)MA的延長線交BC于點D，延長AM至點N，使MN=AM，連接FN則由FMNHMA可得FN=AH=AC，F(xiàn)N/AH，AFN+FAH=180BAC+FAH=180，AFN=BAC又AF=AB，AFNBAC，得1=21+3=90，2+3=90，ADB=90從而得出MABC【解析】M為FH的中點是本題的突破口，通過延長過中點的線段構(gòu)造全等三角形。 【變式3】如圖，在ABC中，ABAC，E為BC邊的中點，AD為BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G求證BF=CG【答案】證明如圖，延長FE至點H，使EH=FE，連接CH易證CEHBEFCH=BF，H=1EG/AD，1=2，3=G又2=3，1=GH=G綜上，CH=CGBF=CG【解析】通過構(gòu)造過中點的全等三角形，實現(xiàn)等量線段位置變換，用中間量替換證線段等。 【變式4】已知如圖，在ABC中，A=90，D為BC中點，E為AB上一點，F(xiàn)為AC上一點，EDDF，連接EF，求證線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個直角三角形。 【答案】證明延長FD到G使GD=DF，連接BG，EG，D為BC中點，BD=DC，在BDG和CDF中，BD DCFDCBDGDG DF?，BDGCDF（SAS），BG=FC，C=GBD，EDDF，EG=EF，A=90，ABC+C=90，ABC+GBD=90，即EBG=90，線段BE、BG、EG總能構(gòu)成一個直角三角形。 BG=FC，EG=EF，線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個直角三角形A23G BE DC F1H【解析】延長FD到G使GD=DF，連接BG，EG，證BDGCDF，推出BG=FC，C=GBD，求出EBG=90即可。 【例題2】【題干】如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，求證AE=CG【答案】證明四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，DE=DG，AD=CD，又ADE=EDGADG=90ADG，同理CDG=90ADG，ADE=CDG，在ADE和CDG中，ED GDEDAGDCAD CD?，ADECDG（SAS），AE=CG【解析】ADE可看作CDG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到的，根據(jù)圖形中的兩個正方形，及旋轉(zhuǎn)找全等的條件，可證AE=CG【變式1】如圖，ABE和ACD有公共點A，BAC=DAE=90，AB=AC，AE=AD，延長BE分別交AC、CD于點M、F求證 （1）ABEACD； （2）BFCD【答案】證明 （1）BAC=DAE=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和ACD中，13AE ADABAD?，ABEACD（SAS）； （2）ABEACD，B=C，B+4=90，又4=5，C+5=90，MFC=90，BFCD【解析】 （1）首先根據(jù)同角的余角相等可得1=3，再加上條件AB=AC，AE=AD可利用SAS定理證明ABEACD； （2）根據(jù)ABEACD可得B=C，再根據(jù)B+4=90，4=5，可得C+5=90，進(jìn)而得到MFC=90，即BFCD【變式2】如圖，以ABC的兩邊AB、AC向外作等邊三角形ABE和等邊三角形ACD，連接BD、CE，相交于O （1）試寫出圖中和BD相等的一條線段并說明你的理由； （2）求出BD和CE的夾角大小，若改變ABC的形狀，這個夾角的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？請說明理由【答案】 （1）EC=BD，理由為ABE和ACD都為等邊三角形，EAB=DAC=60，AE=AB，AD=AC，EAB+BAC=DAC+BAC，即EAC=BAD，在AEC和ABD中，AE ABEACBADAC AD?，AECABD（SAS），EC=BD； （2）BD和CE的夾角大小為60，若改變ABC的形狀，這個夾角的度數(shù)不變，理由為ADC為等邊三角形，ADC=ACD=60，AECABD，ACE=ADB，EOD為COD的外角，EOD=ODC+OCD=ODC+ACD+ACE=ODC+ADB+ACD=ADC+ACD=120，即DOC=60，則BD和CE的夾角大小為60【解析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【變式3】已知，如圖，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證BAP+BCP=180。 21ADBCPN21EADBCPN【答案】證明過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，?BP BPPDPE，RtBPERtBPD(HL)，BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中，PE PDPEAPDCAE DC?，RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD，又BAP+PAE=180，BAP+BCP=180【解析】利用對角互補(bǔ)，常用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵【變式4】用兩個全等的正方形ABCD和DCEF拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)探究當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點G，H時，如圖，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論【答案】解BG=EH理由如下正方形ABCD和DCEF全等，CD=DF，BCD=DFE=90即GCD=HFD=90，又KDJ=90，GDC=HDF，在DCG與DFH中，GCD HFDCDDFGDC HDF?，DCGDFH（ASA），CG=FH，BCGC=EFFH，即BG=EH【解析】通過全等三角形DCGDFH的對應(yīng)邊相等證得CG=FH，則易證BG=EH【例題3】【題干】已知如圖，在ABC中，C2B，12。 求證AB=AC+CD.21DABC【答案】解法1（補(bǔ)短法）延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中，12B EADAD?ABDAED（AAS），AB=AE。 又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.21EDABC解法2（截長法）在AB上截取AF=AC，在AFD與ACD中，12AF ACADAD?，AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。 又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB。 AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.【解析】這道題是全等三角形證明中很重要的一類題用截長補(bǔ)短法證明三角形全等。 分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種 （1）通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和（AC+CD），再證所構(gòu)造的線段與求證中的那一條線段相等。 （2）通過添加輔助線，先在求證中長線段上截取與短線段中的一段相等的線段，再證明截剩的部分與短線段中的另一段相等。 【變式1】四邊形ABCD中，BE平分ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，求證ADBC。 ECA DBECFA DB【答案】在AB上取一點F，使BF=BC，連接EF。 在BFE和BCE中，BF BCFBECBEBE BE?，BFEBCE（SAS），EF=EC，又DE=EC，EF=EC=DE。 AB=AD+BC，AB=AF+FB，AF=AD。 在AFE和ADE中，AF ADFEDEAE AE?，AFEADE（SSS），D=AFC。 又BFEBCE，C=BFE。 AFC+BFE=180，D+C=180，ADBC【解析】題中AB=AD+BC的條件是突破口，利用截長法及角平分線定義構(gòu)造全等三角形。 21FDABC【變式2】將矩形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落到點B?的位置，AB?與CD交于點E （1）試找出一個與AED全等的三角形，并加以證明； （2）若83AB DEP?，為線段AC上任意一點，PG AE?于G，PH EC?于H并求PG PH?的值【答案】 （1）AEDCEB。 證明四邊形ABCD為矩形，BC=BC=AD，B=B=D=90，又BEC=DEA，AEDCEB （2）由已知得EAC=CAB且CAB=ECA，EAC=ECA。 AE=EC=8-3=5，在ADE中，AD=4，延長HP交AB于M，則PMAB。 PG=PM，PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。 【解析】通過添加輔助線，利用折疊的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形。 【變式3】已知如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，DEB的平分線EF交BC的延長線于點F，且AB=BF，連接DF求證DE=BE+CF【答案】證明過點F作FNDE于點N，DEB的平分線EF交BC的延長線于點F，F(xiàn)NDE，F(xiàn)BAB，易證FBEFNE，F(xiàn)N=FB，A BC DP GH EB在RtFEN和RtFEB中，F(xiàn)E FEFNFB?，RtFENRtFEB（HL），NE=BE，在RtFDN和RtDFC中，F(xiàn)D DFFNFB?，RtFDNRtDFC（HL），F(xiàn)C=DN，DE=NE+DN=BE+CF【解析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，作出FNDE進(jìn)而利用全等得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵【變式4】已知正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且BAE=2DAM求證AE=BC+CEEMB CAD GEFBMCAD【答案】取BC的中點F，作FGAE于E，連接AF，EF。 在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，B=C=D=90?。 又DM=BF=12ABABFADM（SAS），DAM=BAF。 BAE=2DAM，BAF=GAF，又B=AGF=90?，AF=AF，ABFAGF（AAS），AG=AB=BC，F(xiàn)G=BF=CFEGF=C=90?，EF=EF，EGFECF（HL），GE=CE，AE=AG+GE=BC+CE【解析】首先取BC的中點F，連接AF，過點F作FHAE于H，連接EF，由四邊形ABCD是正方形，M是CD的中點，易證得ABFADM，又由BAE=2DAM，即可得AF是BAE的角平分線，易得AH=AB，BF=HF，又可證得RtCFERtHFE，即可得EH=CE，繼而可證得AE=AB+CE 四、課堂運用【基礎(chǔ)】11如圖RtABC中，BAC=90，AB=AC，D為AC的中點，AEBD交BC于E，若BDE=a，ADB的大小是（）EDCAB GMEDCAB Aa B90a C902a?D45+2a【答案】C【解析】作AMBC于M，AM交BD于G，在AGB和CEA中，GAB=ECA=45，AB=AC，AGB=90+GBM=AECAGBCEA，AG=CE又AD=CD，DAG=DCE，ADGCDE，ADG=CDE，ADG=?11802BDE?=902a?。 2.如圖，已知D為ABC邊BC的中點，DEDF，則BE+CF（）A大于EF B小于EF C等于EF D與EF的大小關(guān)系無法確定【答案】A【解析】延長ED到G使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G，BD=CD，BDE=CDG，可證得BEDCGD，CG=BE，DEDF，DG=ED，EF=FG，在FCG中，F(xiàn)C+CGFG，BE+CFEF3.如圖，在等腰RtABC中，C90，D是斜邊上AB上任一點，AECD于E，BFCD交CD的延長線于F，CHAB于H點，交AE于G求證BDCGG EFHBCAD【答案】證明在RtAEC與RtCFB中，ACCB，AECD于E，BFC交CD的延長線于F，AECCFB90，又ACB90，CAE90ACEBCF。 RtAECRtCFB，CEBF，在RtBFD與RtCEG中，F(xiàn)GEC90，CEBF，由FBD90FDB90CDHECG，RtBFDRtCEG，BDCG【解析】由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證CGEBDF。 由于全等條件不充分，可先證AECCFB。 4.在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上一點，且FAE=EAD，求證EFAE【答案】證明延長AE交BC的延長線于點G四邊形ABCD是正方形，ADCG，D=BCD=DCG，DAE=G。 FAE=EAD，F(xiàn)AE=G，AF=FG，E是DC的中點，DE=EC，AED=GEC，D=ECG=90，ADEGCE（ASA），AE=EG，EFAE【解析】見到中點要倍長過中點的線段，構(gòu)造全等三角形。 5.如圖，在ABC中，ADBC于D，BADCAD。 求證ABAC。 DB CAE DBCA【答案】證明在DB上截取DEDC，連接AE。 ADCADE（SAS）。 ACAE，CAED。 AEDB，CB。 從而ABAC。 【解析】除構(gòu)造全等三角形外，還考察了在三角形中大角對大邊。 66（xx?通州區(qū)一模）如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，求證ABDACE【答案】證明BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，即EAC=DAB，在AEC和ADB中，AD AEDABEACAB AC?，AECADB（SAS）【解析】先求出EAC=DAB，再利用“邊角邊”證明即可【鞏固】1.如圖，在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任意一點。 求證AB AC?PB PC?。 【答案】解法1如圖，在AB上截取AN AC?，連接PN在APN?與APC?中，12AN ACAPAP?，?APN APC?(SAS)，?PN PC?在BPN?中，PB PNBN?，?PB PCAB AC，即ABACPBPC。 解法2如圖，延長AC至M，使AM AB?，連接PM在ABP?與AMP?中，12AB AMAPAP?，?ABP AMP?(SAS)，?PB PM?在PCM?中，CM PMPC?，?AB ACPB PC?。 【解析】欲證AB ACPB PC?，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。 由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段AB AC?。 而構(gòu)造AB AC?可以采用“截長”和“補(bǔ)短”兩種方法。 2.如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180連接AD判斷AD是否平分CDE，并說明理由【答案】AD平分CDE證明AB=AE，ABC+AED=180把ABC旋轉(zhuǎn)BAE的度數(shù)后BC和EC重合，且ABC=AEC，BC=ECABCAEC，AC=AC，又BC+DE=CD，BC=EC，CD=DC，在ACD和ADC中，AC ACADADCD DC?，ACDADC，CDA=ADC，AD平分CDE【解析】要求證AD為CDE的角平分線，可以利用全等三角形證明，這樣就把關(guān)于角的證明轉(zhuǎn)化為線段截長補(bǔ)短的問題，繼而利用題中的已知條件構(gòu)造全等三角形。 3.如圖，BAC=DAE=90，M是BE的中點，AB=AC，AD=AE，求證AMCDMEDCBA FNOHABCDEM【答案】如圖，設(shè)AM交DC于H，要證明AMCD，實際上就是證明AHD=90，而條件BM ME?不好運用，我們可以倍長中線AM到F，連接BF交AD于點N，交CD于點O容易證明AME FMB?，則AEFB?，EAF F?，從而AE FB，90ANF?，而90CAD DAB?，90DAB ABN?，故CAD ABN?，從而CAD ABF?，故D F?，而90D DONFOH F?，故90AHD?，亦即AM CD?【解析】利用M是BE的中點的條件尋找突破口，構(gòu)造全等三角形時解題關(guān)鍵。 【拔高】1.如圖，已知AB=AC，直線m經(jīng)過點A，點D、E是直線m上兩個動點，連接BD、CE （1）如圖1，若BAC=90，BDDE，CEDE求證DE=BD+CE （2）如圖2，若BAC=BDA=AEC，則 （1）中的結(jié)論DE=BD+CE還成立嗎？【答案】解 （1）BAC=90，BAD+CAE=90。 BDAD，BDA=90，BAD+ABD=90，DBA=CAE；CEDE，CEA=90，ADB=CEA在ADB和CEA中，DBA CAEADBCEAAB AC?，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AEDE=DA+AE，DE=BD+CE； （2） （1）中的結(jié)論DE=BD+CE仍然成立理由DAB+BAC+CAE=180，CAE+ACE+AEC=180，DAB+BAC+CAE=CAE+ACE+AECBAC=AEC，DAB=ACE在ADB和CEA中，DAB ECAADBCEAAB AC?，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AEDE=DA+AE，DE=BD+CE；【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵2.閱讀理解課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題如圖1，ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180得到EBD），把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2AE8，則1AD4感悟解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中 （1）問題解決受到 （1）的啟發(fā)，請你證明下面命題如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點，DEDF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF求證BE+CFEF； （2）問題拓展如圖3，在四邊形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【答案】延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG（或把CFD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180得到BGD），CF=BG，DF=DG，DEDF，EF=EG在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF （2）將DCF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120得到DBGC+ABD=180，4=C，4+ABD=180，點E、B、G在同一直線上3=1，BDC=120，EDF=60，1+2=60，故2+3=60，即EDG=60。 EDF=EDG=60，DE=DE，DF=DG，DEGDEF，EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF【解析】按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造BD和CD所在的三角形全等，把CF和BE轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解課程小結(jié)1.倍長過中點線段構(gòu)造全等三角形2.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形3.用“截長補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，在ABC中ADBC，CEAB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是（）A1B2C3D4【答案】A【解析】在ABC中，ADBC，CEAB，AEH=ADB=90；EAH+AHE=90，DHC+BCH=90，EHA=DHC，EAH=DCH；在BCE和HAE中，3BEC HEABCEHAEBE HE?，AEHCEB（AAS）；AE=CE；EH=EB=3，AE=4，CH=CEEH=AEEH=43=12.如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，分別過點B、C作經(jīng)過點A的直線l的垂線BD、CE，垂足分別為D、E，求證DE=BD+CE。 【答案】BAC=90，BDDE，CEDE，BDE=CED=90，ABD+BAD=90，CAE+BAD=90。 CAE=ABD，又AB=AC，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，BD+CE=AD+AE=DE。 【解析】利用全等三角形實現(xiàn)等量線段位置的改變。 3.如圖，ABCF，E為DF的中點，AB=10，CF=6，則BD=ECDBA【答案】4.【解析】ABFC，ADE=EFC，E是DF中點，DE=EF，在ADE與CFE中，ADE EFCDEEFAED CEF?ADECFE，AD=CF，AB=10，CF=6，BD=ABAD=106=44.在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，求證BD=CE。 【答案】1=2，1+CAD=2+CAD，即BAD=CAE，在ABD與ACE中，AB ACBADCAEAD AE?,ABDACE（SAS），BD=CE【解析】這類題目的難點在于，需要將本來就存在于同一個三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個三角形中，看成是一組三角形的對應(yīng)邊。 5.如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結(jié)FC求證FAFEDB CA【答案】證明ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDF，BDECDF，BEDFFA【解析】證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可6.已知如圖，梯形ABCD中，AD BC，點E是CD的中點，BE的延長線與AD的延長線相交于點F求證BCE FDE?DFEC BA【答案】點E是DC中點，DE=CE，又ADBC，F(xiàn)在AD延長線上，DFE=CBE，F(xiàn)DB=BCE，在BCE與FDE