小升初數(shù)學(xué)銜接班——列方程解應(yīng)用題(一).doc

小升初數(shù)學(xué)銜接班列方程解應(yīng)用題（一）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過學(xué)習(xí)用一元一次方程解決濃度問題、工程問題和行程問題等幾種常見問題，掌握列方程解應(yīng)用題的方法和步驟。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)分析題目中的數(shù)量關(guān)系，列代數(shù)式，尋找等量關(guān)系。三、課程精講1、知識回顧我們在小學(xué)階段學(xué)習(xí)過許多數(shù)量關(guān)系：（1）溶液中濃度、溶液、溶質(zhì)的關(guān)系；（2）工程問題中工程量、工作效率、工作時間之間的關(guān)系；（3）行程問題中路程、速度、時間之間的關(guān)系：相遇問題、追及問題、水流問題、過橋問題等。（4）增長率問題（5）年齡問題（6）數(shù)字問題2、新知探秘知識點(diǎn)一 列方程解應(yīng)用題的步驟例1、有兩種不同濃度的鹽水，甲種鹽水的濃度是30%，乙種鹽水的濃度是6%，現(xiàn)在要配成濃度為10%的鹽水60千克，問應(yīng)取這兩種濃度的鹽水各多少千克？思路導(dǎo)航：此題是溶液的混合配制問題，這類問題中有三個等量關(guān)系：混合前后溶液的重量和不變、溶質(zhì)重量和不變及溶劑重量和不變。解答：設(shè)應(yīng)取甲種鹽水千克，那么乙種鹽水應(yīng)取千克，甲種鹽水中含鹽千克，乙種鹽水中含鹽千克，根據(jù)題意，得解方程，得答：甲種濃度鹽水取10千克，乙種濃度鹽水取50千克。點(diǎn)津：濃度問題是列方程解應(yīng)用題的常見類型之一，關(guān)鍵是要找出配制前后溶液中哪些量不發(fā)生變化，從而尋找出等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程求解。從上述例題我們知道，列方程解應(yīng)用題的步驟是（1）審題：弄清題意，確定已知量、未知量及它們的關(guān)系；（2）設(shè)元：選擇適當(dāng)未知數(shù)，用字母表示；（3）列代數(shù)式：根據(jù)條件，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量；（4）列方程：利用列代數(shù)式時未用過的等量關(guān)系，列出方程；（5）解方程：正確運(yùn)用等式的性質(zhì)，求出方程的解；（6）檢驗并答題。仿練、現(xiàn)有兩種酒精溶液，已知甲種酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙種酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克。現(xiàn)在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，問應(yīng)取甲、乙兩種酒精溶液各多少千克？思路導(dǎo)航：與上題一樣屬于溶液混合配制問題。需要先算出甲種、乙種酒精溶液的濃度，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。解答：設(shè)應(yīng)取甲種酒精溶液千克，那么乙種酒精溶液應(yīng)取千克，所取的甲種酒精溶液含酒精千克，所取的乙種酒精溶液含酒精千克，根據(jù)題意，得解方程，得答：甲種酒精溶液應(yīng)取10千克，乙種酒精溶液應(yīng)取4千克。點(diǎn)津：在列方程解應(yīng)用題的步驟中，最重要的是對題目的分析，對列方程不要急于求成。在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個，用字母表示出來，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，將其他幾個未知量用含的代數(shù)式表示出來，再用列代數(shù)式時沒有用到的等量關(guān)系列出方程。知識點(diǎn)二 如何找等量關(guān)系熟悉實際問題中各種量之間的相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。找尋相等關(guān)系的基本方法有：（1）運(yùn)用基本公式找尋相等關(guān)系；（2）從關(guān)鍵詞中找尋相等關(guān)系；（3）運(yùn)用不變量找尋相等關(guān)系；（4）對一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計算兩次），得到相等關(guān)系。例2、一件工作，甲單獨(dú)做需20小時完成，乙單獨(dú)做需12小時完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做4小時，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需幾小時完成？思路導(dǎo)航：此題屬于工程問題，可把總工作量看作1，甲單獨(dú)做4小時的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于總工作量“1”。解答：設(shè)剩下的部分甲、乙合作需小時完成，則甲單獨(dú)做4小時的工作量為，甲、乙合作小時的工作量為，根據(jù)題意，得解方程，得答：剩下的部分甲、乙合作需6小時完成。點(diǎn)津：列方程時，關(guān)鍵在于發(fā)掘題目中的等量關(guān)系。題中所給條件在列方程時不能重復(fù)使用，也不能漏掉不用。重復(fù)利用某一個條件，會得到一個恒等式，卻無法求得應(yīng)用題的解。比如，此題中這樣求解：設(shè)剩下的部分甲、乙合作需小時完成，則甲、乙合作小時的工作量為。因為由兩部分時間共同完成了全部工作量，所以前一段時間里甲單獨(dú)做的工作量為，根據(jù)題意，得顯然，化簡后得到1=1，這個“方程”不能求解。發(fā)生錯誤的原因就是，“前一段時間里甲單獨(dú)做的工作量”是根據(jù)“兩部分時間的工作量之和等于總工作量”，而又根據(jù)這個條件列出了“方程”，這個條件被重復(fù)利用了。仿練、一個水池，有甲、乙、丙三個水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。單開甲管16分鐘可將水池注滿，單開乙管10分鐘可將水池注滿，單開丙管20分鐘可將全池水放完?，F(xiàn)在先開甲、乙兩管，4分鐘后關(guān)上甲管開丙管，問：又經(jīng)過幾分鐘后才能將水池注滿?思路導(dǎo)航：由題意知甲、乙、丙管的工作效率分別為，相等關(guān)系是：甲工作量+乙工作量+丙工作量=全部工作量，只不過丙管是來“搗亂”的。解答：設(shè)又經(jīng)過分鐘才能將水池注滿，則甲管在前4分鐘的工作量為，乙管在前4分鐘的工作量為，乙管在后分鐘中的工作量為，丙管在后分鐘中的工作量為，依題意得方程：解得答：又經(jīng)過7分鐘后才能將水池注滿。知識點(diǎn)三 直接設(shè)元與間接設(shè)元例3、甲乙兩站之間的路程為，一列慢車從甲站開往乙站，慢車走了1.5小時后，另有一列快車從乙站開往甲站，已知慢車每小時走，快車每小時走，問兩車各走多少小時后相遇?思路導(dǎo)航1：本題屬于行程問題中相向而行的相遇問題。為了弄清題目中各數(shù)量之間的關(guān)系，經(jīng)常需要畫圖或列表。如圖可知，慢車和快車行走的路程之和等于甲乙兩站之間的總路程。解答1：設(shè)快車走了小時后與慢車相遇，那么快車走的路程為千米，慢車走的路程是1.5小時走的路程加上小時走的路程，即千米，相遇時兩車所走的路程之和為354千米，由此可得方程：解得：x=2.5 所以慢車走的時間是 （小時）答：慢車走了4小時，快車走了小時后兩車相遇。思路導(dǎo)航2：也可以設(shè)慢車走的時間為小時。解答2：設(shè)慢車走了小時后與快車相遇.那么快車在相遇時所用的時間為小時，它們各自走的路程為：快車千米，慢車千米，依題意可列方程為：解得：所以快車走的時間為（小時）答：慢車走了4小時，快車走了2.5小時后兩車相遇。思路導(dǎo)航3：以上兩種解法是采用了直接設(shè)未知數(shù)的方法，下面我們可以采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，將快車走的路程設(shè)為未知數(shù)，然后通過慢車和快車同時走的時間相等，即圖中同色部分，列方程求解。解法3：設(shè)兩車相遇時快車走的路程為千米，那么快車所用的時間為小時，慢車從1.5小時后到相遇時所用的時間為小時，由這兩段路程相遇時所用的時間相等，可以依題意列出方程為：解得：相遇時快車用的時間為：（小時）慢車所用的時間：（小時）答：慢車走了4小時，快車走了2.5小時后兩車相遇。思路導(dǎo)航4：采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，也可以將慢車走的路程設(shè)為未知數(shù)，然后通過慢車和快車同時走的時間相等，即圖中同色部分，列方程求解。解法4：設(shè)慢車從開出到相遇所走的路程為千米，那么慢車從1.5小時后到相遇時所用的時間為小時，而快車自開出到相遇時所用的時間為小時，依題意，以上2個時間相等，可列出方程：解得：慢車走的時間是小時快車走的時間為：小時答：慢車走了4小時，快車走了2.5小時后兩車相遇。點(diǎn)津：一般題目問什么，就設(shè)什么為，這稱為直接設(shè)元。但這不是絕對的，有時直接設(shè)元后不利于列代數(shù)式和列方程，我們也可以設(shè)其他未知數(shù)為，這稱為間接設(shè)元。到底如何設(shè)元，要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系決定，怎樣設(shè)元方便就怎樣設(shè)。但是如果選擇間接設(shè)元，那么解出方程后還要換算出題目所求的量。仿練、甲、乙、丙三人，甲每小時走公里，乙每小時走公里，丙每小時走公里，若甲、乙兩人在A地，丙在B地，三人同時出發(fā)，甲、乙與丙相向而行，丙在遇到乙后3分鐘才遇到甲。求A、B兩地的距離？思路導(dǎo)航1：此題屬于行程問題中的相遇問題，而且此題中有兩個相遇問題，它們的相遇時間差3分鐘。解答1：設(shè)A、B兩地的距離為公里，則丙與乙的相遇時間為小時，丙與甲的相遇時間為小時，根據(jù)題意，得解這個方程，得答：A、B兩地相距32.4公里。思路導(dǎo)航2：也可以間接設(shè)元，設(shè)丙與乙的相遇時間為小時，則可以表示出丙與甲的相遇時間，及各自的相遇路程，再根據(jù)相遇路程相等來列方程。解答2：設(shè)丙、乙的相遇時間為小時，則丙、甲的相遇時間為小時，相遇路程分別是公里、公里，根據(jù)題意，得解這個方程，得答：A、B兩地相距32.4公里。點(diǎn)津：此題要注意單位的統(tǒng)一。四、知識提煉導(dǎo)圖五、目標(biāo)期望通過本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們掌握列方程解應(yīng)用題的步驟，重點(diǎn)要學(xué)會分析題目中的數(shù)量關(guān)系，會選擇直接設(shè)元還是間接設(shè)元，會用設(shè)出的未知數(shù)來表示其他的未知量，再抓住題目中的等量關(guān)系列出方程。六、下講預(yù)告在下一講的學(xué)習(xí)中，我們除了繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固列方程解應(yīng)用題的方法步驟外，還要學(xué)習(xí)用方程解其他類型的應(yīng)用題，比如流水問題、年齡問題、數(shù)字問題等。通過對這些題型的分析講解，要教會大家分析比較復(fù)雜的題目中的數(shù)量關(guān)系，要教會大家如何檢查自己列出的方程是否正確。【同步練習(xí)】（答題時間：45分鐘）1、火眼金睛：（1）甲、乙兩人環(huán)湖競走，環(huán)湖一周400米，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的速度的倍，且甲在乙前100米，多少分鐘后，兩人第一次相遇。設(shè)經(jīng)過分鐘兩人第一次相遇，所列方程為（ ）A.B.C. D. （2）一列火車勻速前進(jìn)，從它進(jìn)入300米長的隧道到完全通過一共用20秒鐘，又知隧道頂部一盞固定的燈光垂直照射火車10秒鐘，求這列火車的長度和速度。在這個問題中路程和時間的關(guān)系是（ ）A. 火車走300米路程用20秒B. 火車走的路程等于隧道長與車身長的差，用了10秒C. 火車走的路程等于隧道長與車身長的和，用了20秒D. 以上都不對（3）有含鹽30%的鹽水240千克，要將鹽水稀釋成1.5%，需加水（ ）千克A. 4800B. 4560C. 5040D. 4680（4）某件工程，甲單獨(dú)做要用15小時完成，乙單獨(dú)做要用12小時完成。若甲先做1小時，乙又單獨(dú)做4小時，剩下的工作兩人合作，再用幾小時可全部完成任務(wù)？設(shè)兩人合作再用小時可完成任務(wù)，則下列方程中正確的個數(shù)是（ ）；。A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個（5）一隊學(xué)生從學(xué)校步行前往工廠參觀，速度為每小時5千米，當(dāng)走了1小時后，一名學(xué)生回學(xué)校取東西，他以每小時7.5千米的速度回學(xué)校，取了東西后立即以同樣的速度追趕隊伍，結(jié)果在離工廠2.5千米處追上隊伍，求學(xué)校到工廠的路程（取東西的時間忽略不計）。若設(shè)學(xué)校到工廠的距離為千米，列出的方程是（ ）A. B. C. D. 2、對號入座：（1）一件工程甲隊獨(dú)做需8天完成，乙隊獨(dú)做需9天。甲做三天后，乙來支援，甲，乙合作做天，一共完成了任務(wù)的，由此條件列出的方程是_；（2）若取濃度為15%的酒精溶液_克與濃度為35%的酒精溶液_克混合，則可配成濃度為20%的酒精溶液100克；（3）某人從家里去上班，每小時行5千米，下班按原路返回時，每小時行4千米，結(jié)果下班返回比上班多花10分鐘，設(shè)上班所用時間為小時，可列方程為_；（4）一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，順風(fēng)要2小時45分鐘，逆風(fēng)要3小時，已知風(fēng)速是20千米/時，則兩城市間距離為_千米。3、牛刀小試：（1）從家里騎摩托車去火車站，如果每小時走30千米，那么比開車時間早到15分鐘，如果每小時走18千米，那么比開車時間遲到15分鐘，現(xiàn)在打算比開車時間早10分鐘到達(dá)火車站，那么摩托車的速度應(yīng)該是多少？（2）一項工作由A單獨(dú)做要40天完成，由B單獨(dú)做要50天完成。現(xiàn)在由A先做，工作了若干天后，因A有事離去，由B繼續(xù)做，共用了46天完成。問A、B各做了多少天？（3）甲種鹽水濃度為乙種鹽水濃度的2倍，若甲種鹽水取120克，乙種鹽水取240克，混合后加水40克，測得濃度是12%，問甲、乙兩種鹽水的濃度各是多少？【試題答案】1、火眼金睛：（1）B 甲在乙的前面，好像是乙追甲，實際上甲的速度比乙的速度快，因此是甲追乙，追及距離是米。當(dāng)兩人第一次相遇時，甲的路程比乙的路程多300米。（2）C “從它進(jìn)入300米長的隧道到完全通過”是指車頭剛進(jìn)入隧道開始，到車尾離開隧道截止，一共前進(jìn)的路程是隧道長與車身長的和；在“隧道頂部一盞固定的燈光垂直照射列車”的時間內(nèi)列車前進(jìn)的路程就是車身長。（3）B 設(shè)需加水千克，則，解得。（4）D 方程表示甲1小時的工作量、乙4小時的工作量、甲小時的工作量以及乙小時的工作量的和等于總工作量“1”；方程表示乙小時的工作量與甲小時的工作量的和等于總工作量“1”；方程表示總工作量“1”與甲小時工作量的差等于乙小時的工作量；方程表示甲1小時的工作量、乙4小時的工作量及甲乙合作小時的工作量的和等于總工作量“1”。（5）C 一方面，用隊伍的速度計算，從出發(fā)到這名學(xué)生追上隊伍所用時間為小時；另一方面，用這名學(xué)生的速度計算，這段時間還等于剛開始的1小時+返回用的小時+去追隊伍的小時。2、對號入座：（1） 甲做三天的工作量為，甲乙合作天的工作量為，兩部分工作量的和等于。（2）75，25 設(shè)需取濃度為15%的酒精溶液克，則需取濃度為35%的酒精溶液克，根據(jù)