高等數(shù)學(xué)中值定理的題型與解題方法.doc

精品文檔高等數(shù)學(xué)中值定理的題型與解題方法高數(shù)中值定理包含：1.羅爾中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 還有經(jīng)常用到的泰勒展開式(taylor), 其中，一定是開區(qū)間.全國考研的學(xué)生都害怕中值定理，看到題目的求解過程看得懂，但是自己不會(huì)做，這里往往是在構(gòu)造函數(shù)不會(huì)處理，這里給總結(jié)一下中值定理所涵蓋的題型，保證拿到題目就會(huì)做。題型一：證明： 基本思路，首先考慮的就是羅爾定理(rolle)，還要考慮極值的問題。例1. 在可導(dǎo)，證明：存在，使得.分析：由，容易想到零點(diǎn)定理。證明：，存在，使得， 又，同號(hào)，存在，使得，所以根據(jù)羅爾中值定理：存在，使得.例2. 在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得證明：（1），在使得上有最大值和最小值， 根據(jù)介值性定理，即存在，使得，（2），所以根據(jù)羅爾中值定理：存在，使得.例3. 在三階可導(dǎo)，證明：存在，使得證明：（1），存在，使得，（2），所以，存在，使得，（3），所以，存在，使得，例3. 在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得證明：，存在，使得，又在內(nèi)可導(dǎo)，存在，使得題型二：證明：含，無其它字母基本思路，有三種方法：（1）還原法。能夠化成這種形式例1. 在可導(dǎo)，證明：存在，使得.分析：由， 證明：令 ，存在，使得，而存在，使得例2. 在可導(dǎo)，證明：存在，使得.分析：由， 證明：令 ，存在，使得，而即存在，使得例3. 在上二階可導(dǎo)，證明：存在，使得.分析：由， 證明：令 ，使得，所以，又因?yàn)橛闪_爾定理知，存在，使得.記： （2）分組構(gòu)造法。 （還原法行不通）例1. ，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得，存在，使得. 證明： 令 ，使得，即 （分析） 令 ，存在，使得.題型三：證明：含.分幾種情形：情形1：結(jié)論中只有例1. ，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得，存在，使得. 證明： 令 ， 使得 ,使得，所以存在，使得例2. ，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得，存在，使得. 證明： 令 ，使得,使得， ，所以存在，使得情形2：結(jié)論中含有，但是兩者復(fù)雜度不同。例1. ，在內(nèi)可導(dǎo)證明：存在，使得. 證明： 令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得證。例2. ，在內(nèi)可導(dǎo) 證明：存在，使得. 證明： 令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得證。例3. ，在內(nèi)可導(dǎo), 證明：存在，使得. (分析：“留復(fù)雜”)證明： 令 ，由拉格朗日中值定理使得，即.題型四：證明：拉格朗日中值定理的兩慣性思維。 可導(dǎo) 見到3點(diǎn)兩次使用拉格朗日中值定理。例1. ，且則 解：， . 又因?yàn)槔?. ，且，則的大小關(guān)系。解：由拉格朗日中值定理知， 單調(diào)遞增又又因?yàn)槔?. 在內(nèi)可導(dǎo)，且，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。證明：證明：1）因?yàn)樵趦?nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以2）下邊用兩次拉格朗日中值定理， 所以 ， ，例4. 在內(nèi)二階可導(dǎo)，有一條曲線，如圖證明：，使得證明：1）使得因?yàn)楣簿€，所以，所以由羅爾定理知，使得題型五：Taylor公式的常規(guī)證明。例1. ，證明：存在，使得. （題外分析：考慮什么時(shí)候該用泰勒公式什么時(shí)候不用！時(shí)考慮，但是為題型一，考慮羅爾定理時(shí)比較尷尬，有時(shí)候用拉格朗日中值定理，有時(shí)候不用，該怎么考慮呢，分情況：）證明： ，兩個(gè)式子相減得：，在上有，則，所以根據(jù)介值定理得：存在，使得例2. ，在二階可導(dǎo)，證明：存在，使