高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教B版選修22.ppt

2 3數(shù)學(xué)歸納法 1 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單命題 2 理解數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的作用 進一步規(guī)范書寫的語言結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)歸納法一個與自然數(shù)相關(guān)的命題 如果 1 當(dāng)n取第一個值n0時命題成立 2 在假設(shè)當(dāng)n k k n 且k n0 時命題成立的前提下 推出當(dāng)n k 1時命題也成立 那么可以斷定 這個命題對n取第一個值后面的所有正整數(shù)成立 名師點撥數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法 它是一種完全歸納法 是對不完全歸納法的完善 證明分兩步 其中第一步是命題成立的基礎(chǔ) 稱為 歸納奠基 第二步解決的是延續(xù)性問題 又稱 歸納遞推 運用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題時應(yīng)注意以下幾點 1 兩個步驟缺一不可 2 在第一步中 n的初始值不一定從1取起 也不一定只取一個數(shù) 有時需取n n0 n0 1等 證明應(yīng)視具體情況而定 3 在第二步中 證明n k 1時命題成立 必須使用歸納假設(shè) 否則就會打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系 造成推理無效 4 證明n k 1時命題成立 要明確求證的目標(biāo)形式 一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式 以便使用歸納假設(shè) 然后再去湊出當(dāng)n k 1時的結(jié)論 這樣就能有效減少論證的盲目性 故當(dāng)n k 1時 不等式成立 上述證法 a 過程全部正確b n 1時驗證不正確c 歸納假設(shè)不正確d 從n k到n k 1的推理不正確 解析 因為從n k到n k 1的證明過程中沒有用到歸納假設(shè) 所以從n k到n k 1的推理不正確 答案 d 1 2 1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時有哪些注意事項 剖析 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題的關(guān)鍵在第二步 即n k 1時命題為什么成立 n k 1時命題成立是利用假設(shè)n k時命題成立 根據(jù)有關(guān)的定理 定義 公式 性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出來的 而不是直接代入 否則n k 1時命題成立也成假設(shè)了 命題并沒有得到證明 2 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題 但并不是所有的正整數(shù)問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明 學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析 1 2 2 運用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤有哪些 剖析 1 對項數(shù)估算的錯誤 特別是尋找n k與n k 1的關(guān)系時 項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯 2 沒有利用歸納假設(shè) 歸納假設(shè)是必須要用的 假設(shè)是起橋梁作用的 橋梁斷了就通不過去了 3 關(guān)鍵步驟含糊不清 假設(shè)n k時結(jié)論成立 利用此假設(shè)證明n k 1時結(jié)論也成立 是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步 也是證明問題中最重要的環(huán)節(jié) 要把推導(dǎo)的過程和步驟寫完整 注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性 規(guī)范性 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 分析 左邊式子的特點為 各項分母依次為1 2 3 2n 右邊式子的特點為 分母由n 1開始 依次增大1 一直到2n 共n項 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時 往往通過拼湊項或拆項用上歸納假設(shè) 再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法證得n k 1時命題成立 題型一 題型二 題型三 題型四 歸納 猜想 證明 例題3 某數(shù)列的第一項為1 并且對所有的自然數(shù)n 2 數(shù)列的前n項之積為n2 1 寫出這個數(shù)列的前五項 2 寫出這個數(shù)列的通項公式并加以證明 分析 根據(jù)數(shù)列前五項寫出這個數(shù)列的通項公式 要注意觀察數(shù)列中各項與其序號變化的關(guān)系 歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律 同時還要特別注意第一項與其他各項的差異 必要時可分段表示 證明這個數(shù)列的通項公式可用數(shù)學(xué)歸納法 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思先計算出一個數(shù)列的前幾項 用不完全歸納法猜想得到通項公式 再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明 這是解數(shù)列問題的常見思路 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析 易錯點 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時兩步缺一不可 且在證明由n k到n k 1命題成立時必須用上歸納假設(shè) 否則證明過程就是錯誤的 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 5 1用數(shù)學(xué)歸納法證明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 從 n k到n k 1 左端需增乘的代數(shù)式為 a 2k 1b 2 2k 1 解析 n k時 左邊 k 1 k 2 k k 而n k 1時 左邊 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k k 2k 1 答案 b 1 2 3 4 5 2平面內(nèi)原有k條直線 它們的交點個數(shù)記為f k 則增加一條直線后 它們的交點個數(shù)最多為 a f k kb f k 1c f k k 1d kf k 解析 第 k 1 條直線與原來的k條直線相交 最多有k個交點