河南省通許縣麗星中學高中數(shù)學 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 新人教A版選修22.ppt

1 4生活中的優(yōu)化問題舉例 知識回顧 一 如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 f x 為增函數(shù) f x 為減函數(shù) 二 如何求函數(shù)的極值與最值 知識背景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為優(yōu)化問題 通過前面的學習 我們知道 導數(shù)是求函數(shù)最大 小 值的有力工具 本節(jié)我們運用導數(shù) 解決一些生活中的優(yōu)化問題 例1 海報版面尺寸的設計學校或班級舉行活動 通常需要張貼海報進行宣傳 現(xiàn)讓你設計一張如圖3 4 1所示的豎向張貼的海報 要求版心面積為128dm2 上 下兩邊各空2dm 左 右兩邊各空1dm 如何設計海報的尺寸 才能使四周空白面積最小 圖3 4 1 因此 x 16是函數(shù)s x 的極小值 也是最小值點 所以 當版心高為16dm 寬為8dm時 能使四周空白面積最小 解法二 由解法 一 得 問題2 飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎 你是否注意過 市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些 你想從數(shù)學上知道它的道理嗎 是不是飲料瓶越大 飲料公司的利潤越大 例2 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品 若它們的價格如下表所示 則 1 對消費者而言 選擇哪一種更合算呢 2 對制造商而言 哪一種的利潤更大 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半徑 單位是厘米 已知每出售1ml的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm 瓶子半徑多大時 能使每瓶飲料的利潤最大 瓶子半徑多大時 每瓶飲料的利潤最小 減函數(shù) 增函數(shù) 1 07p 每瓶飲料的利潤 背景知識 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤是 當半徑r 時 f r 0它表示f r 單調(diào)遞增 即半徑越大 利潤越高 當半徑r 時 f r 0它表示f r 單調(diào)遞減 即半徑越大 利潤越低 1 半徑為 cm時 利潤最小 這時 表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本 此時利潤是負值 半徑為 cm時 利潤最大 1 當半徑為2cm時 利潤最小 這時f 2 0 2 當半徑為6cm時 利潤最大 從圖中可以看出 從圖中 你還能看出什么嗎 問題3 磁盤的最大存儲量問題 1 你知道計算機是如何存儲 檢索信息的嗎 2 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎 3 如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息 例3 現(xiàn)有一張半徑為r的磁盤 它的存儲區(qū)是半徑介于r與r的環(huán)行區(qū)域 是不是r越小 磁盤的存儲量越大 2 r為多少時 磁盤具有最大存儲量 最外面的磁道不存儲任何信息 解 存儲量 磁道數(shù) 每磁道的比特數(shù) 設存儲區(qū)的半徑介于r與r之間 由于磁道之間的寬度必須大于m 且最外面的磁道不存儲人何信息 所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數(shù)相同 為獲得最大的存儲量 最內(nèi)一條磁道必須裝滿 即每條磁道上的比特數(shù)可達到所以 磁道總存儲量 1 它是一個關(guān)于r的二次函數(shù) 從函數(shù)的解析式上可以判斷 不是r越小 磁盤的存儲量越大 2 為求的最大值 計算 令 解得 因此 當時 磁道具有最大的存儲量 最大存儲量為 由上述例子 我們不難發(fā)現(xiàn) 解決優(yōu)化問題的基本思路是 優(yōu)化問題 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程 解 設箱底邊長為x 則箱高h 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當x過小 接近0 或過大 接近60 時 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當x 40cm時 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 練習1 在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形 再把它的邊沿虛線折起 如圖 做成一個無蓋的方底箱子 箱底邊長為多少時 箱子的容積最大 最大容積是多少 解 設箱底邊長為x 則箱高h 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當x過小 接近0 或過大 接近60 時 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當x 40cm時 箱子容積最大 最大容積16000cm3 練習 練習2 某種圓柱形的飲料罐的容積一定時 如何確定它的高與底半徑 使得所用材料最省 r h 解設圓柱的高為h 底面半徑為r 則表面積為s r 2 rh 2 r2 又v r2h 定值 即h 2r 可以判斷s r 只有一個極值點 且是最小值點 答罐高與底的直徑相等時 所用材料最省 解 設b x 0 0 x