二項(xiàng)式定理__習(xí)題精選 (2)

一、 選擇題：1.的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）A. B. C. D. 2.在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）A.第n項(xiàng) B. 第n+1項(xiàng) C. 第n，n+1項(xiàng) D第n+1，n+2項(xiàng) .3. 的展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A.10 B. 20 C. 30 D.1204. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A.31 B. 11 C. 31 D. 115. 展開式中，除項(xiàng)的系數(shù)外其它系數(shù)之和為（ ）A.1 B.0 C.1 D. 26.化簡(jiǎn)：等于（ ） A. B. C. D. 7. 在的展開式中，含的正整數(shù)次冪的項(xiàng)有（ ）A.2項(xiàng) B. 3項(xiàng) C. 4項(xiàng) D.5項(xiàng)8.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）A.20 B.20 C.15 D.159. 的展開式中的系數(shù)是（ ）A.4 B.4 C.2 D.210. 的展開式中的系數(shù)是（ ）A. 101 B. 141 C.139 D.99二、填空題：14. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是_15.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)n等于_三、解答題：17.在的展開式中，（1）求所有二項(xiàng)式系數(shù)之和及偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（2）求各項(xiàng)系數(shù)和；（3）求各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和； 18.若一、與通項(xiàng)有關(guān)的一些問題 1在的展開式中，指出：1）第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，2）第4項(xiàng)的系數(shù)， 3）求常數(shù)項(xiàng) 2若的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).31）求的常數(shù)項(xiàng)；2）求(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù). 4(a+b+c)10的展開式中，含a5b3c2的系數(shù)為_. 7的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng). 分析:展開式中項(xiàng)的系數(shù)不同于二項(xiàng)式系數(shù)，只能用數(shù)列的分析方法. 設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大， 則 解得:， r=7，且此時(shí)上式兩個(gè)等號(hào)都不能取得， 因而第8項(xiàng)系數(shù)最大. 例2、 已知 的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于512，試求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)。解：由題意得 n=10二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 （1）n=10，二項(xiàng)展開式共11項(xiàng)二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大又 所求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 （2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值 最大，則有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大 所求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為 （3）由通項(xiàng)公式的特征可知，系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)內(nèi)，即在r取偶數(shù)的各項(xiàng)內(nèi)又r取偶數(shù)0，2，4，6，8，10時(shí)，相應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)分別為 ， ， ， ， 即分別為1， ， ， ， 由此可知，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)(r=4)，即 點(diǎn)評(píng)：（1）解決二項(xiàng)式問題要注意區(qū)分兩種系數(shù)：一種是某一項(xiàng)的系數(shù)，按通常的多項(xiàng)式系數(shù)去理解、認(rèn)定；一種是某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，僅指這一項(xiàng)中所含的那個(gè)組合數(shù)。二者在特殊情況下方為同一數(shù)值。（2）這里 展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)，實(shí)際上是 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，必要時(shí)可適時(shí)轉(zhuǎn)化。（3）本題解法“一題兩制”：對(duì)于（2），我們運(yùn)用一般方法進(jìn)行推導(dǎo)；對(duì)于（3），我們運(yùn)用認(rèn)知、列舉、比較的方法導(dǎo)出目標(biāo)。當(dāng)指數(shù)n數(shù)值較小時(shí)，（3）的解法頗為實(shí)用。例7、 試求下列二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)：（1） 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；（2） 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；（4） 的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)；（5） 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；解：（1）借助“配方轉(zhuǎn)化”：原式 原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)，即 展開式中 項(xiàng)的系數(shù)又 展開式的通項(xiàng)公式為 令 得r=3 展開式中 所求原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為-960；（2）注意到 的冪指數(shù)3較小，借助“局部展開”：原式 展開式中 的系數(shù)為 =-590（4）解法一（兩次利用二項(xiàng)式定理）： 設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)為含有x的項(xiàng)，又 要使x的冪指數(shù)為1，必須且只需r=1即 而 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ，故得原展開式中x的系數(shù)為 解法二（利用求解組合應(yīng)用題的思路）：注意到 欲求 展開式中x的一次項(xiàng)，只要從上式右邊5個(gè)因式中有1個(gè)因式取3x，其余四個(gè)因式都取常數(shù)2即可。 原展開式中x的一次項(xiàng)為 所求原展開式中x的系數(shù)為240；（5）解法一（兩次利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式）：注意到 其展開式的通項(xiàng) 又 的展開式的通項(xiàng) 依題意 ， 由此解得 ， ， 由、得所求展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為 解法二（利用因式分解轉(zhuǎn)化）： 所求即為 展開式中 的系數(shù)，于是利用“局部展開”可得其展開式中 的系數(shù)為 =-168五、高考真題（一）選擇題1.（2005全國卷 III ）在 的展開式中 的系數(shù)是（ ）A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：對(duì)于多項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的總數(shù)的尋求，“化整為零”為基本方法之一， ，又 的展開式中 的系數(shù)為 ， 的系數(shù)為 原展開式中 的系數(shù)為 ，應(yīng)選B。2.（2005江蘇卷）設(shè)k=1，2，3，4，5，則 的展開式中 的系數(shù)不可能是（ ）A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式： 當(dāng)k=1時(shí)，r=4， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=2時(shí)，r=3， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=3時(shí)，r=2， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=4時(shí)，r=1， 的系數(shù)為 。 綜上可知應(yīng)選C。4.（2005重慶）若 展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)與含 項(xiàng)的系數(shù)之比為-5，則n等于（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：設(shè)第r+1項(xiàng)是含 的項(xiàng)，又 這一項(xiàng)的系數(shù)為 ，且 再設(shè)第s+1項(xiàng)是含 的項(xiàng)，則 這一項(xiàng)的系數(shù)為 ，且 由、得 ，故 又由、得 化簡(jiǎn)得 于是由、解得 n=6，r=4，故選B。5.（2005山東卷）如果 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中 的系數(shù)是（ ）A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：設(shè) ，則 由已知得 ，解得n=7 令 得r=6. ，故所求系數(shù)