數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用.doc

目錄數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用21.前言22.研究背景及研究意義32.1 不等式研究背景32.2 研究意義43.高等數(shù)學(xué)常用不等式舉例介紹53.1柯西不等式53.2拉格朗日中值定理53.3均值不等式84.數(shù)學(xué)中不等式的中的應(yīng)用94.1 構(gòu)造條件不等式對命題進(jìn)行證明94.2 利用微分中值定理進(jìn)行不等式命題的證明125.總結(jié)15參考文獻(xiàn)17數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用1.前言正所謂“問渠那得清如許。為有源頭活水來”?；仡櫸覈▏?0年的發(fā)展歷程，我國堅持把國民教育在經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展中優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略地位，并制定了優(yōu)先發(fā)展教育和“科教興國”的重大戰(zhàn)略決策，促進(jìn)教育的改革和發(fā)展。我國教育改革始終堅持黨對教育的領(lǐng)導(dǎo)和政府對教育的統(tǒng)籌，切實(shí)保證“科教興國”戰(zhàn)略和教育優(yōu)先發(fā)展地位的落實(shí)。在教育改革中義務(wù)教育是提高國民素質(zhì)和發(fā)展教育事業(yè)的基礎(chǔ)，是社會主義現(xiàn)代化建設(shè)的奠基工程，涉及廣大人民群眾的根本利益。沒有一個好的底子，就不能決定以后的參天大樹枝葉是否會繁密。中央確定把基礎(chǔ)教育作為整個教育工作的重點(diǎn)，把“兩基”作為當(dāng)代教育發(fā)展的“重中之重”，這是我國教育發(fā)展的一個重要指導(dǎo)思想，是貫徹科教興國戰(zhàn)略的重大措施。自2008年秋季起國家在全國范圍實(shí)施了義務(wù)教育，使許多貧困家庭的孩子都能夠享受接受教育的權(quán)利?；仡櫄v史我們可以看到，從提出“兩基”，到逐步明確“兩基”目標(biāo)和具體規(guī)劃，是黨和國家根據(jù)社會主義經(jīng)濟(jì)、政治和社會發(fā)展的客觀需要，多年醞釀，逐步成熟，并適時做出的慎重決策。作為大學(xué)生的我們有責(zé)任也有義務(wù)為國家教育事業(yè)的發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)，將我們學(xué)習(xí)到的知識應(yīng)用到教育中去，而中學(xué)教育就是一個很好的切入點(diǎn)。隨著知識經(jīng)濟(jì)時代的到來，教育迎來了新的挑戰(zhàn)，國家開始注重創(chuàng)新教育，指出教育要把傳授基礎(chǔ)知識和逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維結(jié)合起來，創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造動機(jī)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，為國家培養(yǎng)出適應(yīng)新世紀(jì)發(fā)展的一代新人。不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要部分。不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界和日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反映了事物在量上的區(qū)別，是研究數(shù)量關(guān)系和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備知識。此外，不等式在高中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)知識。2.研究背景及研究意義2.1 不等式研究背景繼義務(wù)教育階段課程改革的全面推進(jìn)，我國高校規(guī)定了高校數(shù)學(xué)教學(xué)的課程目標(biāo)設(shè)置大綱。目前，高校數(shù)學(xué)課程改革己經(jīng)得到了普遍實(shí)施和開展，我們知道，新課程改革的核心環(huán)節(jié)是課程實(shí)施，而課程實(shí)施的基本方式是教學(xué)，那么如何將新課程的理念和構(gòu)想落實(shí)到實(shí)處，這是需要通過實(shí)際的課堂教學(xué)來完成的。高校數(shù)學(xué)課程改革對教學(xué)提出了以下新的要求：數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生為本，以學(xué)生的發(fā)展為本，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況和興趣愛好來合理地選擇課程和制定學(xué)習(xí)計劃；高校數(shù)學(xué)教學(xué)要打好學(xué)生的知識基礎(chǔ)，注重發(fā)展能力；高校數(shù)學(xué)教學(xué)要注重聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識；高校數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成；數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)改善教與學(xué)的方式，使高校學(xué)生主動地學(xué)習(xí)。不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容有密切的聯(lián)系，體現(xiàn)出了“工具”的作用。如研究函數(shù)的定義域時常用到分式的分母不為零、偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)的真數(shù)大于0等不等關(guān)系；求函數(shù)定義域、值域（最值）、單調(diào)性；討論方程根與系數(shù)的關(guān)系；數(shù)列的項(xiàng)的最值與前n項(xiàng)和的最值；討論方程與方程組的解的情況，在一元二次求根公式的教學(xué)中，用判別式的符號判斷方程的根的存在情況；求空間線線、線面、面面間的距離及夾角的范圍；概率的范圍等等?？梢钥闯?，不等式與集合、充要條件、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、實(shí)際問題都有知識交匯處，在相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。在不等式學(xué)習(xí)過程中，可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想及素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想不僅在學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中起著橋梁作用，在將基礎(chǔ)知識轉(zhuǎn)化為能力和技能的過程中也發(fā)揮著重要作用，它是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識和形成好的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)的關(guān)鍵所在。不等式的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容涉及到數(shù)形結(jié)合、分類轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。例如：通過圖象解法滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸等數(shù)學(xué)思想，能夠培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)簡約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)，進(jìn)而滲透抽象與具體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化等辯證唯物主義的觀點(diǎn)和方法；二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，揭示出了不等式的幾何意義，使學(xué)生對不等式的認(rèn)識有了質(zhì)的飛躍，同時，極有利于發(fā)展學(xué)生對集合思想，數(shù)形結(jié)合思想在思維層面上的提升，進(jìn)一步促使學(xué)習(xí)者在思維的深層面上主動完成對函數(shù)、方程、不等式形成有機(jī)的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建；線性規(guī)劃問題開拓了不等式的實(shí)際運(yùn)用的領(lǐng)域。本文希望通過對高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)進(jìn)行研究，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)教育理論，針對不等式各部分教學(xué)內(nèi)容和知識點(diǎn)提出有效的教學(xué)策略，改進(jìn)不等式課堂教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效果，對進(jìn)行高中不等式教學(xué)的教師提供一定的參考作用。使得通過不等式基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。2.2 研究意義教學(xué)策略是當(dāng)前教學(xué)研究的一個重要問題，它無論是對教學(xué)理論研究的深化，還是對教學(xué)實(shí)踐的變革都有重要價值。教學(xué)策略可以幫助我們從整體上綜合地認(rèn)識和探討教學(xué)過程中各種因素間的相互作用，有利于從動態(tài)上把握教學(xué)過程的本質(zhì)和規(guī)律。不等式教學(xué)策略的研究，有助于促進(jìn)不等式教學(xué)法的豐富與發(fā)展，有助于教師理論與實(shí)踐相結(jié)合，使教師形成自己的教學(xué)風(fēng)格。教學(xué)策略既是教學(xué)過程理論體系的具體化，又是建立在教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的，既具體、明了、可操作性強(qiáng)，又具有概括、完整和系統(tǒng)性，便于理解和掌握，有利于提高教學(xué)質(zhì)量。以期改進(jìn)不等式課堂教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效果，對進(jìn)行高中不等式教學(xué)的教師提供一定的參考作用，減少不等式教學(xué)中的困惑。使得通過不等式基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。3.高等數(shù)學(xué)常用不等式舉例介紹3.1柯西不等式柯西不等式是由法國大數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分流中的“流數(shù)”時得到的但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz 不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，比如在證明不等式、求函數(shù)最值及變量取值范圍、方程與等式、幾何等方面然而，目前柯西不等式的研究主要集中于高等數(shù)學(xué)及其解法應(yīng)用研究作為其中著名不等式之一，理應(yīng)跟中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)緊密聯(lián)系在一起，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提供教育素材可喜地是隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，2003 年 4 月教育部制定了普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)），到 2008 年全國各省區(qū)全面使用標(biāo)準(zhǔn)教材進(jìn)行教學(xué)選修 4-5 專題不等式選講將柯西不等式納入了選修課程系統(tǒng)，柯西不等式由此進(jìn)入了新教材，進(jìn)入了學(xué)生的課堂作為選修內(nèi)容之一，為拓展學(xué)生的知識面，開闊學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間具有很大的作用，同時也為教育工作者提出了新的挑戰(zhàn)。柯西不等式的表現(xiàn)形式如下:(1)(n維形式)對于任意實(shí)數(shù)與滿足當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪ⅰ?.2拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足（1） 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)（），使得等式成立。2.3.1拉格朗日中值定理的證明以及推廣設(shè)在區(qū)間a,b內(nèi)k階可微，則使其中h= 證明定理：我們這里就用輔助的思想來看待這個問題。(1)當(dāng)k=l時，即是拉格朗日中值定理。(2)當(dāng)k=2 時， 在區(qū)域作輔助函數(shù)：，則。固定讓在(O，h上變化，則，關(guān)于滿足拉格朗日中值定理，所以，其中關(guān)于變量又滿足拉格朗日中值定理，所以可有，記。則有成立。（3）當(dāng)k=n時，訪k=2構(gòu)造定義在上的函數(shù)：同理有 第一步：固定讓在(0，h)上變化，則關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得第二步：固定讓在(0，h)上變化，則關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得依次類推第3步，.，第n步關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得 因?yàn)樗晕覀兞?則即定理2：設(shè)I是有界閉區(qū)間構(gòu)造一個多項(xiàng)式函數(shù)，使得對全體都有 在證明該定理時，如果我們試圖用證明不等式的一般方法直接去證明它，那難度是相當(dāng)大，甚至不能把該命題證明出來，但是如果我們此時換一種思維方式，通過構(gòu)造條件不等式，問題就迎刃而解。那么我們怎樣去構(gòu)造條件不等式呢?這是問題的關(guān)鍵所在，我們可以通過定理的條件和結(jié)論以及對有關(guān)問題的性質(zhì)的分析，來達(dá)到構(gòu)造條件不等式的目的。在這個定理證明時，如果認(rèn)真分析一下定理的結(jié)論我們可以知道，任意一個多項(xiàng)式函數(shù)與的差要小于任意給定的正數(shù)，那么我們在構(gòu)造條件不等式時目的就很明確。定理證明：先構(gòu)造條件不等式，n0；顯然是無常數(shù)項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)列，要證在區(qū)問(一1，1)上多項(xiàng)式函數(shù)列單調(diào)遞增，且一致收斂。為此，若能證明有則可得到，即單調(diào)遞增且一致有界，又，即一致收斂。下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明當(dāng)nO時不等式成立(1)當(dāng)n=0時，命題顯然成立。(2)假設(shè)n時，上式成立，我們來證明為n+l是命題也成立。因?yàn)橛杉僭O(shè)有，所以，因此由假設(shè)有，同時也可推出，所以即證畢3.3均值不等式己知正數(shù)a和b，古希臘數(shù)學(xué)家己經(jīng)研究過十種不同的中項(xiàng)，包括算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)、調(diào)和中項(xiàng)、反調(diào)和中項(xiàng)等。這些中項(xiàng)之間的大小關(guān)系叫均值不等式。本文所說的均值不等式只限于算術(shù)中項(xiàng)和幾何中項(xiàng)之間的大小關(guān)系，即均值不等式有著悠久的歷史，證明方法很多，用不同的視角，都能得到同樣的結(jié)果。由即可得均值不等式?！熬挡坏仁健笔且活惐容^主要的不等式，是一類應(yīng)用比較廣泛的不等式，該不等式的直觀表述只是其內(nèi)容的外顯形式，如果學(xué)生既能知其外顯，又能知其內(nèi)在，就是說，如果學(xué)生既能知其然，又能知其所以然，對該知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用就容易更上一層樓。任何知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)都是為了更好的應(yīng)用，而應(yīng)用的好與壞直接取決于學(xué)生對通過學(xué)習(xí)得到的知識點(diǎn)的理解和掌握程度，還有一些特殊的技巧是否學(xué)生己經(jīng)了然于心。本論文希望通過調(diào)查學(xué)生對“均值不等式”的應(yīng)用意識及應(yīng)用技巧的程度來了解學(xué)生對“均值不等式”本質(zhì)的理解程度?！熬挡坏仁健痹诓坏仁嚼碚撝刑幱诤诵牡匚?，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的不等式之一。巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值，比較大小，證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法。均值不等式的推廣過程中涉及到的均值不等式的延伸內(nèi)容，也是解題的重要依據(jù)之一。4.數(shù)學(xué)中不等式的中的應(yīng)用不等式的證明一直是數(shù)學(xué)里面的一個難點(diǎn)，但是如果利用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識來處理，問題就要顯得簡單的多，不過要利用導(dǎo)數(shù)知識來證明不等式，關(guān)鍵的是如何構(gòu)造條件不等式，下面舉例說明不等式證明中條件不等式的構(gòu)造。所謂的條件不等式是指具有某些條件的輔助不等式（或者是輔助等式），這些條件必須要符合題意，不能隨意的制造。4.1 構(gòu)造條件不等式對命題進(jìn)行證明。已知二階可導(dǎo)，當(dāng)xO時，且，求證當(dāng)x0時，。這個問題如果要利用初等數(shù)學(xué)知識來證明，難度相當(dāng)大，但是利用導(dǎo)數(shù)知識來證明問題就比較簡單，考慮到條件x0且當(dāng)x=0時，因此如果能夠證明函數(shù)，是單調(diào)遞增，問題就得到解決。證明：作條件不等式，則，即單調(diào)遞升：因?yàn)?，于是?dāng)xO時，從而當(dāng)x0時，單調(diào)遞升，且，于是當(dāng)x0時，即例：證明有要證明該不等式顯然用初等數(shù)學(xué)方法不容易，但是如果利用條件不等式來證明就比較容易，只是必須構(gòu)造一個恰當(dāng)?shù)臈l件不等式，那么怎樣來構(gòu)造條件不等式呢?這是解決問題的關(guān)鍵，我們注意到這是一個關(guān)于多項(xiàng)式的不等式，因此作條件不等式時應(yīng)考慮到多項(xiàng)式函數(shù)。證明：作條件不等式，其中表示的整數(shù)部分，則，由的定義可知是n次多項(xiàng)式，且最高次項(xiàng)的系數(shù)為l。易證，還有另一個表達(dá)式。(后證)，所以；，設(shè)，假設(shè) ，則可以推出矛盾。 在構(gòu)造條件不等式令，k=0,1,2,.,n 則 即中任意相鄰兩項(xiàng)都異號，且，因?yàn)?，所以在處與同號，即有中任意兩次都異號，多項(xiàng)式顯然是連續(xù)函數(shù)。由介值定理可以得到：使得即有n個根，但這是不可能的，因與最高次項(xiàng)的系數(shù)都為1，所以頂多是n一1次多項(xiàng)式，由代數(shù)基本定理知道頂多有n1個根。下面證明；設(shè)Q=arccosx， 則x=cosQ2cosnQ= (cosnQ+isinnQ) + (cosnQisinnx)=比較實(shí)部系數(shù)得：證畢。4.2 利用微分中值定理進(jìn)行不等式命題的證明分析逆推法： 利用微分中值定理時，常常會用到逆推的方法從欲證結(jié)論入手，借助于邏輯關(guān)系制造出某個函數(shù)的改變量，再觀察其對應(yīng)的區(qū)間，即可有效的構(gòu)造出所需的條件不等式。例設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（0，1）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得。分析：結(jié)論可變形為即為，因此可構(gòu)造條件不等式，對與g（x）在0，1上應(yīng)用柯西中值定理即可證明結(jié)論。證明：令，由題設(shè)知f（x）與g（x）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，由柯西中值定理得，整理即得。 在一些問題中，單使用逆推法還不夠，往往還要借助積分法來構(gòu)造出符合題設(shè)要求且滿足微分中值定理?xiàng)l件的條件不等式。具體方法是把欲證結(jié)論中的換成x，將替換后的等式變形為易于積分的形式，再兩邊積分解出C，由此可構(gòu)造出相應(yīng)的條件不等式。例設(shè)函數(shù)f（x）在0，1上二階可導(dǎo)，且f（0）f（1）=0，證明存在（0，1），使得。分析：在結(jié)論中用x 替換，有，將其變形為易于積分的形式 ，兩邊積分，即，解得。證明：設(shè)輔助函。因?yàn)樵?，1上二階可導(dǎo)，所以在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，故滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在（0，1）使。又在（，1）內(nèi)，F(xiàn)（x）滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在 （ ，1），使，即。在構(gòu)造條件不等式時，若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對稱性，可以用常數(shù)k 值法來構(gòu)造條件不等式。具體方法是將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令其為k，恒等變形使等式一端為a 與f（a）構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b 與f（b）構(gòu)成的代數(shù)式，再將端點(diǎn)值改為變量x，所得表達(dá)式即為條件不等式。例 設(shè)a0，b0,試證存在介于a,b之間，使得分析：將結(jié)論變形為左邊衛(wèi)常數(shù)因此可令，即，則有 即 可令b=x可得條件不等式證明：設(shè)則由羅爾定理，存在介于a,b之間，使得即 從而得到 對于某些要證明的結(jié)論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的證明，直接構(gòu)造條件不等式比較困難，將所證結(jié)論的兩端都乘以或除以一個恒正或恒負(fù)的函數(shù)，證明結(jié)論往往不受影響，（為常數(shù)）是常用的乘積因子。例 若函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=0，證明存在一點(diǎn)（a，b），使得f（）=f（）。分析：是個恒為正的因子，所證明等式或不等式的兩端都乘以或除以這樣一個因子，等式或不等式仍然成立，于是想到是個理想的乘積因子。證明：構(gòu)造條件不等式，可驗(yàn)證F（x）在a，b上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在（a，b），使得，即對于一些只涉及一階導(dǎo)數(shù)和幾何意義比較明確的證題，可以通過幾何圖形來建立恰當(dāng)?shù)臈l件不等式。例 設(shè)函數(shù)f（x）在0，1上可導(dǎo)，且0f（x）1，對于任何x（0，1），都有，試證在（0，1）內(nèi)有且僅有一點(diǎn)，使得。分析：由圖1 可看出，此題的幾何意義是，連續(xù)函數(shù)y=f（x）的圖形曲線必跨越y(tǒng)=x 這條直線，而兩者交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰滿足。進(jìn)而，由圖還可知道，對0，1上的同一自變量x，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差f（x）-x 可構(gòu)成一個新的函數(shù)F（x），它滿足F（0）0，F(xiàn)（1）0，因而符合零點(diǎn)定理的條件。證明：令，則由題設(shè)知，F(xiàn)（x）在0，1上連續(xù)，且F（0）=f（0）0，F(xiàn)（1）=f（1）-10。由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)（0，1），使得F（）=f（）-=0，即。用反證法證明唯一性。設(shè)有兩個點(diǎn)均有，在與所構(gòu)成的區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理有，這與矛盾，故結(jié)論成立5.總結(jié)通過本次論文的書寫以及在論文書寫研究過程中的一些經(jīng)驗(yàn)，以及筆者通過對一手資料的參考，基于筆者調(diào)查顯示的豐富教學(xué)實(shí)踐，筆者主要對數(shù)學(xué)中常用的不等式有了一下幾種新的認(rèn)識： （1）若要熟練掌握不等式的形式，記憶的成分是必不可少的，但不要死記硬背。 認(rèn)知心理學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是大腦理解的運(yùn)動過程，行為教學(xué)并不能單純的歸為一個簡單的操作，還要關(guān)注學(xué)生的情感發(fā)展。教師面對任何新出現(xiàn)的知識，都應(yīng)該嘗試找到相關(guān)的背景知識對于一些學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，教學(xué)可以通過大腦皮層的深度加工來加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知，理解和認(rèn)識，從而使的學(xué)生產(chǎn)生新的知識，在在學(xué)生的頭腦運(yùn)動的過程中新的知識形成就可以變的水到渠成?；趯W(xué)生的智力發(fā)展理論觀點(diǎn)，所謂元認(rèn)知就是認(rèn)知意識。近年來，元認(rèn)知心理學(xué)教給學(xué)生如何學(xué)習(xí)并取得了一些成果。教學(xué)也應(yīng)該是認(rèn)知心理學(xué)和元認(rèn)知理論主張適當(dāng)補(bǔ)充內(nèi)存，使學(xué)生掌握學(xué)生理解不等式的指導(dǎo)下，所以在學(xué)生心目中的不平等不只會在形式上，它會和學(xué)生原有的知識形成一個新的反應(yīng)，使得學(xué)生更加容易的接受新知識。 （2）為了更好地理解不等式，證明應(yīng)注意的細(xì)節(jié)。正如前面提到的，教師在知識的教學(xué)過程不應(yīng)該讓學(xué)生死記硬背，則一個新的不等式的證明提出了將能更好地幫助學(xué)生理解和記憶的不平等和內(nèi)容。證明一個命題，在本質(zhì)上，其心理過程是找到的條件和結(jié)論，包括這種心理過程知識之間的邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系，當(dāng)這種內(nèi)在的邏輯性被激活時，這些條件和結(jié)論之間的關(guān)系的概念就會被證明。在證明的一個或幾個命題之間的知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系首先被激活，這些被激活每一個知識點(diǎn)，互相聯(lián)絡(luò)，向外擴(kuò)展，以獲得一個完整并附有邏輯的證明。這種證明不僅鍛煉他們的思維，加深對知識的記憶和的理解，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)，并且為其后來靈活應(yīng)用打下了良好的基礎(chǔ)。實(shí)質(zhì)性的知識和理解的數(shù)學(xué)教學(xué)，建立與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識體系，通過各種渠道建立聯(lián)系，在證明命題的過程中是非常重要的。(3)不等式的應(yīng)用要符合一定的條件，當(dāng)老師傳授的知識，必須找到一種方法，讓學(xué)生明確這些條件，以便使學(xué)生了解實(shí)際不平等。利用“不等式”求最值要符合“正、定、等”三個條件，如果不符合這三個條件的任何一個，而盲目的從表面形式上應(yīng)用該不等式解題，并結(jié)果無疑是錯誤的。如果老師不這樣做的新知識的透徹分析在上述三個條件的教學(xué)，使學(xué)生不具備上述三個條件有一個全面的了解學(xué)生的將是知識形成的頭腦思維障礙。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維障礙，有的來自學(xué)生本身，毫無疑問，也是教學(xué)目標(biāo)的一部分也是我們往往容易疏忽的一部分。對于教師教學(xué)來講，如果這三個條件有遺漏或強(qiáng)調(diào)不夠，使學(xué)生形成的知識體系結(jié)構(gòu)不完善或者是數(shù)學(xué)的邏輯思維能力的欠佳多會對學(xué)生今后的生活起到不可低估負(fù)面作用。 （4）不等式的各種推廣形式不容忽視。我們怎樣才能更