數(shù)學中常用不等式及其應用.doc

目錄數(shù)學中常用不等式及其應用21.前言22.研究背景及研究意義32.1 不等式研究背景32.2 研究意義43.高等數(shù)學常用不等式舉例介紹53.1柯西不等式53.2拉格朗日中值定理53.3均值不等式84.數(shù)學中不等式的中的應用94.1 構造條件不等式對命題進行證明94.2 利用微分中值定理進行不等式命題的證明125.總結15參考文獻17數(shù)學中常用不等式及其應用1.前言正所謂“問渠那得清如許。為有源頭活水來”?；仡櫸覈▏?0年的發(fā)展歷程，我國堅持把國民教育在經(jīng)濟和社會發(fā)展中優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略地位，并制定了優(yōu)先發(fā)展教育和“科教興國”的重大戰(zhàn)略決策，促進教育的改革和發(fā)展。我國教育改革始終堅持黨對教育的領導和政府對教育的統(tǒng)籌，切實保證“科教興國”戰(zhàn)略和教育優(yōu)先發(fā)展地位的落實。在教育改革中義務教育是提高國民素質和發(fā)展教育事業(yè)的基礎，是社會主義現(xiàn)代化建設的奠基工程，涉及廣大人民群眾的根本利益。沒有一個好的底子，就不能決定以后的參天大樹枝葉是否會繁密。中央確定把基礎教育作為整個教育工作的重點，把“兩基”作為當代教育發(fā)展的“重中之重”，這是我國教育發(fā)展的一個重要指導思想，是貫徹科教興國戰(zhàn)略的重大措施。自2008年秋季起國家在全國范圍實施了義務教育，使許多貧困家庭的孩子都能夠享受接受教育的權利?；仡櫄v史我們可以看到，從提出“兩基”，到逐步明確“兩基”目標和具體規(guī)劃，是黨和國家根據(jù)社會主義經(jīng)濟、政治和社會發(fā)展的客觀需要，多年醞釀，逐步成熟，并適時做出的慎重決策。作為大學生的我們有責任也有義務為國家教育事業(yè)的發(fā)展做出自己的貢獻，將我們學習到的知識應用到教育中去，而中學教育就是一個很好的切入點。隨著知識經(jīng)濟時代的到來，教育迎來了新的挑戰(zhàn)，國家開始注重創(chuàng)新教育，指出教育要把傳授基礎知識和逐步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維結合起來，創(chuàng)造良好的教學環(huán)境，有意識的培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學生的創(chuàng)造動機，發(fā)展學生的創(chuàng)新能力，為國家培養(yǎng)出適應新世紀發(fā)展的一代新人。不等式是數(shù)學基礎理論的重要部分。不等式是刻畫現(xiàn)實世界和日常生活、生產(chǎn)和科學研究中的不等關系的數(shù)學模型，反映了事物在量上的區(qū)別，是研究數(shù)量關系和進一步學習數(shù)學的必備知識。此外，不等式在高中數(shù)學中占有舉足輕重的地位，是學習數(shù)學及其他學科的基礎知識。2.研究背景及研究意義2.1 不等式研究背景繼義務教育階段課程改革的全面推進，我國高校規(guī)定了高校數(shù)學教學的課程目標設置大綱。目前，高校數(shù)學課程改革己經(jīng)得到了普遍實施和開展，我們知道，新課程改革的核心環(huán)節(jié)是課程實施，而課程實施的基本方式是教學，那么如何將新課程的理念和構想落實到實處，這是需要通過實際的課堂教學來完成的。高校數(shù)學課程改革對教學提出了以下新的要求：數(shù)學教學要以學生為本，以學生的發(fā)展為本，應當指導學生根據(jù)自己的實際情況和興趣愛好來合理地選擇課程和制定學習計劃；高校數(shù)學教學要打好學生的知識基礎，注重發(fā)展能力；高校數(shù)學教學要注重聯(lián)系，提高數(shù)學整體的認識；高校數(shù)學教學中要關注數(shù)學的文化價值，促進學生科學觀的形成；數(shù)學教學應改善教與學的方式，使高校學生主動地學習。不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內容有密切的聯(lián)系，體現(xiàn)出了“工具”的作用。如研究函數(shù)的定義域時常用到分式的分母不為零、偶次根式的被開方數(shù)非負、對數(shù)的真數(shù)大于0等不等關系；求函數(shù)定義域、值域（最值）、單調性；討論方程根與系數(shù)的關系；數(shù)列的項的最值與前n項和的最值；討論方程與方程組的解的情況，在一元二次求根公式的教學中，用判別式的符號判斷方程的根的存在情況；求空間線線、線面、面面間的距離及夾角的范圍；概率的范圍等等?？梢钥闯?，不等式與集合、充要條件、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、實際問題都有知識交匯處，在相關的數(shù)學領域中有著廣泛的應用。在不等式學習過程中，可以體現(xiàn)出數(shù)學思想及素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學思想不僅在學生形成良好認知結構的過程中起著橋梁作用，在將基礎知識轉化為能力和技能的過程中也發(fā)揮著重要作用，它是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維意識和形成好的數(shù)學思維素質的關鍵所在。不等式的相關教學內容涉及到數(shù)形結合、分類轉化、函數(shù)與方程、轉化等數(shù)學思想。例如：通過圖象解法滲透數(shù)形結合、分類化歸等數(shù)學思想，能夠培養(yǎng)學生的動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)簡約直觀的思維方法和良好的思維品質，進而滲透抽象與具體、聯(lián)系與轉化等辯證唯物主義的觀點和方法；二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，揭示出了不等式的幾何意義，使學生對不等式的認識有了質的飛躍，同時，極有利于發(fā)展學生對集合思想，數(shù)形結合思想在思維層面上的提升，進一步促使學習者在思維的深層面上主動完成對函數(shù)、方程、不等式形成有機的數(shù)學知識網(wǎng)絡的構建；線性規(guī)劃問題開拓了不等式的實際運用的領域。本文希望通過對高中數(shù)學不等式的教學進行研究，結合相關數(shù)學教育理論，針對不等式各部分教學內容和知識點提出有效的教學策略，改進不等式課堂教學，提高學生的學習效率和教師的教學效果，對進行高中不等式教學的教師提供一定的參考作用。使得通過不等式基礎知識的學習和基本技能的訓練，學生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。2.2 研究意義教學策略是當前教學研究的一個重要問題，它無論是對教學理論研究的深化，還是對教學實踐的變革都有重要價值。教學策略可以幫助我們從整體上綜合地認識和探討教學過程中各種因素間的相互作用，有利于從動態(tài)上把握教學過程的本質和規(guī)律。不等式教學策略的研究，有助于促進不等式教學法的豐富與發(fā)展，有助于教師理論與實踐相結合，使教師形成自己的教學風格。教學策略既是教學過程理論體系的具體化，又是建立在教學經(jīng)驗的基礎上的，既具體、明了、可操作性強，又具有概括、完整和系統(tǒng)性，便于理解和掌握，有利于提高教學質量。以期改進不等式課堂教學，提高學生的學習效率和教師的教學效果，對進行高中不等式教學的教師提供一定的參考作用，減少不等式教學中的困惑。使得通過不等式基礎知識的學習和基本技能的訓練，學生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。3.高等數(shù)學常用不等式舉例介紹3.1柯西不等式柯西不等式是由法國大數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分流中的“流數(shù)”時得到的但從歷史的角度講，該不等式應當稱為 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz 不等式，因為正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，比如在證明不等式、求函數(shù)最值及變量取值范圍、方程與等式、幾何等方面然而，目前柯西不等式的研究主要集中于高等數(shù)學及其解法應用研究作為其中著名不等式之一，理應跟中學數(shù)學教學緊密聯(lián)系在一起，為培養(yǎng)學生的數(shù)學能力提供教育素材可喜地是隨著新課程改革的不斷推進，2003 年 4 月教育部制定了普通高中數(shù)學課程標準（實驗），到 2008 年全國各省區(qū)全面使用標準教材進行教學選修 4-5 專題不等式選講將柯西不等式納入了選修課程系統(tǒng)，柯西不等式由此進入了新教材，進入了學生的課堂作為選修內容之一，為拓展學生的知識面，開闊學生的視野，拓展學生的思維空間具有很大的作用，同時也為教育工作者提出了新的挑戰(zhàn)?？挛鞑坏仁降谋憩F(xiàn)形式如下:(1)(n維形式)對于任意實數(shù)與滿足當且僅當?shù)仁匠闪ⅰ?.2拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足（1） 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間（a,b）內可導，那么在（a,b）內至少有一點（），使得等式成立。2.3.1拉格朗日中值定理的證明以及推廣設在區(qū)間a,b內k階可微，則使其中h= 證明定理：我們這里就用輔助的思想來看待這個問題。(1)當k=l時，即是拉格朗日中值定理。(2)當k=2 時， 在區(qū)域作輔助函數(shù)：，則。固定讓在(O，h上變化，則，關于滿足拉格朗日中值定理，所以，其中關于變量又滿足拉格朗日中值定理，所以可有，記。則有成立。（3）當k=n時，訪k=2構造定義在上的函數(shù)：同理有 第一步：固定讓在(0，h)上變化，則關于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得第二步：固定讓在(0，h)上變化，則關于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得依次類推第3步，.，第n步關于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得 因為所以我們令 則即定理2：設I是有界閉區(qū)間構造一個多項式函數(shù)，使得對全體都有 在證明該定理時，如果我們試圖用證明不等式的一般方法直接去證明它，那難度是相當大，甚至不能把該命題證明出來，但是如果我們此時換一種思維方式，通過構造條件不等式，問題就迎刃而解。那么我們怎樣去構造條件不等式呢?這是問題的關鍵所在，我們可以通過定理的條件和結論以及對有關問題的性質的分析，來達到構造條件不等式的目的。在這個定理證明時，如果認真分析一下定理的結論我們可以知道，任意一個多項式函數(shù)與的差要小于任意給定的正數(shù)，那么我們在構造條件不等式時目的就很明確。定理證明：先構造條件不等式，n0；顯然是無常數(shù)項的多項式函數(shù)列，要證在區(qū)問(一1，1)上多項式函數(shù)列單調遞增，且一致收斂。為此，若能證明有則可得到，即單調遞增且一致有界，又，即一致收斂。下面我們用數(shù)學歸納法來證明當nO時不等式成立(1)當n=0時，命題顯然成立。(2)假設n時，上式成立，我們來證明為n+l是命題也成立。因為由假設有，所以，因此由假設有，同時也可推出，所以即證畢3.3均值不等式己知正數(shù)a和b，古希臘數(shù)學家己經(jīng)研究過十種不同的中項，包括算術中項、幾何中項、調和中項、反調和中項等。這些中項之間的大小關系叫均值不等式。本文所說的均值不等式只限于算術中項和幾何中項之間的大小關系，即均值不等式有著悠久的歷史，證明方法很多，用不同的視角，都能得到同樣的結果。由即可得均值不等式?！熬挡坏仁健笔且活惐容^主要的不等式，是一類應用比較廣泛的不等式，該不等式的直觀表述只是其內容的外顯形式，如果學生既能知其外顯，又能知其內在，就是說，如果學生既能知其然，又能知其所以然，對該知識點的靈活運用就容易更上一層樓。任何知識點的學習都是為了更好的應用，而應用的好與壞直接取決于學生對通過學習得到的知識點的理解和掌握程度，還有一些特殊的技巧是否學生己經(jīng)了然于心。本論文希望通過調查學生對“均值不等式”的應用意識及應用技巧的程度來了解學生對“均值不等式”本質的理解程度?！熬挡坏仁健痹诓坏仁嚼碚撝刑幱诤诵牡匚唬乾F(xiàn)代分析數(shù)學中應用最為廣泛的不等式之一。巧妙地應用此不等式在求最值，比較大小，證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法。均值不等式的推廣過程中涉及到的均值不等式的延伸內容，也是解題的重要依據(jù)之一。4.數(shù)學中不等式的中的應用不等式的證明一直是數(shù)學里面的一個難點，但是如果利用高等數(shù)學中的導數(shù)知識來處理，問題就要顯得簡單的多，不過要利用導數(shù)知識來證明不等式，關鍵的是如何構造條件不等式，下面舉例說明不等式證明中條件不等式的構造。所謂的條件不等式是指具有某些條件的輔助不等式（或者是輔助等式），這些條件必須要符合題意，不能隨意的制造。4.1 構造條件不等式對命題進行證明。已知二階可導，當xO時，且，求證當x0時，。這個問題如果要利用初等數(shù)學知識來證明，難度相當大，但是利用導數(shù)知識來證明問題就比較簡單，考慮到條件x0且當x=0時，因此如果能夠證明函數(shù)，是單調遞增，問題就得到解決。證明：作條件不等式，則，即單調遞升：因為，于是當xO時，從而當x0時，單調遞升，且，于是當x0時，即例：證明有要證明該不等式顯然用初等數(shù)學方法不容易，但是如果利用條件不等式來證明就比較容易，只是必須構造一個恰當?shù)臈l件不等式，那么怎樣來構造條件不等式呢?這是解決問題的關鍵，我們注意到這是一個關于多項式的不等式，因此作條件不等式時應考慮到多項式函數(shù)。證明：作條件不等式，其中表示的整數(shù)部分，則，由的定義可知是n次多項式，且最高次項的系數(shù)為l。易證，還有另一個表達式。(后證)，所以；，設，假設 ，則可以推出矛盾。 在構造條件不等式令，k=0,1,2,.,n 則 即中任意相鄰兩項都異號，且，因為，所以在處與同號，即有中任意兩次都異號，多項式顯然是連續(xù)函數(shù)。由介值定理可以得到：使得即有n個根，但這是不可能的，因與最高次項的系數(shù)都為1，所以頂多是n一1次多項式，由代數(shù)基本定理知道頂多有n1個根。下面證明；設Q=arccosx， 則x=cosQ2cosnQ= (cosnQ+isinnQ) + (cosnQisinnx)=比較實部系數(shù)得：證畢。4.2 利用微分中值定理進行不等式命題的證明分析逆推法： 利用微分中值定理時，常常會用到逆推的方法從欲證結論入手，借助于邏輯關系制造出某個函數(shù)的改變量，再觀察其對應的區(qū)間，即可有效的構造出所需的條件不等式。例設函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導，證明在（0，1）內存在一點，使得。分析：結論可變形為即為，因此可構造條件不等式，對與g（x）在0，1上應用柯西中值定理即可證明結論。證明：令，由題設知f（x）與g（x）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導，由柯西中值定理得，整理即得。 在一些問題中，單使用逆推法還不夠，往往還要借助積分法來構造出符合題設要求且滿足微分中值定理條件的條件不等式。具體方法是把欲證結論中的換成x，將替換后的等式變形為易于積分的形式，再兩邊積分解出C，由此可構造出相應的條件不等式。例設函數(shù)f（x）在0，1上二階可導，且f（0）f（1）=0，證明存在（0，1），使得。分析：在結論中用x 替換，有，將其變形為易于積分的形式 ，兩邊積分，即，解得。證明：設輔助函。因為在0，1上二階可導，所以在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導，且，故滿足羅爾定理條件，所以存在（0，1）使。又在（，1）內，F(xiàn)（x）滿足羅爾定理條件，所以存在 （ ，1），使，即。在構造條件不等式時，若表達式關于端點處的函數(shù)值具有對稱性，可以用常數(shù)k 值法來構造條件不等式。具體方法是將結論變形，使常數(shù)部分分離出來并令其為k，恒等變形使等式一端為a 與f（a）構成的代數(shù)式，另一端為b 與f（b）構成的代數(shù)式，再將端點值改為變量x，所得表達式即為條件不等式。例 設a0，b0,試證存在介于a,b之間，使得分析：將結論變形為左邊衛(wèi)常數(shù)因此可令，即，則有 即 可令b=x可得條件不等式證明：設則由羅爾定理，存在介于a,b之間，使得即 從而得到 對于某些要證明的結論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)之間關系的證明，直接構造條件不等式比較困難，將所證結論的兩端都乘以或除以一個恒正或恒負的函數(shù)，證明結論往往不受影響，（為常數(shù)）是常用的乘積因子。例 若函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內可導，且f（a）=f（b）=0，證明存在一點（a，b），使得f（）=f（）。分析：是個恒為正的因子，所證明等式或不等式的兩端都乘以或除以這樣一個因子，等式或不等式仍然成立，于是想到是個理想的乘積因子。證明：構造條件不等式，可驗證F（x）在a，b上滿足羅爾定理條件，故存在（a，b），使得，即對于一些只涉及一階導數(shù)和幾何意義比較明確的證題，可以通過幾何圖形來建立恰當?shù)臈l件不等式。例 設函數(shù)f（x）在0，1上可導，且0f（x）1，對于任何x（0，1），都有，試證在（0，1）內有且僅有一點，使得。分析：由圖1 可看出，此題的幾何意義是，連續(xù)函數(shù)y=f（x）的圖形曲線必跨越y(tǒng)=x 這條直線，而兩者交點的橫坐標恰滿足。進而，由圖還可知道，對0，1上的同一自變量x，這兩條曲線縱坐標之差f（x）-x 可構成一個新的函數(shù)F（x），它滿足F（0）0，F(xiàn)（1）0，因而符合零點定理的條件。證明：令，則由題設知，F(xiàn)（x）在0，1上連續(xù)，且F（0）=f（0）0，F(xiàn)（1）=f（1）-10。由零點定理知，至少存在一點（0，1），使得F（）=f（）-=0，即。用反證法證明唯一性。設有兩個點均有，在與所構成的區(qū)間上運用拉格朗日中值定理有，這與矛盾，故結論成立5.總結通過本次論文的書寫以及在論文書寫研究過程中的一些經(jīng)驗，以及筆者通過對一手資料的參考，基于筆者調查顯示的豐富教學實踐，筆者主要對數(shù)學中常用的不等式有了一下幾種新的認識： （1）若要熟練掌握不等式的形式，記憶的成分是必不可少的，但不要死記硬背。 認知心理學強調學習是大腦理解的運動過程，行為教學并不能單純的歸為一個簡單的操作，還要關注學生的情感發(fā)展。教師面對任何新出現(xiàn)的知識，都應該嘗試找到相關的背景知識對于一些學生已經(jīng)掌握的知識，教學可以通過大腦皮層的深度加工來加強學生的認知，理解和認識，從而使的學生產(chǎn)生新的知識，在在學生的頭腦運動的過程中新的知識形成就可以變的水到渠成。基于學生的智力發(fā)展理論觀點，所謂元認知就是認知意識。近年來，元認知心理學教給學生如何學習并取得了一些成果。教學也應該是認知心理學和元認知理論主張適當補充內存，使學生掌握學生理解不等式的指導下，所以在學生心目中的不平等不只會在形式上，它會和學生原有的知識形成一個新的反應，使得學生更加容易的接受新知識。 （2）為了更好地理解不等式，證明應注意的細節(jié)。正如前面提到的，教師在知識的教學過程不應該讓學生死記硬背，則一個新的不等式的證明提出了將能更好地幫助學生理解和記憶的不平等和內容。證明一個命題，在本質上，其心理過程是找到的條件和結論，包括這種心理過程知識之間的邏輯蘊涵關系，當這種內在的邏輯性被激活時，這些條件和結論之間的關系的概念就會被證明。在證明的一個或幾個命題之間的知識認知結構間的聯(lián)系首先被激活，這些被激活每一個知識點，互相聯(lián)絡，向外擴展，以獲得一個完整并附有邏輯的證明。這種證明不僅鍛煉他們的思維，加深對知識的記憶和的理解，學生學習的知識點，并且為其后來靈活應用打下了良好的基礎。實質性的知識和理解的數(shù)學教學，建立與現(xiàn)有的數(shù)學知識，數(shù)學知識體系，通過各種渠道建立聯(lián)系，在證明命題的過程中是非常重要的。(3)不等式的應用要符合一定的條件，當老師傳授的知識，必須找到一種方法，讓學生明確這些條件，以便使學生了解實際不平等。利用“不等式”求最值要符合“正、定、等”三個條件，如果不符合這三個條件的任何一個，而盲目的從表面形式上應用該不等式解題，并結果無疑是錯誤的。如果老師不這樣做的新知識的透徹分析在上述三個條件的教學，使學生不具備上述三個條件有一個全面的了解學生的將是知識形成的頭腦思維障礙。事實上，數(shù)學思維障礙，有的來自學生本身，毫無疑問，也是教學目標的一部分也是我們往往容易疏忽的一部分。對于教師教學來講，如果這三個條件有遺漏或強調不夠，使學生形成的知識體系結構不完善或者是數(shù)學的邏輯思維能力的欠佳多會對學生今后的生活起到不可低估負面作用。 （4）不等式的各種推廣形式不容忽視。我們怎樣才能更