試題十四及參考答案.doc

試題十四及參考答案一、判斷題（在括號里打“”或“”，每小題1.5分，共30分）1維線性空間中任何個向量都線性相關(guān)； （）2同一組基下的不同線性變換的矩陣一定是相似的；（）3任意兩個子空間、的并集仍是子空間； （）4子空間、的和為直和（這里表示空集）； （）5相似矩陣具有相同的特征值、相同的行列式及相同的秩； （）6線性空間的兩組基到的過渡矩陣是可逆的； （）7中所有級可逆矩陣的集合作成的一個子空間； （）8設(shè)為級矩陣，則一定存在一個首項系數(shù)為1的次多項式使得； （）9設(shè)A是線性空間的線性變換，則A的值域A與核A的和AA； （） 10線性空間的子空間稱為線性變換A的不變子空間，是指值域A； （）11線性變換A的值域與核都是A的不變子空間；（）12若矩陣與具有相同的特征多項式，則與相似； （）13兩個實數(shù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等； （）14可逆復(fù)對稱矩陣的規(guī)范形為單位矩陣； （）15實二次型（其中）是半正定的充要條件是的所有順序主子式大于或等于零； （）16維線性空間的線性變換在某組基下的矩陣是對角形的充分必要條件是該線性變換具有個不同的根； （）17用表示維線性空間的所有線性變換作成的線性空間，則； （）18當(dāng)時，實二次型是正定的;（）19設(shè)線性無關(guān)，也線性無關(guān)，則的維數(shù)一定為4；（） 20設(shè)、都是線性空間的子空間，則（）二、求下面實二次型的標(biāo)準形及所作的非退化的線性變換，并確定其秩和符號差，其中（10分）解設(shè)，得，設(shè) ，得到標(biāo)準形為，故所作的非退化線性替換為，即，標(biāo)準形為，二次型的秩為，符號差為三、設(shè)為數(shù)域上的n維線性空間，且，（1）證明是的一組基；（2） 若在基的坐標(biāo)為,求在基下的坐標(biāo) （12分）證明 （1）設(shè)，即，因為，所以線性無關(guān)，即得 解之得，故線性無關(guān)，又，因此它們是的一組基（2）由，得，故在基下的坐標(biāo)為注（1）的另一證法：可由及后一矩陣的可逆性證得結(jié)論；（2）也可由坐標(biāo)變換公式得到結(jié)論四、設(shè)是數(shù)域上的所有階矩陣的集合，（1）證明是的子空間；（2）求的一組基,并確定其維數(shù)；（3）證明（共12分）證明（1），設(shè)、，即，則，所以；又設(shè)，由，得，故是的子空間，同理可證也是的子空間（2）的一組基可取為：（），故的一組基可取為：（），故（3）對，由，容易驗證與，得，因此，又設(shè)，則，得到，于是有，故注對（3）中直和的另一證法：由（2）得，故五、設(shè)為數(shù)域上的維線性空間，是的一個線性變換, 且有使得，而（1）證明：也為的一組基；（2）求在基下的矩陣；（3）證明：必為零變換（共12分）證明（1）因為，所以只需證明線性無關(guān)：設(shè)，兩邊用作用，注意到得，又，于是，代入上式得，兩邊再用作用，得，繼續(xù)這個過程，得到，故線性無關(guān)，從而為的一組基（2）由得在基下的矩陣為，這里表示級單位矩陣（3）對，設(shè)，則，故為零變換注對（3）的另一證法：因為在基下的矩陣為，故在此基下的矩陣為，故為零變換六、設(shè)是線性變換A的兩個特征值，是分別屬于與的特征向量證明（1）線性無關(guān)；（2）不是A的特征向量；（3）是A的一個特征值，這里表示恒等變換（共12分）證明（1）設(shè)，兩邊用線性變換A作用，得，對兩邊同乘后兩式相減，得，由于及，得，代入得，又有，故線性無關(guān)（2）若是A的屬于某特征值的特征向量，則A（），得到，即，由（1）知線性無關(guān)，得，于是，矛盾（3）由A（），得A，故是A的一個特征值七、設(shè)線性變換A在基下的矩陣是（1）求矩陣以及線性變換A的特征值與特征向量；（2）判斷A是否可以對角化（即線性變換A是否在某組基下的矩陣為對角形），若不能對角化，說明理由；若可以對角化，求可逆陣，使為對角形 （共12分）解（1），則或A的特征值和當(dāng)時，由得基礎(chǔ)解系，故矩陣的全體特征向量為，而線性變換A的全體特征向量為（其中為不全為零的任意常數(shù)）當(dāng)時，由得基礎(chǔ)解系，故矩陣