二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案(12)數(shù)列.docVIP

數(shù) 列【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】一數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列2.數(shù)列的前n項(xiàng)和： 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式： ；求法：歸納，轉(zhuǎn)化， 4.遞推公式：已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式。二等差數(shù)列1.定義： 2.等差數(shù)列的判定方法：定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列。 等差中項(xiàng)法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：。說(shuō)明：該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和： 說(shuō)明對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。5.等差中項(xiàng)：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或說(shuō)明：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。6.等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公差為，則有.對(duì)于等差數(shù)列，若，則。也就是：，如圖所示：若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：(i)奇數(shù)項(xiàng) (ii)偶數(shù)項(xiàng) (iii) 所以有 ； ， 所以有若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則。三等比數(shù)列1定義：2.等比中項(xiàng)：如果在與之間插入一個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)。即。3.等比數(shù)列的判定方法：定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：。5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：6.等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有.對(duì)于等比數(shù)列，若，則也就是：。如圖所示：若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：四數(shù)列的通項(xiàng)求法： (1)等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)： (2) (3)迭加累加 ，迭乘累乘， ， ， ， ， ， 注：五數(shù)列的求和方法：(1)等差與等比數(shù)列：(2)裂項(xiàng)相消法： 如：an=1/n(n+1)(3)錯(cuò)位相減法：, 所以有如：an=(2n-1)2n倒序相加法：如an=; 又如一知函數(shù) 求：。通項(xiàng)分解法：如：an=2n+3n六數(shù)列的關(guān)系(1) (2)七遞推數(shù)列(1)能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)(2)由 解題思路：利用 變化（1）已知 (2)已知.若一階線性遞歸數(shù)列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫變形成如下形式:(n2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；八其它方面1、在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng),d0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。2、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)4、求數(shù)列an的最大、最小項(xiàng)的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=【學(xué)法導(dǎo)航】高考資源網(wǎng)考資源網(wǎng)1運(yùn)用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問(wèn)題； 2注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；3注意等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的特征在解題中的應(yīng)用； 4注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；高5根據(jù)遞推公式，通過(guò)尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納； 6掌握數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn 之間的關(guān)系；7根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列；高8掌握一些數(shù)列求和的方法：(1)分解成特殊數(shù)列的和(2)裂項(xiàng)求和(3)“錯(cuò)位相減”法求和（4）倒序相加法（5）公式法?！緦ｎ}綜合】高考資源網(wǎng)1. 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)例1. 已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：（1）求通項(xiàng)；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為高考由題意得： 或 （舍去）所以：（2），由于 是一等差數(shù)列 故對(duì)一切自然數(shù)都成立，即：高考資源網(wǎng) 或 （舍去）高考所以高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的基本知識(shí)，第二問(wèn)，判斷數(shù)列是等差數(shù)列的條件，要抓住它的特征，充分應(yīng)用等差數(shù)列的判斷條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題。 例2.設(shè)數(shù)列an和bn滿足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且數(shù)列an+1an （nN*）是等差數(shù)列，數(shù)列bn2(nN*)是等比數(shù)列. （1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；高考資源網(wǎng)（2）是否存在kN*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）由題意得： =。所以 （）上式對(duì)也成立，所以 高考，所以 高考資源網(wǎng)（2）當(dāng) 時(shí) 當(dāng)時(shí) 故不存在正整數(shù)使高考資源網(wǎng)2. 求數(shù)列的通項(xiàng)與求和例3.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為 解：前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力高考資源網(wǎng)例4.(2009年廣東卷文)已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）. （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；高考資源網(wǎng)（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問(wèn)的最小正整數(shù)是多少? 解：（1）,高考資源網(wǎng) , . 高考資源網(wǎng)又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；高考資源網(wǎng)數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；高考()；（2） ；高考由得，滿足的最小正整數(shù)為112.3. 數(shù)列與不等式的聯(lián)系高考資源網(wǎng)例5.（屆高三湖南益陽(yáng)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比滿足。又已知，成等差數(shù)列。高考資源網(wǎng) （1）求數(shù)列的通項(xiàng) 高考資源網(wǎng)（2）令，求證：對(duì)于任意，都有（1）解： 高考資源網(wǎng)（2）證明： ， 高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（）問(wèn)，采用裂項(xiàng)相消法法，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式例、(2008遼寧理) 在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）高考資源網(wǎng)（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式 （2）證明：解：（）由條件得由此可得猜測(cè)高用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立高假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立高（2） n2時(shí)，由（）知高考資故綜上，原不等式成立點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力4. 數(shù)列與函數(shù)、概率等的聯(lián)系高考資源網(wǎng)例7.（江西理）將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（ ） 解：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè)，共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為，選B高考點(diǎn)評(píng)：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù)。例8. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為高考資源網(wǎng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和高網(wǎng)（3）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，求的通項(xiàng)公式.解：（1）點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，,當(dāng)時(shí)，高考當(dāng)1時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2）由求導(dǎo)可得過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，.高考.由4，得，-得： 高考資 （3）,.又，其中是中的最小數(shù)，.是公差是4的倍數(shù)，.高考又，,解得27. 所以，高考資源網(wǎng)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則高考資源網(wǎng)，所以的通項(xiàng)公式為 【專題突破】高考資源網(wǎng)一、選擇題1 已知等差數(shù)列的公差為,若成等比數(shù)列, 則（ ）A B C D 高考資源網(wǎng)2 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（ ）A B C D 高考資源網(wǎng)3 若成等差數(shù)列，則的值等于（ ）A B 或 C D 高考資源網(wǎng)4 已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是（ ）A B C D 5 在中,是以為第三項(xiàng), 為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差,是以為第三項(xiàng), 為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比,則這個(gè)三角形是（ ）高考資源網(wǎng)A 鈍角三角形 B 銳角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不對(duì)6 在等差數(shù)列中，設(shè)，則關(guān)系為（ ）高考資源網(wǎng)A 等差數(shù)列 B 等比數(shù)列 C 等差數(shù)列或等比數(shù)列 D 都不對(duì) 7已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線 （該直線不過(guò)原點(diǎn)O），則S200（ ）高考資源網(wǎng)A100 B101 C200 D2018在等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D高考資源網(wǎng)9設(shè)，則等于（ ）高考資源網(wǎng)A B C D10彈子跳棋共有60棵大小相同的球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它疊成正四面體球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩下的彈子有（ ）高考資源網(wǎng)A3 B4 C8 D911設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，的“理想數(shù)”為（ ）高考資源網(wǎng)A2002 B2004 C2006 D200812已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那么等于（ ）ABCD高考資源網(wǎng)二、填空題13等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a28，a3a526，記Tn，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，TnM都成立則M的最小值是_高考資源網(wǎng)16已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是_.高考資源網(wǎng)17在等差數(shù)列中，公差，前項(xiàng)的和，則=_ 高考資源網(wǎng)三、解答題18. 設(shè)為等比數(shù)列，已知。（1）求數(shù)列an的首項(xiàng)和公比；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。高 解：（1）高考資源網(wǎng) 又為等比數(shù)列，故， 故 （2） 得 高考資源網(wǎng) 19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足高考資源網(wǎng)（1） 寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；高考資源網(wǎng)（2） 求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式高解：（1）在中分別令 得： 解得：高考資源網(wǎng)（2）由得：高考資源網(wǎng)兩式相減得：即：高考資源網(wǎng)故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列高考資源網(wǎng)所以 高考資源網(wǎng)20. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列； （2）Sn+1=4an. 高考資源網(wǎng) 解：（1）由 得： 即所以 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列高考資源網(wǎng)（2）由（1）得 高考資源網(wǎng)所以 所以 21. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有高由， 則當(dāng)時(shí)，有得高考資源網(wǎng)又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列高考資源網(wǎng)， 專題突破參考答案一、選擇題1 B 高考資源網(wǎng)2 A 高考資源網(wǎng)3 D 4 D 設(shè)三邊為則，即 得，即5 B 高考資源網(wǎng) ，都是銳角高考資源網(wǎng)6 A 成等差數(shù)列7A依題意，a1a2001，故選A高考資源網(wǎng)8C因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則 即，所以，故選擇答案C9Df（n）=，選D高考資源網(wǎng)10B正四面體的特征和題設(shè)構(gòu)造過(guò)程，第k層為k個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，化簡(jiǎn)通項(xiàng)再裂項(xiàng)用公式求和.依題設(shè)第k層正四面體為則