高考數(shù)學(xué) 第八章 第三節(jié)圓的方程課件 理.ppt

第三節(jié)圓的方程 1 圓的定義 方程 1 在平面內(nèi)到 的距離等于 的點(diǎn)的軌跡叫做圓 2 確定一個(gè)圓的基本要素是 和 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 圓心 半徑 3 圓的方程 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 dx ey f 0 其中d2 e2 4f 0 a b r 即時(shí)應(yīng)用 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圓 則a的取值范圍是 2 圓x2 2x y2 3 0的圓心到直線x y 3 0的距離為 3 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí) 直線 a 1 x y a 1 0恒過(guò)定點(diǎn)c 則以c為圓心 為半徑的圓的方程為 解析 1 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圓 所以a2 2a 2 4 2a2 a 1 0 解得 2 x2 2x y2 3 0的圓心坐標(biāo)為 1 0 它到直線x y 3 0的距離為 3 直線方程變?yōu)?x 1 a x y 1 0 由 c 1 2 所求圓的方程為 x 1 2 y 2 2 5 即 x2 y2 2x 4y 0 答案 1 2 1 3 x2 y2 2x 4y 0 2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 點(diǎn)m x0 y0 請(qǐng)把左邊式子與右邊結(jié)論連線 x0 a 2 y0 b 2 r2點(diǎn)與圓外 x0 a 2 y0 b 2 r2點(diǎn)與圓內(nèi) x0 a 2 y0 b 2 r2點(diǎn)與圓上 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 若點(diǎn)m x0 y0 在圓x2 y2 dx ey f 0上 則滿足什么條件 若點(diǎn)m x0 y0 在圓x2 y2 dx ey f 0內(nèi) 則滿足什么條件 若點(diǎn)m x0 y0 在圓x2 y2 dx ey f 0外 則滿足什么條件 提示 2 已知點(diǎn)a 0 0 在圓 x2 y2 2ax a2 a 2 0外 則a的取值范圍是 解析 因?yàn)榉匠蘹2 y2 2ax a2 a 2 0表示圓 所以 2a 2 4 a2 a 2 0 解得 a 2 又因?yàn)辄c(diǎn)a 0 0 在圓外 所以a2 a 2 0 解得 a 2或a 1 綜上可得1 a 2或a 2 答案 1 a 2或a 2 3 已知點(diǎn)a 1 2 在圓 x2 y2 ax 2y b 0上 且點(diǎn)a關(guān)于直線x y 0的對(duì)稱點(diǎn)b也在圓上 則a b 解析 點(diǎn)a 1 2 關(guān)于直線x y 0的對(duì)稱點(diǎn)為b 2 1 又因?yàn)閍 b兩點(diǎn)都在圓上 所以 解得答案 21 熱點(diǎn)考向1求圓的方程 方法點(diǎn)睛 1 求圓的方程的方法 1 直接法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì) 直接求出圓心坐標(biāo)和半徑 進(jìn)而寫(xiě)出方程 2 待定系數(shù)法 若已知條件與圓心 a b 和半徑r有關(guān) 則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 依據(jù)已知條件列出關(guān)于a b r的方程組 從而求出a b r的值 若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑 則選擇圓的一般方程 依據(jù)已知條件列出關(guān)于d e f的方程組 進(jìn)而求出d e f的值 2 確定圓心位置的方法 1 圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上 2 圓心在任意一弦的垂直平分線上 3 兩圓相切時(shí) 切點(diǎn)與兩圓圓心共線 例1 1 2012 福州模擬 以點(diǎn) 2 1 為圓心且與直線3x 4y 5 0相切的圓的方程為 a x 2 2 y 1 2 3 b x 2 2 y 1 2 3 c x 2 2 y 1 2 9 d x 2 2 y 1 2 9 2 2012 莆田模擬 過(guò)點(diǎn)a 6 5 b 0 1 并且圓心在直線3x 10y 9 0上的圓的方程為 3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 2 4 且與直線l x 3y 26 0相切于點(diǎn)b 8 6 的圓的方程 解題指南 1 已知圓心坐標(biāo) 利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑 2 因?yàn)閳A心在弦的垂直平分線上 所以解方程組 求出圓心 再求出半徑 即得圓的方程 3 可先設(shè)圓心坐標(biāo)為c a b 由圓心與切點(diǎn)連線與切線垂直及圓心到圓上點(diǎn)的距離相等得出關(guān)于a b的兩個(gè)方程 解方程組即可得到圓心坐標(biāo) 再求出半徑 得出圓的方程 也可直接求出圓心坐標(biāo) 再求出半徑 得出圓的方程 規(guī)范解答 1 選c 由已知 可設(shè)圓的方程為 x 2 2 y 1 2 r2 則故所求圓的方程為 x 2 2 y 1 2 9 2 因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)a b兩點(diǎn) 所以 圓心在ab的垂直平分線上 而ab的垂直平分線方程為 3x 2y 15 0 解方程組所以圓心坐標(biāo)為 c 7 3 又 bc 所以 所求圓的方程為 x 7 2 y 3 2 65 答案 x 7 2 y 3 2 65 3 方法一 設(shè)圓心坐標(biāo)為c a b 依題意得 解得 半徑因此 所求圓的方程為 方法二 依題意得 圓心在ab的垂直平分線上 而ab的垂直平分線方程為 x y 4 0 又因?yàn)閳A心也在過(guò)b且與直線l垂直的直線上 而此直線方程為 3x y 18 0 解方程組以下同方法一 互動(dòng)探究 本例 3 中 經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 2 4 改為 圓心在直線x y 4 0上 結(jié)果如何 解析 方法一 設(shè)所求圓的方程為 x a 2 y b 2 r2 依題設(shè)有 解得因此 所求圓的方程為 方法二 依題設(shè)可知 圓心也在過(guò)切點(diǎn)b 8 6 且與l垂直的直線上 其斜率為3 所以方程為y 6 3 x 8 即3x y 18 0 又圓心在x y 4 0上 由 得圓心 半徑因此 所求圓的方程為 反思 感悟 1 從題組求解可以看出 確定一個(gè)圓的方程 需要三個(gè)獨(dú)立的條件 選形式 定參數(shù) 是求圓的方程的基本方法 即根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式 進(jìn)而確定其中的三個(gè)參數(shù) 2 解答圓的問(wèn)題 應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合 充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì) 簡(jiǎn)化運(yùn)算 變式備選 2012 寧德模擬 已知圓c同時(shí)滿足下列三個(gè)條件 與y軸相切 在直線y x上截得弦長(zhǎng)為 圓心在直線x 3y 0上 求圓c的方程 解析 設(shè)所求的圓c與y軸相切 又與直線y x交于點(diǎn)a b 圓心c在直線x 3y 0上 圓心c 3a a 又圓與y軸相切 r 3 a 過(guò)點(diǎn)c作直線ab的垂線 垂足為d 在rt cbd中 r2 cd 2 bd 2 即9a2 2a2 7 a 1 3a 3 圓心c的坐標(biāo)分別為 3 1 和 3 1 故所求圓的方程為 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 熱點(diǎn)考向2與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 常見(jiàn)的有以下類型 1 形如型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn) a b 和點(diǎn) x y 的直線的斜率的最值問(wèn)題 2 形如t ax by型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題 3 形如 x a 2 y b 2型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題 例2 2012 龍巖模擬 已知實(shí)數(shù)x y滿足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解題指南 充分利用所求代數(shù)式的幾何意義 運(yùn)用幾何法求解 為點(diǎn) x y 與原點(diǎn)連線的斜率 而y x表示動(dòng)直線y x b的縱截距 x2 y2表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn)的距離的平方 規(guī)范解答 1 原方程可化為 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 為圓心 為半徑的圓 的幾何意義為點(diǎn) x y 與原點(diǎn)連線的斜率 所以設(shè) 即y kx 當(dāng)直線與圓相切時(shí) 斜率k取最大值或最小值 此時(shí) 解得所以的最大值為最小值為 2 y x可看作直線y x b在y軸上的截距 當(dāng)直線與圓相切時(shí) 直線y x b在y軸上的截距取最大值或最小值 此時(shí)解得 所以y x的最大值為最小值為 3 x2 y2表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn)的距離的平方 由平面幾何知識(shí)可知 原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值或最小值 又圓心到原點(diǎn)的距離為2 故 反思 感悟 1 本題三問(wèn)都是求代數(shù)式的最值 它們都是利用代數(shù)式的幾何意義與取最值時(shí)所滿足的條件得出等式 通過(guò)解方程即可得出結(jié)論 2 解答圓的最值問(wèn)題 應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合 充分運(yùn)用直線的斜率 在坐標(biāo)軸上的截距 幾何性質(zhì) 來(lái)尋找解題思路 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)p x y 在圓x2 y 1 2 1上運(yùn)動(dòng) 則的最大值為 最小值為 解析 的幾何意義表示圓上的動(dòng)點(diǎn)與 2 1 連線的斜率 所以設(shè) k 即kx y 1 2k 0 當(dāng)直線與圓相切時(shí) 斜率k取最大值或最小值 此時(shí) 解得 所以的最大值為 最小值為答案 變式備選 若點(diǎn)p x y 是圓 x 1 2 y2 1上任意一點(diǎn) 求 x 2 2 y 4 2的最大值 最小值 解析 x 2 2 y 4 2表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn) 2 4 的距離的平方 因?yàn)閳A心 1 0 到點(diǎn) 2 4 的距離為所以 圓上的點(diǎn)到點(diǎn) 2 4 的距離的最大值為6 最小值為4 因此 x 2 2 y 4 2的最大值為36 最小值為16 備選類型 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 1 求軌跡方程的基本步驟 1 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 設(shè)曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為m x y 2 寫(xiě)出適合已知條件的點(diǎn)m的集合p m p m 3 用坐標(biāo)表示p m 列出方程f x y 0 4 化簡(jiǎn)方程f x y 0為最簡(jiǎn)形式 2 求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 1 直接法 直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解的方法 2 定義法 根據(jù)圓 或直線 的定義列方程求解的方法 3 幾何法 利用圓的幾何性質(zhì) 得出方程的方法 4 代入法 找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系 代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式的方法 提醒 注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別 例 長(zhǎng)為2a的線段ab的兩端點(diǎn)a b分別在x軸和y軸上滑動(dòng) 求線段ab中點(diǎn)的軌跡方程 解題指南 可設(shè)ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為 x y 再求出a b的坐標(biāo) 由距離公式及線段ab的長(zhǎng)即可得出方程 還可由ab的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為定長(zhǎng) 得出軌跡為圓 從而得出方程 規(guī)范解答 方法一 設(shè)ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為 x y 因?yàn)榫€段ab的兩端點(diǎn)a b分別在x軸和y軸上滑動(dòng) 所以a b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a 2x 0 b 0 2y 因?yàn)榫€段ab長(zhǎng)為2a 所以 化簡(jiǎn)得 x2 y2 a2 方法二 設(shè)ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為 x y 依題設(shè)知 ab的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a 所以其軌跡為以原點(diǎn)為圓心 以a為半徑的圓 其方程為x2 y2 a2 反思 感悟 1 求點(diǎn)的軌跡時(shí) 關(guān)鍵要是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)滿足的幾何條件 尋找等式 得出方程 另外 注意圓的定義的應(yīng)用 如果軌跡是圓 則可由圓心及半徑直接寫(xiě)出圓的方程 2 解答軌跡問(wèn)題時(shí) 要注意驗(yàn)證應(yīng)該刪除的點(diǎn)或遺漏的點(diǎn) 以防增解或漏解 變式訓(xùn)練 已知圓c x 1 2 y 1 2 9 過(guò)點(diǎn)a 2 3 作圓c的任意弦 求這些弦的中點(diǎn)p的軌跡方程 解析 方法一 直接法設(shè)p x y 由題意知圓心c p點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)a的弦的中點(diǎn) 又 2 x 3 y 1 x 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 0 p點(diǎn)的軌跡方程為 方法二 定義法由已知知 pa pc 由圓的性質(zhì)知點(diǎn)p在以ac為直徑的圓上 又圓心c 1 1 而ac中點(diǎn)為 所以半徑為所求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為 1 2013 漳州模擬 若圓x2 y2 6x 6y 14 0關(guān)于直線l ax 4y 6 0對(duì)稱 則直線的斜率是 a 6 b c d 解析 選d 依題意知直線l ax 4y 6 0經(jīng)過(guò)圓x2 y2 6x 6y 14 0的圓心 3 3 所以3a 12 6 0 解得a 6 所以直線l的方程為6x 4y 6 0 即3x 2y 3 0 亦即所以直線l的斜率為 2 2012 泉州模擬 圓x2 y2 4x 6y 12 0過(guò)點(diǎn) 1 0 的最大弦長(zhǎng)為m 最小弦長(zhǎng)為n 則m n 解析 選a 圓方程可化為 x 2 2 y 3 2 25 圓心為 2 3 半徑為5 2 3 與 1 0 的距離為 最小弦長(zhǎng)為最大弦長(zhǎng)m 2r 10 3 2012 莆田模擬 若圓c與y軸和直線3x 4y 2 0都相切 且圓心在第二象限 圓半徑為2 則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a x 2 y 2 2 4 b x 2 2 y 2 2 c x 2 2 y 2 4 d x 2 2 y 2 4 解析 選d 設(shè)圓心為 a b 依題意可得解得a 2 故圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 2 y 2 4 4 2012 龍巖模擬 已知圓x2 y2 2x 4y 1 0關(guān)于直線2ax by 2 0 a b r 對(duì)稱 則