線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章.docx

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章 矩陣及其運(yùn)算第一節(jié) 矩陣定義由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為m行n列矩陣。簡(jiǎn)稱矩陣，記作，簡(jiǎn)記為，。說(shuō)明元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。擴(kuò)展幾種特殊的矩陣：方陣 ：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A。 記作：An。行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。也稱行(列)向量。同型矩陣：兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。相等矩陣：AB同型,且對(duì)應(yīng)元素相等。記作：AB零矩陣：元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）對(duì)角陣：不在主對(duì)角線上的元素都是零。單位陣：主對(duì)角線上元素都是1，其它元素都是0，記作：En(不引起混淆時(shí)，也可表示為E )（課本P29P31）注意矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣，那么矩陣與的和記作，規(guī)定為說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。（課本P33）矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律；，稱為矩陣的。（課本P33）數(shù)與矩陣相乘數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律（設(shè)為矩陣，為數(shù)）；。（課本P33）矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣，其中，并把此乘積記作注意1。A與B能相乘的條件是：A的列數(shù)B的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，而且兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。3。對(duì)于n階方陣A和B，若AB=BA，則稱A與B是可交換的。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律；，若A是n 階方陣，則稱 Ak為A的k次冪，即，并且，。規(guī)定：A0E注意矩陣不滿足交換律，即，（但也有例外）（課本P36）純量陣矩陣稱為純量陣，作用是將圖形放大倍。且有，A為n階方陣時(shí)，有，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的。（課本P36）轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，如，。轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)；。（課本P39）方陣的行列式由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或（記住這個(gè)符號(hào)）注意矩陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n階矩陣是n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)。運(yùn)算性質(zhì)；（課本P40）對(duì)稱陣設(shè)A為n 階方陣，如果滿足A=AT ，即那么A稱為對(duì)稱陣。說(shuō)明對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等，如果則稱矩陣為反對(duì)稱的。即反對(duì)稱矩陣A=（aij）中的元素滿足aijaji，i，j=1，2，n伴隨矩陣行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣。性質(zhì)（易忘知識(shí)點(diǎn)）（課本P？ ）總結(jié)（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同。第三節(jié) 逆矩陣定義對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B,使得ABBAE則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。，。說(shuō)明1 A ，B互為逆陣， A = B-12 只對(duì)方陣定義逆陣。3.若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。定理1矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當(dāng)A可逆時(shí)，有（重要）（證明見課本P？ ）奇異矩陣與非奇異矩陣當(dāng)時(shí)，稱為奇異矩陣，當(dāng)時(shí)，稱為非奇異矩陣。即。推論若，則（證明見課本P？ ）求逆矩陣方法更好的求逆矩陣的方法-chapter3初等變換法（A,E)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)。（以上證明見課本P43）。總結(jié)逆矩陣的計(jì)算方法；第四節(jié) 矩陣分塊法矩陣分塊將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。分塊的目的是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算。分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則加法A與B同型，且A、B的分塊方法相同，則A與B的和定義為對(duì)應(yīng)子塊相加。數(shù)乘。 轉(zhuǎn)置。(先外轉(zhuǎn)再內(nèi)轉(zhuǎn))乘法首先AB有意義，其次A的列的分法與B的行的分法相同。，。結(jié)論分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似。分塊對(duì)角陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣）設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即，則有：。，