高二數(shù)學(xué)組合、組合數(shù)例題解析人教

高二數(shù)學(xué)組合、組合數(shù)例題解析一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 組合、組合數(shù)二. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)： 1. 組合概念：從n個(gè)不同元素中，取出m（m n）個(gè)不同元素，并成一組，其不同取法總數(shù)為。 2. 組合數(shù)公式： 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)定理： 3. 組合的應(yīng)用 4. 分組問題 難點(diǎn)： 組合的應(yīng)用：平均分組問題【典型例題】 例1. 證明：（1）Cm0CnkCm1Cnk1Cm2Cnk2CmkCn0Cnmk （2）2Cn29Cn312Cn45Cn5nCn24 證：（1）構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型 設(shè)袋中有nm個(gè)球，其中紅球n個(gè)，白球m個(gè)?，F(xiàn)從中任取k個(gè)（kminm，n），那么共有Cnmk種不同取法。 另一方面，用分類的方法考慮這個(gè)問題?？煞殖蒶1類：第1類，k個(gè)紅球；第2類，k1個(gè)紅球，1個(gè)白球；第3類，k2個(gè)紅球，2個(gè)白球；第k1類，0個(gè)紅球，k個(gè)白球。于是取法總數(shù)為CnkCm0Cnk1Cm1Cn0Cmk。但這兩種算法結(jié)果應(yīng)是相等的，因此等式成立 例2. 求和：。 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式 例3. 解方程 解：由方程可知，x2根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)2，將原方程化為 x25x140，解得 x2或 x7（舍） 說明：解含有組合數(shù)，排列數(shù)的方程時(shí)，應(yīng)靈活利用組合數(shù)性質(zhì)定理，以及和的定義式。此外還要注意其中m和n的取值范圍。在具體求解方程時(shí)，其基本方向就是化簡(jiǎn)方程，減少方程中的項(xiàng)數(shù)，使之轉(zhuǎn)化為我們熟知的整式方程。 例4.（1）從1，2，3，12中任選4個(gè)數(shù)相加，其和為奇數(shù)的共有多少種？ （2）從9所中學(xué)選派12名教師組成代表團(tuán)，每校至少1人參加，問有多少種不同選派方法？ （3）由12人組成文娛小組，其中5人只會(huì)唱歌，5人只會(huì)跳舞，2人又會(huì)唱歌又會(huì)跳舞?，F(xiàn)從這12人中選派4人會(huì)唱歌4人會(huì)跳舞的去排練節(jié)目，共有多少種選法？ 解：（1）分兩類：3個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，共有C63C61種選法。1奇，3偶，不同選法也是C61C63種。故所求總數(shù)為2C61C63種。 （2）每校選1人已定，只剩3個(gè)名額尚須選派。分三類：3名全從同一個(gè)學(xué)校選，共有C91種選法；從兩個(gè)學(xué)校選派3人，可以是甲2乙1或甲1乙2，故不同選法總數(shù)為2C92；從3個(gè)不同學(xué)校各選1人，有C93種選法。 故所求總數(shù)為C912C92C93。 （3）關(guān)鍵在于2個(gè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人是否被選，并且選中后，他們表演什么節(jié)目（唱歌還是跳舞）。分6類：這2人被選為唱歌人選，其他6人選法有C52C54種；2人被選為跳舞人選，也有C52C54種選法；2人被選，其中一人唱歌一人跳舞，共有2C53C53種選法；2人中只選1人唱歌，有C21C53C54種選法；2人中只選1人跳舞，也有C21C53C54種選法；這2人都沒選上，那么有C54C54種選法。 故所求總數(shù)為2C52C542C21C53C542C53C53C54C54525。 例5. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取四個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有多少種？ 分析：用直接法考慮：設(shè)四面體為ABCD，底面BCD為平面分四類情況考慮： 類：恰有2個(gè)點(diǎn)有內(nèi)，可分兩種情況：該兩個(gè)點(diǎn)在四面體的同一條棱上，有（種）；該兩個(gè)點(diǎn)不在同一條棱上，有（種） 類：恰有1個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，可分兩種情況：該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，有339（種）；該點(diǎn)是棱的端點(diǎn)，有326（種） 類：4個(gè)點(diǎn)全不在內(nèi)，只有1種取法，由加法原理，可得： 解：682730961141（種） 用間接法考慮：先從10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)，有種取法，其中所取4點(diǎn)是共面的情況可分為兩類： 類：4點(diǎn)不在四面體的同一個(gè)面內(nèi)，可分兩種情形：4點(diǎn)位于相對(duì)的兩條棱上，這時(shí)必然3點(diǎn)位于某棱，而另一點(diǎn)是對(duì)棱的中點(diǎn)，共有6種取法；4點(diǎn)不位于相對(duì)的棱上，這時(shí)4點(diǎn)必然全為棱的中點(diǎn)，且是平行四邊形的頂點(diǎn)，共有3種取法 解：綜上可得，（種） 答：不同的取法共有141種。 例6. 現(xiàn)有張、王、李三位教師分別到6個(gè)班任課，求下列情況下不同的分班法各有多少種？（1）分給張、王、李老師依次1個(gè)班，2個(gè)班，3個(gè)班；（2）每位教師都2個(gè)班；（3）6個(gè)班分成3組，兩個(gè)組各1個(gè)班，另一組4個(gè)班；（4）分配給三位教師，某一人1個(gè)班，一個(gè)人2個(gè)班，一人3個(gè)班；（5）分配給三位教師，一人4個(gè)班，另2人各1個(gè)班。 解：（1）不同的分班種數(shù)為（種） （2）不同的分法種數(shù)為（種） （3）種方法中有重復(fù)，如中選A，選B，選到C、D、E、F，與選B，選到A，選到C、D、E、F，分組又順序，所以這兩種是同一種分組，重復(fù)主要產(chǎn)生于與選擇分組上面，所以應(yīng)去除掉，因此，符合題意的不同的分法種數(shù)為（種） 師，又不限定老師任課的任教，每位教師都會(huì)有各種任教法，所以有順序問題，因此，分完組的步驟完成后再完成排序的步驟，這樣符合題意的不同分法種數(shù)為 例7. （1）5個(gè)相同的球，放入3個(gè)不同房間中，每個(gè)房間放球個(gè)數(shù)不限，共有多少種不同放法？（2）n個(gè)相同的球，放入m個(gè)不同房間中，每個(gè)房間放球個(gè)數(shù)不限，共有多少種放法？（3）不定方程x1x2x3x4x58的非負(fù)整數(shù)解共有多少個(gè)？ 解:（1）我們用圖直觀地表示第1房有2球，第2房有1球，第3房有2球；其余類推。把5個(gè)球與2個(gè)隔墻看成7個(gè)元素。其全排列的個(gè)數(shù)為7！個(gè)。但5個(gè)球是相同的、兩面墻也是相同的，它們各自的5！及2！排列分別只能算作1種。 （2）類似可得Cnm1n。 （3）與（1）類比，設(shè)想xi分別表示第i個(gè)房中球的個(gè)數(shù)。據(jù)（1）中的分析，可知所求不定方程的非負(fù)整數(shù)解有C8518C128C124個(gè)。 例8. 某球隊(duì)與另10個(gè)球隊(duì)各比賽1場(chǎng)，共10場(chǎng)比賽，問五勝三負(fù)二平的一切可能情況為多少種。 解：作如下設(shè)想：“勝”表示“紅球”，“平”表示“黃球”，“負(fù)”表示“白球”，于是原題轉(zhuǎn)換成：5個(gè)紅球、2個(gè)黃球、3個(gè)白球排成一排，有多少種排法。先把10個(gè)球看成不同的，共有10！種排法。當(dāng)黃球和白球的位置固定后，5個(gè)紅球有P55種排法，但它們實(shí)質(zhì)上是同一排列，故應(yīng)將10！除以5！。對(duì)白球和黃球可作類似的分析。 注：一般，若有r1個(gè)相同的第1種球，r2個(gè)相同的第2種球，rs個(gè)相同的第s種球，其中r1r2rsn，那么這n個(gè)球的不同排列總數(shù)為。 例9. f是集合 Ma，b，c，d到集合 N0，1，2的映射，滿足f（a）f（b）f（c）f（d）4，則不同的映射的個(gè)數(shù)有多少？ 分析：由于f是集合M到集合N的映射，可知M中的每一個(gè)元素在集合N中有象且惟一。而M集中的元素a，b，c，d的象分別是f（a），f（b），f（c），f（d），當(dāng)然應(yīng)屬于集合N。這樣M中元素可能出現(xiàn)多個(gè)對(duì)一個(gè)的可能，這樣就有f（a）0，f（b）0，等情況，只需取0，1，2中任意四個(gè)元素，（包括可重復(fù)的）組成四個(gè)數(shù)的和等于4，就可求得滿足題設(shè)的映射。 解：0112002211114 當(dāng)象的和為0112時(shí)，M中元素與N中元素的對(duì)應(yīng)方法可分為三步。第一步，M中4個(gè)元素任取一個(gè)與0對(duì)應(yīng)，有種對(duì)應(yīng)方法，余下有3個(gè)元素；第二步，從余下的3個(gè)元素任取一個(gè)與2對(duì)應(yīng)，有種對(duì)應(yīng)方法，余下有兩個(gè)元素；第三步，讓M中余下的兩個(gè)元素都對(duì)應(yīng)N中的元素1，有1種方法。 當(dāng)象分別是0，1，1，2時(shí)，滿足0112的映射有個(gè)。 是分類進(jìn)行的 滿足題設(shè)的映射共有 說明：集合M到N的映射，應(yīng)滿足M中任一個(gè)元素在f作用下在集合N中有象且唯一，反之N中元素在M中的原象不一定唯一?！疽呻y解析】 1. 組合與排列的聯(lián)系和區(qū)別 相同點(diǎn)：排列和組合都是從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素 不同點(diǎn)：排列與組合的區(qū)別在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”，其實(shí)質(zhì)就是取出的元素是不是存在順序上的差異因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標(biāo)志是：是否與元素的排列順序有關(guān)有順序的是排列問題，無順序的則是組合問題例如123和321，132是不同的排列，但它們都是相同的組合再如兩人互通一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題 2. 組合與組合數(shù) 和排列與排列數(shù)之間的區(qū)別一樣，“組合”和“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一個(gè)組合是指“從n不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素，并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)靈敏，例如，從3個(gè)元素a、b、c每次取出2個(gè)元素的組合為：ab，ac，bc，其中每一種都叫一個(gè)組合，共3種，而數(shù)字就是組合數(shù) 3. 對(duì)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)的理解。 （1）要能利用組合數(shù)的意義來理解兩項(xiàng)性質(zhì)。 因?yàn)閺膎個(gè)不同的元素中取出m元素后，就剩下nm個(gè)，因此從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的方法，與從n個(gè)元素中取出nm個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的，這就是性質(zhì)1揭示的意義。 在確定從n1個(gè)元素中取m個(gè)元素的方法時(shí)，對(duì)于某一個(gè)元素，只存在取與不取的兩種可能。 如果取這一個(gè)元素，則需從剩下的n個(gè)元素中取出m1個(gè)元素，所以共有種。 如果不取這一個(gè)元素，則需從剩下的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有種。 由加法原理，得： 上述推理過程中可以看成是對(duì)組合數(shù)兩個(gè)性質(zhì)的構(gòu)造性證明。這種方法不僅可以加深我們對(duì)公式的理解，而且也是證明組合恒等式等問題的一種重要思路。 （2）利用組合數(shù)及組合數(shù)的性質(zhì)可推出如下兩個(gè)常用結(jié)論。 （3）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，和，在有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明等方面有著廣泛的應(yīng)用。 4. 組合應(yīng)用題 無限制條件的組合應(yīng)用題：解法步驟：一判斷二轉(zhuǎn)化三求值四作答。 有限條件的組合應(yīng)用題。 a. 類型：“含”與“不含”的問題； b. 解法：直接法、間接法、可將條件視為特殊元素與特殊位置，一般來講，特殊者優(yōu)先滿足，其余則“一視同仁”； c. 分類的依據(jù)：“至多”、“至少”。 （3）排列、組合綜合題 一般解法：先選元素后排列，同時(shí)注意按元素的性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分步。類型：分組、分配、群排列等。 5. 解排列組合問題的基本思路： （1）對(duì)帶有限制條件的排列問題，要掌握基本的解題思想方法。 有特殊元素或特殊位置的排列，通常是在選排特殊的元素或特殊位置； 元素必須相鄰的排列，可以先將相鄰的元素看作一個(gè)整體； 元素不相鄰的排列，可以制造空檔插進(jìn)去； 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序排列后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求結(jié)果。 （2）處理幾何中的計(jì)算問題，注意“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，如不共線三點(diǎn)對(duì)一個(gè)三角形，不共面四點(diǎn)可以確定一個(gè)四面體等等，可借助圖形來幫助思考，并善于利用幾何性質(zhì)于解題中。 （3）對(duì)于有多個(gè)約束條件的問題，可以通過分析每個(gè)約束條件，然后再綜合考慮是分類或分步，或交替使用兩個(gè)原理，也可以先不考慮約束條件，然后扣除不符合條件的情況獲得結(jié)果。 （4）要注意正確理解“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等詞語的確切含意。 一、選擇題： 1. （2003年北京市東城區(qū)三模試題）從不同品牌的4臺(tái)快譯通和不同品牌的5臺(tái)錄音筆中任意抽取3臺(tái)，其中至少要有快譯通和錄音筆各1臺(tái)，則不同的取法共有（ ） A. 140種 B. 84種 C. 70種 D. 35種 2. 用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A. 24個(gè) B. 30個(gè) C. 40個(gè) D. 60個(gè) 3. 從9名男同學(xué)和6名女同學(xué)中選出5人排成一列，其中至少有2名男生，則不同排法有（ ） A. B. C. D. 4. 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有種（用數(shù)字作答）。 5. （2003年北京市豐臺(tái)區(qū)一模試題） 在某班學(xué)生中，選出3個(gè)組長(zhǎng)的總方法數(shù)與只選出正、副班長(zhǎng)的總方法數(shù)之比為14:3，則該班學(xué)生的人數(shù)為 （ ） A. 25人 B. 30人 C. 35人 D. 40人 6. （2003年北京市朝陽區(qū)一模試題） 圓周上有12個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（ ） A. B. C. D. 7. 書架上有不同的數(shù)學(xué)與外文參考書共7本，現(xiàn)取2本數(shù)學(xué)書，1本外文書借給3位同學(xué)，每人一本，共有72種借法，則數(shù)學(xué)與外文書的本數(shù)分別為（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 5，2 D. 2，5二、填空題： 8. 從6個(gè)男生，5個(gè)女生中選出5個(gè)代表，要求其中至少有2個(gè)男生，2個(gè)女生，則不同的選法共有_種 9. （2003年全國(guó)高考文理科、廣東高考題） 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法有_種（以數(shù)字作答） 10. （2003年天津理科高考、江蘇高考題）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）。現(xiàn)要裁種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_種（以數(shù)字作答） 三、解答題： 11. 從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別去承擔(dān)A、B、C、D、E五項(xiàng)工作，一共有多少種分配方案？ 12. 將6本不同的書依次按下列方法分配，各有多少種不同的分法？ （1） 分給甲、乙、丙三人，每人2本； （2） 分成三堆，每堆2本； （3） 分給甲3本，乙2本，丙1本； （4） 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本； （5） 分給甲、乙、丙三人，其中一人得3本、一人得2本、一人得1本 13. （1）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不同的放法？ （2）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？ 14. 從編號(hào)為1，2，3，10，11的共11個(gè)球中，取出5個(gè)球，使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？ 15. 現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德語翻譯工作（其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？ 16. 甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不值周六，問可以排出多少種不同的值周表 ？ 17. 6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？ 18. 從7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成4100米接力隊(duì)，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？ 19. 在1，3，5，7，9中任取3個(gè)數(shù)字，0，2，4，6，8中任取兩個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)不同的五位數(shù)偶數(shù) 20. 有6本不同的書，以下各種情況各有幾種借書方法。 （1）分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆一本； （2）分給甲、乙、丙三人，甲得3本，乙得2本，丙得1本； （3）分給3個(gè)人，一個(gè)人得3本，一個(gè)人得2本，一個(gè)人得1本； （4）平均分給3個(gè)人； （5）平均分成三堆。 21. 已知平面，在內(nèi)有4個(gè)定點(diǎn)，在內(nèi)有6個(gè)定點(diǎn)（1）經(jīng)過3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)（不同的）平面？（2）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可構(gòu)成多少個(gè)三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少種不同的體積？ 22. 某校高二年級(jí)有6個(gè)班，現(xiàn)要從中選出10人組成高二年級(jí)女子籃球隊(duì)參加高中年級(jí)籃球比賽，且規(guī)定每班至少要1人參加。這10個(gè)名額有多少種不同的分配方案？參考答案 1. 分兩類：1臺(tái)快譯通和2臺(tái)錄音筆，或2臺(tái)快譯通和1臺(tái)錄音筆，且每類辦法中都需分兩步完成，又取法與順序無關(guān)，屬組合問題，所以不同的取法共有 40 30 70 （種），故選C。 2. 分兩步： 第一步排個(gè)位：個(gè)位只能是2或4，有2種排法； 第二步排十位和百位：有種排法 所以，滿足條件的三位數(shù)有2 24 （個(gè)），故選A。 3. 分兩步：第一步：從9名男同學(xué)和6名女同學(xué)中選出5人的方法有種，其中沒有男生和只有1名男生的選法共有 141（種），故從9名男同學(xué)和6名女同學(xué)中選出5人，使得其中至少有2名男生的不同取法有（- 141）種； 第二步：將選出的5人作全排列，共有不同排法種 所以，應(yīng)選D。 注意：選出的5人中至少有2名男生的情況包括有2名男生、有3名男生、有4名男生、有5名男生四種，而結(jié)論的后面是沒有男生和只有1名男生兩種情況，因此，第一步中采用間接法較簡(jiǎn)便。對(duì)于有限制條件的排列組合問題，應(yīng)根據(jù)具體情況靈活選用直接法和間接法。 4. 選空盒有種選法，捆住兩個(gè)小球有種方法，再一球與一盒一一對(duì)應(yīng)，有種方法。由乘法原理，共有放法 144 （種）。 5. 設(shè)該班學(xué)生的人數(shù)為n，則選出3個(gè)組長(zhǎng)（與順序無關(guān)）的總方法數(shù)為；只選出正、副班長(zhǎng)（與順序有關(guān)）的總方法數(shù)為由題意得，3 14，即3n （n - 1） （n - 2） /6 14n （n - 1），由排列數(shù)的意義知，n 2， 可得n - 2 28，即n 30，故選B。 評(píng)注：這里，由于選出的3個(gè)組長(zhǎng)沒有具體分工，因此與順序無關(guān)，屬組合問題；而選正、副班長(zhǎng)則與順序無關(guān)，屬排列問題 6. 注意到圓周上任意四點(diǎn)可唯一確定一個(gè)圓內(nèi)接凸四邊形，且此四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)在圓內(nèi)要使這些弦的交點(diǎn)最多，則應(yīng)使這些交點(diǎn)互不重合故圓周上任意四點(diǎn)可唯一確定一個(gè)滿足條件的點(diǎn)，從而這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是，應(yīng)選D。 評(píng)注：其實(shí)，對(duì)于本題來說，只需稍加分析便可排除A、B、C三個(gè)答案：顯然，本題不是排列問題，因而不可能為A或B；又C也很明顯是錯(cuò)誤的，從而應(yīng)選D. 其實(shí)，本題最容易犯的錯(cuò)誤應(yīng)該是：從12個(gè)點(diǎn)中任選2點(diǎn)作一條弦，再?gòu)挠嘞碌?0個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)作另一條弦，使交點(diǎn)最多的是這些弦中的任意兩條都交于一點(diǎn)，且這些點(diǎn)互不重合，因而得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是，而這一結(jié)果實(shí)際上是這12個(gè)點(diǎn)所確定的直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況。 此外，對(duì)于與排列組合有關(guān)的問題，當(dāng)數(shù)值較大難以辨別其正誤時(shí)，我們往往可以將問題簡(jiǎn)化。如上述錯(cuò)解，我們可將原題中的12個(gè)點(diǎn)減少到只有4個(gè)點(diǎn)，這時(shí)過其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)顯然只有1個(gè)，而按錯(cuò)解的方法應(yīng)得6（個(gè)），由此即可判斷上述解法是錯(cuò)的了。 7. C 8. 由題設(shè)知，滿足條件的選法有兩類：2男3女，或3男2女，由于選出的代表與順序無關(guān)，因此，這是組合問題。 選2男3女的方法有種；選3男2女的方法有種。 由加法原理，得滿足條件的不同選法共有 150 200 350 （種）。 9. 可分為三類（由區(qū)域的特殊性，可用3色或4色但不能用2色或1色）： 第一類：用3種顏色，3、5同色且2、4同色，著色方法有種； 第二類：用4種顏色，且3、5同色，著色方法有種； 第三類：用4種顏色，且3、5不同色，則2、4必同色，著色方法有種 由加法原理，滿足條件的不同著色方法有 72 （種） 注意：本題中，選出的顏色還須著到地圖上，因而屬排列問題，故不能寫成等 解法二：用“捆綁法”，上法中第一類可將3、5“捆綁”在一起，將2、4也“捆綁”在一起，這樣就相當(dāng)于從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素去占3個(gè)不同的位置，有種方法；同理，第二類和第三類各有著色方法種，故有不同著色方法2 72 （種） 10. 這里，由于要裁種4種不同顏色的花（因?yàn)槊坎糠忠苑N一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，因此，花的顏色也不可能少于4種）我們可先將6個(gè)部分分成4組，然后將4種不同顏色的花依次栽種上去 解：由圖知，沒有互不相鄰的3部分，而第1部分與其余5個(gè)部分都相鄰，因此，我們可將6個(gè)部分分成4組，其中兩組各含兩個(gè)部分（不相鄰），另兩組各含一個(gè)部分按含兩部分的組來劃分，分組方案共有五類： 第一類：第2、4部分為一組，第3、5部分為一組； 第二類：第2、4部分為一組，第3、6部分為一組； 第三類：第2、5部分為一組，第3、6部分為一組； 第四類：第2、5部分為一組，第4、6部分為一組； 第五類：第3、5部分為一組，第4、6部分為一組 顯然，每類辦法中都有種不同的栽種方法，故滿足條件的不同栽種方法共有5120 （種）。 注意：以上兩題說明，高考中對(duì)于排列組合應(yīng)用問題的考查，不僅要求我們正確區(qū)分屬于排列問題還是屬于組合問題，需要分類還是需要分步，而且對(duì)我們分析問題和解決問題的能力也提出了較高的要求。 第10題的實(shí)質(zhì)與第9題相同，相當(dāng)于一個(gè)涂色問題對(duì)于涂色問題，一定要根據(jù)圖形的具體形狀，正確分類或分步，否則極易出錯(cuò)如第10題容易錯(cuò)解成： 分六步完成： 第一步：先栽種第6部分，有4種方法； 第二步：再栽種第2部分，有3種方法（與第6部分不同色）； 第三步：栽種第1部分，有2種方法（與第2、6部分不同色）； 第四步：栽種第5部分，有2種方法（與第1、6部分不同色）； 第五步：栽種第3部分，有2種方法（與第1、2部分不同色）； 第六步：栽種第4部分，有1種方法（與第1、3、5部分不同色）。 由乘法原理得，滿足條件的不同栽種方法共有4 3 2 2 2 1 96 （種） 第9題也有類似的錯(cuò)解。 思考：請(qǐng)想一想，以上錯(cuò)解的錯(cuò)因何在？ 11. 可分三步完成，選3名男同學(xué)有種選法，選2名女同學(xué)有種，對(duì)選出的5人分配5種不同的工作有種方法，根據(jù)乘法原理，共有不同的分配方案： 14400 （種） 解法二：把工作當(dāng)“元素”，同學(xué)當(dāng)“位子”，第一步，從5種工作中任選3種（組合問題）分給6個(gè)男同學(xué)中的3人（排列問題）有種方法，第二步，將余下的2個(gè)工作分給4個(gè)女同學(xué)中的2位有種方法，根據(jù)乘法原理，共有不同的分配方案： 14400 （種） 也可先給女同學(xué)分配工作，再給男同學(xué)分配工作，分配方案共有： 14400 （種） 小結(jié)：此題是排列組合綜合問題，解此類問題的方法是先組合后排列 12.（1）每人從6本書中取出兩本書與順序無關(guān)，屬組合問題分三步： 第一步：甲從6本書中任取2本，有種不同的方法； 第二步：乙從余下的4本書中任取2本，有種不同的方法； 第三步：丙取最后剩下的2本，有種不同的方法 由乘法原理，共有不同的分法 90 （種） （2）將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本這件事可分為兩大步完成： 第一步：將6本書分成三堆，每堆2本，設(shè)有x種分法； 第二步：將三堆書分給甲、乙、丙三人，每人一堆，有種分法 由（1）知，x，故x 15， 即共有不同的分法15種 （3）與（1）類似，共有不同的分法 60 （種） （4）因?yàn)榧椎?本，乙得2本，丙得1本的每一種分法都唯一地對(duì)應(yīng)一種“分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本”的分堆方法，所以，共有不同的分堆方法 60 （種） （5）由（3）知，分給甲3本，乙2本，丙1本的方法有種，但本小題中沒有指定誰得3本，誰得2本，誰得1本，而按得書多少來分，又有不同的分配方案，故一人得3本，一人得2本，一人得1本的分法共有360 （種） 注意：（i） 分書過程中要分清：是均勻分配還是非均勻分配；是有序分配還是無序分配，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 （ii） 特別是均勻分配時(shí)，要注意算法中的重復(fù)問題一般地，把mk個(gè)不同的元素平均分給m個(gè)人，每人k個(gè)元素，共有種不同的方法；把mk個(gè)不同的元素平均分給m組，每組k個(gè)元素，共有種不同的方法前者屬于有序均勻分配問題，后者屬于無序均勻分配問題 （iii） 有時(shí)只是部分地均勻分配，這類問題的解法與均勻分配問題相類似例如本題中，若 （6）分給甲、乙、丙3人，其中一人4本，另兩人每人1本； （7）分成三堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本 則可得： （6）方法數(shù)為；（屬部分均勻地分給人的問題部分均勻有序分配） （7）方法數(shù)為（這是部分均勻地分堆的問題部分均勻無序分配） 13. 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法。 （捆綁法）第一步從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法，第二步從四個(gè)不同的盒取其中的三個(gè)將球放入有種方法所以一共有144種方法. 14. 分為三類：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有 所以一共有 15. 我們可以分為三類： 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有； 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有； 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有 所以一共有42種方法 16. 解法一：（排除法） 解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有；另一類為甲不值周一，但值周六，有所以一共有42種方法 17. 第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法；第二步將5個(gè)“不同元素（書）”分給5個(gè)人有種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有1800種方法 變題1：6本不同的書全部送給5人，有多少種不同的送書方法？ 變題2：5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法？ 變題3：5本相同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法？ 答案：1. ； 2. ； 3. 18. 分析：此問題可以分為兩個(gè)步驟解決，先決定誰參加接力隊(duì)，再安排他們的跑棒順序，從7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成接力隊(duì)，是組合問題依題意，要考慮三種情況；4人中不含甲和乙的；4人中只含甲、乙之一的；4人中同時(shí)包含甲和乙的，安排誰跑哪一棒屬排列問題，限制條件是甲、乙兩人都不跑中間兩棒。 解：直接法，先計(jì)算：接力隊(duì)中不含甲和乙的排法有種，因這4人誰跑哪都行，故有種安排方法；接力隊(duì)中含甲（或）乙的選法有種，組隊(duì)后選給甲（或乙）安排棒次，甲（或乙）只能跑第一或第四棒，即有種方法，其余三棒由剩下的3人跑，有方法，依乘法原理，有種安排方法；接力隊(duì)中同時(shí)包含甲和乙的選法有種，因甲、乙不能跑中間兩棒，故讓他們跑首末兩棒，其余二人跑中間兩棒，各有種方法，依乘法原量，有種安排方法。 根據(jù)加法原理，甲、乙都不跑中間兩棒的安排方法共有 19. 分析：因?yàn)榱悴荒茏魇孜粩?shù)，所以是特殊元素，因此可以根據(jù)選零不選零為分類標(biāo)準(zhǔn) 解：第一類：五位數(shù)中不含數(shù)字零 第一步：選出5個(gè)數(shù)字，共有種選法； 第二步：排成偶數(shù)先排末位數(shù)，有種排法，再排其它四位數(shù)字，有種排法。 第二類：五位數(shù)中含有數(shù)字零 第一步：選出5位數(shù)字，共有種選法。第二步：排順序又可分為兩小類：末位排