高二數(shù)學(xué)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)知識(shí)精講人教

高二數(shù)學(xué)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)知識(shí)精講一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 6.2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 目標(biāo)：初步理解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念，初步掌握重要不等式“如果a、bR，并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和求值。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：重要不等式及定理。 難點(diǎn)：重要不等式及定理的應(yīng)用。知識(shí)要點(diǎn)介紹 故有下面兩個(gè)重要結(jié)論： 定理 該定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 中項(xiàng)，那么該定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。 下面我們結(jié)合圖形來(lái)看看該定理的意義： 以ab長(zhǎng)的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使ACa，CBb。 過(guò)點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD，連結(jié)AD、DB，易證RtDACDRtDDCB，那么CD2CACB 其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號(hào)“”成立。 故該定理的幾何意義是“半徑不小于半弦” 學(xué)習(xí)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： 前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者則要求a、b都是正數(shù)。 （2）這兩個(gè)不等式都是帶有等號(hào)的不等式，因此對(duì)定理中“當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取號(hào)”這句話的理由要搞清楚。 （3）應(yīng)用這兩個(gè)不等式可以證明其他不等式。當(dāng)然它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)證出的，因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)來(lái)證明。 在利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值、最小值時(shí)，要注意： （1）函數(shù)式中，各項(xiàng)必須都是正數(shù)。 （2）函數(shù)式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，才能利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值或最小值?！纠}分析】 例1. 分析： 證明： 說(shuō)明：對(duì)于與“三項(xiàng)和”有關(guān)的不等式證明問(wèn)題常常將“三項(xiàng)和”拆成“六項(xiàng)和”。 例2. 小。 分析： 解： 說(shuō)明：解答本題前應(yīng)弄清各種符號(hào)的意義及運(yùn)算關(guān)系、運(yùn)算性質(zhì)。 例3. 錯(cuò)誤解法： 錯(cuò)誤原因：兩次用不等式a2b22ab，等號(hào)要同時(shí)取到，若ad且bc，則abcd，與已知ab7，cd5矛盾，故不可能同時(shí)有ad且bc。 正確解法： 說(shuō)明： （2）使用不等式求最值要注意其條件，特別是“能否相等”，盡量減少“等號(hào)”成立的次數(shù)。 例4. 錯(cuò)解： 錯(cuò)誤原因：立，也就是說(shuō)使等號(hào)成立的t不存在，故上面解法是錯(cuò)誤的。 正確解法： 說(shuō)明：(1)使用不等式求函數(shù)的最值，一定要確定“”能否取得。 例5. 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元。 （1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛。 解： 故所求函數(shù)及其定義域?yàn)椋?（2）依題意知a、b、S、v均為正數(shù) 時(shí)，行駛速度應(yīng)為vc。 說(shuō)明：抓住基本關(guān)系：全程成本每小時(shí)成本時(shí)間，成本可變成本固定成本，列出函數(shù)關(guān)系式。求最值時(shí)要注意變量的定義域。一. 選擇題： 1. 已知，則的最小值是（ ） A. 4B. 8C. 12D. 16 2. 設(shè)x、y都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中等號(hào)不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)，且，下列各式中最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，且，則的最小值是（ ） A. 10B. C. D. 5. 已知函數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，設(shè)，則M、N、P的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，那么xy（ ） A. 無(wú)最大值也無(wú)最小值 B. 無(wú)最大值而有最小值 C. 有最大值而無(wú)最小值 D. 有最大值也有最小值二. 填空題： 7. 設(shè)，則 8. 9. 已知x、y滿足，則的最小值是_ 10. 在中，A、B、C分別是邊a、b、c的所對(duì)的角，若a、b、c成等差數(shù)列，則的范圍是_。 11. 建造一個(gè)容積為，深為2m的長(zhǎng)方體蓄水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總價(jià)為_(kāi)元。三. 解答題（本大題共3小題，共17分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 12. （本小題滿分5分） 已知：a、b、c為實(shí)數(shù)，求證： 13. （本小題滿分6分） 已知：實(shí)數(shù)a、b、c滿足，求證： 14. （本小題滿分6分） 某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元逐年遞增，問(wèn)這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的平均費(fèi)用最少）？參考答案http:/www.DearEDU.com一. 1. B2. A3. C4. D5. D6. C二. 7. 8. 1 29. 10. 11. 1760三. 12. 證明：a、b、c為實(shí)數(shù)