矩陣可對角化的充分必要條件論文.doc

學號 20080501050116 密級 蘭州城市學院本科畢業(yè)論文蘭州城市學院本科畢業(yè)論文 矩陣可對角化的充分必要條件 學 院 名 稱 數學學院 專 業(yè) 名 稱 數學與應用數學 學 生 姓 名 練利鋒 指 導 教 師 李旭東 二 一二年五月 BACHELOR S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College Mathematics Subject Mathematics and Applied Mathematics Name Lian Lifeng Directed by Li Xudong May 2012 鄭鄭 重重 說說 明明 本人呈交的學位論文 是在導師的指導下 獨立進行研究工作所取 得的 所以數據 資料真實可靠 盡我所能 除文中已經注明應用的 內容外 本學位論文的研究成果不包含他人享有的著作權的內容 對 本論文所涉及的研究工作做出的其他個人和集體 均已在文中以明確 的方式標明 本學位論文的知識產權歸屬于培養(yǎng)單位 本人簽名 日期 摘摘 要要 矩陣是否可以對角化 是矩陣的一條很重要的性質 對相似可對角化的充 分必要條件的理解 一直是線性代數學習中的一個困難問題 本文給出了矩陣 可對角化的幾個充分必要條件和相應的證明 關鍵詞關鍵詞 方陣 特征值 特征向量 對角化 ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized has been a difficult problem in linear algebra In this paper several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given Key words square eigenvalue eigenvector diagonalization 目 錄 第 1 章 緒論 1 第 2 章 矩陣可對角化的概念 2 2 1 特征值 特征向量的概念 2 2 2 矩陣可對角化的概念 2 第 3 章 矩陣可對角化的充分必要條件 4 3 1 矩陣可對角化的充分必要條件及其證明 4 3 2 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟 8 第 4 章 矩陣可對角化的應用 9 第 5 章 結論 11 參考文獻 12 致 謝 13 1 第第 1 1 章章 緒論緒論 矩陣是高等代數中的重要組成部分 是許多數學分支研究的重要工具 而 對角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類 其形式簡單 研究起來也非常方便 研 究矩陣的對角化及其理論意義也很明顯 矩陣相似是一種等價關系 對角化相 當于對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式 這對理論分析是方 便的 相似的矩陣擁有很多相同的性質 比如特征多項式 特征根 行列 式 如果只關心這類性質 那么相似的矩陣可以看作是沒有區(qū)別的 這時研 究一個一般的可對角化矩陣 只要研究它的標準形式 一個對角形矩陣就可 以了 而對角矩陣是最簡單的一類矩陣 研究起來非常方便 線性代數中矩陣是否可以對角化 是矩陣的一條很重要的性質 矩陣對角化 也是 高等代數 和 線性代數 中矩陣理論這一部分的主要內容 人們對此 研究得出了很多有用的結論 諸如一些充要條件 階方陣可以對角化的充要nA 條件是它有個線性無關的特征向量 方陣可以對角化的充要條件是它的最小nA 多項式沒有重根 還有復方陣可以酉相似于對角形矩陣的充要條件是它為正A 規(guī)矩陣 此外 還有一些充分條件 然而 所有這些結論都相對比較抽象 特別是 對于大學一年級的新生 抽象化的結論不便于學生的理解和記憶 因此 一些學 生在學完 高等數學 和 線性代數 的相關知識后不久 便相繼忘掉了一些重 要的結論 但是 一個普遍的現象是這些學生對高中 初中的數學知識比較熟悉 且 記憶深刻 因此 若能將一些大學數學知識和高中 初中的一些知識進行類比 則這些新的數學知識與理論便會易于理解和記憶 在本課題中通過閱讀參考文獻 查閱相關資料 初步總結出了矩陣可對角化 的若干充分必要條件 并給予了相應的證明過程 2 第第 2 2 章章 矩陣可對角化的概念矩陣可對角化的概念 2 2 1 1 特征值 特征向量的概念特征值 特征向量的概念 定義 1 設是數域上線性空間的一個線性變換 如果對于數域中的APVP 一個數存在一個非零向量使得 那么稱為的一個特征值 而 0 0 A 0 A 稱為的屬于特征值的一個特征向量 A 0 求方陣的特征值與特征向量的步驟 A 1 由特征方程 0 求得的個特征值 設是的互異特征值 其AE An t 21 A 重數分別為則 t nnn 21 nnnn t 21 2 求解齊次線性方程組 其基礎解系 0 XAE i ti 2 1 s iii ppp 21 就是所對應特征值的線性無關的特征向量 tins ii 2 11 A i 2 22 2 矩陣可對角化的概念矩陣可對角化的概念 定義 2 設是矩陣上一個階方陣 如果存在數域上的一個可逆矩陣AFnF 使得為對角形矩陣 那么就說矩陣可以對角化 PAPP 1 A 任意方陣的每一個特征值都有一個與之相對應的特征向量滿足A i i P 則這個方程可以寫成 iii PAP n 1 2 i 1 nn PPPPPPA 2121 n 2 1 我們定義矩陣 則 1 式可寫成 n PPPP 21 n diagB 21 PBAP 若矩陣是可逆陣 則有P n diagBAPP 21 1 引理1 設 都是階矩陣 則有秩 秩 秩 ABn AB A nB 引理2 設 為階方陣的所有互異特征值 則矩陣的 s 21 ns nAA 線性無關的特征向量的最大個數為 IArIArIArsn s 21 證明 設 為階方陣的所有互異特征值 因為特征值 s 21 ns nA 相應的線性無關的特征向量的最大個數即為線性方程組 i s 1 2 i 的基礎解析所含向量的個數 所以特征值 相應的 0 XIA i ns s 21 線性無關的特征向量的最大個數分別為 IArn i IArn 2 3 而矩陣的不同特征值的線性無關的特征向量并在一起仍然線性 IArn s A 無關 從而 矩陣線性無關的特征向的最大個數為A IArIArIArsn s 21 引理3 設為階方陣 是任意兩兩互異的數 則An s 21 nsIArIArIArIAIAIAr ss 1 2121 4 第第 3 3 章章 矩陣可對角化的充分必要條件矩陣可對角化的充分必要條件 3 1 矩陣可對角化的充分必要條件及其證明矩陣可對角化的充分必要條件及其證明 定理1 數域上階方陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關PnAAn 的特征向量 證明 1 充分性 假設是矩陣的個線性無關的特征向量 n PPP 21 An 即有 令矩陣由特征向量組成 iii PAP n 1 2 i n PPPP 21 n PPP 21 因為是線性無關的 因此矩陣是非奇異矩陣 其逆矩陣記為 n PPP 21 P 1 P 根據逆矩陣的定義有 另一方面 由易知 PP 1 n PPPPPP 1 2 1 1 1 iii PAP 給此式左乘矩陣 則有 n APAPAPAP 21 nnP PP 2211 1 P n IAPP 1 n 2 1 n 2 1 即充分性得證 2 必要性 令矩陣和對角形矩陣相似 即存在可逆矩陣使得ADP 則有 于是記 則DAPP 1 PDAP P n PPP 21 T n dddD 21 可以寫成 即有PDAP n APAPAP 21 nnP dPdPd 2211 iii PdAP 這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量 而已知是可逆 n 1 2 i P i PAP 陣 故的個列向量線性無關 必要性得證 Pn n PPP 21 定理2 設 則可以對角化的充分必要條件是 nn PA A 1 的特征根都在數域內 AP 2 對的每個特征根 有 A 其中是的重數 k AEn 秩k 條件 2 也可改述為 特征根的重數等于齊次線性方程組 的基礎解系所含向量的個數 簡稱為代數重數等于幾何重數 0 XAE 條件 2 還可改述為 令有 即屬于的不同特征根的 nAn r i i 1 E 秩A 線性無關的特征向量總數是 n 5 條件 1 2 還可改述為 的屬于不同特征值的特征子空間的維數之和等A 于 n 證明 設是的所有不同的特征根 是齊次線性方程 r 21 A j jtj 1 組的一個基礎解系 則的特征向量 0 XAE j rj 2 1 A 一定線性無關 rr rtrtt 11111 1 如果 則有個線性無關的特征向量 從而可以對角nttt r 21 AnA 化 若可以對角化 則屬于的不同特征根的線性無關的特征向量總數一定AA 是 若不然 則由定理1可設的個線性無關的特征向量為 設nAn n 21 是屬于特征根的特征向量 則可由線性表出 從而可由向量 j j j jt jj 1 組線性表出 于是 rank rank rr rtrtt 11111 1 n 21 與線性無關矛 t trtr 1111 1 nttt r 21n 21 盾 定理3 設是階復矩陣 則與對角形矩陣相似的充分必要條件是的AnAA 最小多項式無重根 m 證明 充分性 因無重根 由 知 的每個不變因 n dm i d 1 i dA 子都不能有重根 從而特征矩陣作為復數域上的矩陣 其初等因 i dAE 子全為一次式 故必與對角陣相似 A 必要性 因與對角陣相似 特征矩陣的初等因子必均為一次式 故AAE 最后一個不變因子也只能是不同的一次因式之積 這就證明了最小多項式 n d 無重根 n dm 此定理3所給出的判別矩陣與對角矩陣相似的條件 形式上還可削弱 我有 定理4 設是維向量空間的一個線性變換 的矩陣可以對角化的充 nV 分必要條件是可以分解為個在之下不變的一維子空間的直和 Vn n WWW 21 證明 必要性 若可以對角化 則存在的一組基使得在 V n 21 這 6 組基下的矩陣為 n 2 1 令 則 nn LWLWLW 2211 n WWWV 21 事實上 1 則 V nn kkk 2211 又 iii Wk n 1 2 i n WWW 21 即 n WWWV 21 2 niii WWWWWW 1121 n 1 2 i 且 i W nii WWWWW 1121 且 i nii 1121 njWj j 2 1 又 jj W n 1 2 j jjj WL n 1 2 j iinniiii LLLLLL 11112211 即又 iinniiiiii LLLLLLL 11112211 線性無關 0 n 21 j L n 1 2 j 即 0 充分性 若可分解為個在之下不變的一維子空間的直和 Vn n WWW 21 即 設的基分別為則可構 n WWWV 21n WWW 21 n 21 n 21 成的一組基 V 令 nnn 222111 在基下的矩陣為 n 21 n 2 1 即可以對角化 定理5 設是數域上的一個階矩陣 的特征根全在內 若AFnAF 是的全部不同的特征根 其重數分別為 則可對角化 n 21 A n rrr 21 A 7 的充要條件是秩 j ji i rAI k 1 2 j 證明 設可對角化 則存在可逆矩陣 使AT 這里右邊是分塊對角矩陣 為階單位陣 于 nnI IIdiagATT 2211 1 i I i r 是有 秩 ji i AI 秩 TAIT ji i 1 秩 ji i ATTI 1 秩 ji kki IIIdiagI 2211 秩 ji kkii IIIdiag 22111 秩 ji jji Idiag 0 0 0 0 j r 反之 若秩 ji i AI j rk 1 2 j 則反復用本文引理 1 可得 nkAIr i ji j 2 秩 nkrn ji i 2 j ji i rrn 于是有 A I i ji 秩 i rn 從而 這樣可對角化 AI i i rn k 1 2 i A 定理 6 設為階方陣 則可以對角化的充要條件為存在兩兩互異的AnA 使得 s 21 0 21 IAIAIA s 證明 必要性 設階方陣可以對角化 為的所有互nA s 21 ns A 異特征值 由引理 2 及定理 1 從而有個線性無關的特征向量 即An 8 故 nIArIArIArsn s 21 01 21 nsIArIArIAr s 再由引理 3 得0 21 IAIAIAr s 從而有 0 21 IAIAIA s 充分性 設為階方陣且存在兩兩互異的數使得An s 21 記為 0 21 IAIAIA s Af IAIAIA s 21 設為的特征值 則必為的特征 A s f 21 Af 值 從而 0 Af 所以 因此矩陣的特征值的取值范 0 21 s f A 圍為 顯然當可逆時 不是的特征值 當可逆 s 21 IA i i AIA i 時 是的特征值 因為線性方程組的基礎解系所含向量的 i A 0 XIA i 個數即為的特征值的重數 當可逆時 IArn i A i s 1 2 i IA i 不是的特征值 此時 從而矩陣線性無關的特征向量的 i A 0 IArn i A 最大個數為 IArIArIArsn s 21 再由引理 3 當時 0 21 IAIAIA s nsIArIArIAr s 1 21 所以 即階方陣有個 nIArIArIArsn s 21 nAn 線性無關的特征向量 從而可以對角化 A 3 2 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟 具體步驟 設 求可逆矩陣 使為對角矩陣的步 nn PA nn PX AXX 1 驟是 1 求矩陣的全部特征根 A 2 如果的特征根都在數域內 否則不可對角化 那么對每個特征根 APA 求出齊次線性方程組的一個基礎解系 0 XAI 3 如果對每個特征根 的基礎解系所含解向量個數等于的重 0 XAI 數 否則不可對角化 那么可對角化 以所有基礎解系中的向量為列即得AA 階可逆陣 且是對角陣 而對角線上的元素是的全部特征根 nXAXX 1 A 9 第第 4 4 章章 矩陣可對角化的應用矩陣可對角化的應用 例 1 判斷矩陣是否可以對角化 163 222 123 A 解 的特征多項式 AAI 163 222 123 1612 3 xx 42 2 xx 解得的特征值是 重 重 A2 1 24 2 1 對于特征根 4 求出齊次線性方程組 的一個基礎解系 0 0 0 363 222 127 3 2 1 x x x 1 3 2 3 1 對于特征根2 求出齊次線性方程組的一個基礎解 0 0 0 363 242 121 3 2 1 x x x 系 1 0 1 0 1 2 由于基礎解系所含解向量的個數等于對應的特征根的重數 所以可以對角化 A 取 那么 101 01 3 2 12 3 1 T 200 020 004 1AT T 例2 設是兩個不同的數 又階矩陣滿足 21 nA 證明相似于對角陣 0 21 nn IAIA A 2 2 1 1 證明 若 或則或結論顯然成立 0 1 n IA 0 2 n IA n IA 1 n IA 2 10 故可設 此時首先證明是的特證值 由于 nn IAIA 21 21 A 故有 使得 又 n IA 1 0 1 n IA 于是是的屬于特征值的特征 00 211 nnn IAIAIA A 1 向量 同理是的特征值 2 A 又設是的基礎解 因而是的屬于的線性無關的 t 21 0 1 AXIn A 1 特征向量 設是的線性無關的特征向量 故可知 s 21 0 2 XIA n 線性無關 設是任一維向量 有 令 st 2121 n n I 1 則有 21 1 1 12 n IA 21 2 1 21 n IA 21 因此有 故 0 11 n IA 0 22 n IA t i ii k 1 1 j s j j k 1 2 可被線性表示 于是為基 令 st 2121 st 2121 則 st P 2121 2 2 1 1 1 APP 11 第第 5 5 章章 結結 論論 隨著現代科學技術的發(fā)展 特別是電子計算機技術的發(fā)展 為矩陣理論的 研究進一步開辟了更加廣闊的前景 因此學習和掌握矩陣論的基本理論與方法 對于工程技術人員 高等理工科院校研究生 本科生是必不可少的 并且有著 重要的意義和應用價值 矩陣是數學中的一個重要的基本概念 是代數學的一 個主要研究對象 而矩陣的對