向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.doc

向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 姓名：張殿濤 學(xué)號(hào)：200840510651 指導(dǎo)老師：林記摘要 向量知識(shí)在代數(shù)、幾何、三角、復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)分支中有著非常廣泛的應(yīng)用,利用向量知識(shí)可以巧妙而簡(jiǎn)捷地處理多種問(wèn)題.文章主要討論了向量知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中一些新穎而獨(dú)特的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 向量 數(shù)量積 向量法The Application of the Vector in Middle School Math Teaching Name:Zhang diantao Student Number:200840510651 Adviser:Lin ji Abstract : The vector is widely applied to algebra , geometry ,trigonometry and mathematics. With it being properly used , manyproblems can be solved flexibly and easily. This article mainly discussed the knowledge in the middle school mathematics problem solving application of novel and unique application.Key words : vector ; vector product ; vectorical method引言向量知識(shí)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具, 用向量法解題，方法新穎、思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)便、提高做題速率，是學(xué)生常用的解題方案之一。下面舉例分析向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。1. 向量在代數(shù)中的應(yīng)用向量知識(shí)在中學(xué)教材中是以幾何的形式出現(xiàn)的，給人的感覺(jué)是在幾何中應(yīng)用廣泛，其實(shí)用向量來(lái)解決代數(shù)中的一些問(wèn)題也很方便。下面就介紹這方面的應(yīng)用。1.1 等式證明證明等式用常規(guī)方法則運(yùn)算比較繁瑣，如果能用向量知識(shí)解答運(yùn)算則就較為簡(jiǎn)捷。 例1 已知，求證a2+b2=1.證 設(shè) ，,與的夾角為，.則 ,又 ,所以 cos1，0.所以 /.因此 ,移項(xiàng)然后兩邊平方，整理得a2+b2=1. 例2 已知（x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)，且x，y，z，a， b，c為非零實(shí)數(shù)，求證.證 構(gòu)造向量 .m與n的夾角為，則 ,由此得,所以/.因此 .1.2 不等式證明證明不等式主要依據(jù)有關(guān)向量的性質(zhì)公式，如. 例3 已知a，b，c，且a+2b+3c=6，求證a2+2b2+3c36.證 構(gòu)造向量 , ,所以 , .由向量不等式得,即 . 例4 已知：a,b,a+b=1.求證：. 證 構(gòu)造向量 ，.則 , ,.由 ,得 .1.3 解方程 用向量法解方程，則可使問(wèn)題得到巧妙而簡(jiǎn)便的解答。 例5 解方程. 解 因?yàn)? 方程兩邊同時(shí)除以,得 . 令 , , 由,故 .所以上式中等號(hào)成立, 所以 .解得,， 代入原方程檢驗(yàn)均適合.1.4 求函數(shù)極值求函數(shù)最值問(wèn)題，按常規(guī)方法求解則運(yùn)算比較繁瑣，若能用向量知識(shí)解答則會(huì)使求解變得容易。 例6 求函數(shù)的最大值.解 原函數(shù)可變?yōu)?.取且.構(gòu)造向量 ，.由，得 .從而 .當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，. 例7 已知，求函數(shù)z=x+y的最小值. 解 構(gòu)造向量 ，.由，可得 ,即 ，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， .2. 向量在幾何中的應(yīng)用向量是以幾何的形式出現(xiàn)的，在幾何相關(guān)問(wèn)題中更有十分廣泛的應(yīng)用。合理地運(yùn)用向量知識(shí)解答幾何問(wèn)題，可以使幾何問(wèn)題變得思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)單。2.1 平面幾何中的證明平面幾何中有很多題目用一般的方法做起來(lái)比較麻煩，但是如果巧妙地運(yùn)用向量法來(lái)解題則會(huì)比較輕松！ 例1 已知O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且,證明：O,N,P依次是ABC的外心，重心，垂心.證 由知，O是ABC的外心.由知,N是ABC的重心.因?yàn)?，所以 .所以 .所以 .同理,所以P為ABC的內(nèi)心.2.2 立體幾何中的應(yīng)用合理地運(yùn)用向量解答立體幾何問(wèn)題，可以避開(kāi)紛繁復(fù)雜的邏輯推理，使解題過(guò)程變的思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)捷。例2 如圖1，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AB=,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn),AE垂直平面PBC.若AD=1，求二面角B-EC-D的大小. z P E A D y B C x 圖1解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB,AD,AP分別為x,y,z的正半軸， 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則 A(0,0,0), , D(0,1,0).設(shè)平面BEC法向量為，由于AE平面PBC，故 .設(shè)平面DEC的法向量為，則,且 . 所以 ，取y=1.則. 所以 . 所以 . 所以二面角B-EC-D的大小是. 2.3 解析幾何中的求解向量在解析幾何中更有其獨(dú)特的應(yīng)用，為解答解析幾何問(wèn)題增添了一種簡(jiǎn)捷的新方法。例3 如圖2，設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，而且BC平行x軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn). y A O F x C B 圖2 證 拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：.設(shè)，因?yàn)锳,F,B共線，故可設(shè) . 即 .由BC/x軸，得 .又因點(diǎn)A在拋物線上，得 .因?yàn)?A,F,B共線.故，得到，從而，即，而，所以 .即共線，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn).3. 向量在三角中的應(yīng)用三角知識(shí)思維靈活，變化多端,要打破常規(guī)，構(gòu)造向量，向量法解題可使思路更直觀、解答更簡(jiǎn)潔。 例1 已知為銳角，且，求證：.證 設(shè) 由為銳角可知點(diǎn)A在第四象限.因?yàn)?0，0.所以點(diǎn)B在第一象限，OA與OB的夾角是.因?yàn)?所以 即 4. 向量在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算各有其明顯的幾何意義， 由于一個(gè)復(fù)數(shù)zxyi 對(duì)應(yīng)復(fù)平面上一個(gè)點(diǎn)z（x，y）,從而對(duì)應(yīng)一個(gè)向量（x，y）,且這種對(duì)應(yīng)是唯一的，所以復(fù)數(shù)可用向量表示。例1 設(shè)z1 ,z2為兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，且，證明：是負(fù)數(shù).證 設(shè)z1 ,z2對(duì)應(yīng)向量.因?yàn)?,所以以為一組鄰邊的平行四邊形是矩形.所以 .所以 (a是非零實(shí)數(shù)）.所以是負(fù)數(shù).結(jié)束語(yǔ)由以上例子可以看出，向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用，用向量法解題，則方法新穎、思路清晰、運(yùn)算巧妙簡(jiǎn)捷。如果我們能在做題過(guò)程中，能夠注意觀察和認(rèn)真分析問(wèn)題，打破常規(guī)，構(gòu)造向量用向量法解題，那么一定會(huì)構(gòu)造出一個(gè)十分新穎而巧妙的解題方法。參考獻(xiàn)文1 張朝軍構(gòu)造向量巧解不等式J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2003， (3)：3-42 李建新巧用向量求最值J數(shù)學(xué)通報(bào)，2004， (13)：27-293 李新岳與向量有關(guān)的問(wèn)題歸類(lèi)例析J數(shù)學(xué)通報(bào)，1997， (13)：17-194 付倫佳，金銓利用向量解代數(shù)三角問(wèn)題J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2003，(5)：36-375 陳德山向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J數(shù)學(xué)通報(bào)，1987，(9)：22-236 劉新華向量法解平面解析幾何題J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2002， (3)： 23-2