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三次函數(shù)與四次函數(shù)大連市紅旗高中 王金澤 在初中,已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了二次函數(shù),到了高中又系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和深化了二次函數(shù),三次函數(shù)是繼二次函數(shù)后接觸的新的多項式函數(shù)類型,它是二次函數(shù)的發(fā)展,和二次函數(shù)類似也有“與x軸交點個數(shù)”等類似問題。三次函數(shù)是目前高考尤其是文科高考的熱點,不僅僅如此,通過深化對三次函數(shù)的學(xué)習(xí),可以解決四次函數(shù)問題。2008年高考有多個省份出現(xiàn)了四次函數(shù)高考題,本文的目的就是,對三次函數(shù)做個重點的歸納,并且闡述在四次函數(shù)中的應(yīng)用第一部分:三次函數(shù)的圖象特征、以及與x軸的交點個數(shù)(根的個數(shù))、極值情況三 次 函 數(shù) 圖 象說 明a對圖象的影響可以根據(jù)極限的思想去分析當a0時,在+右向上 伸展,-左向下伸展。當a0時,在+右向下伸展,-左向上伸展。(可以聯(lián)系二次函數(shù)a對開口的影響去聯(lián)想三次函數(shù)右側(cè)伸展情況)與x軸有三個交點若,且,既兩個極值異號;圖象與x軸有三個交點與x軸有二個交點 若,且,既有一個極值為0,圖象與x軸有兩個交點與x軸有一個交點1。存在極值時即,且,既兩個極值同號,圖象與x軸有一個交點。2。不存在極值,函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時圖象也與x軸有一個交點。1.根的個數(shù)三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):,二次函數(shù)的判別式化簡為:=,(1) 若,則恰有一個實根;(2) 若,且,則恰有一個實根;(3) 若,且,則有兩個不相等的實根;(4) 若,且,則有三個不相等的實根.說明(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與X軸只相交一次,即在R上為單調(diào)函數(shù)(或兩極值同號),所以(或,且).(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與X軸有兩個公共點且其中之一為切點,所以,且.(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與X軸有三個公共點,即有一個極大值,一個極小值,且兩極值異號.所以且. 2.極值情況:三次函數(shù)(a0),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),二次函數(shù)的判別式化簡為:=,(1) 若,則在上為增函數(shù);(2) 若,則在和上為增函數(shù),在上為減函數(shù),其中. 證明:, =,(1) 當 即時,在 R上恒成立, 即在為增函數(shù). (2) 當 即時,解方程,得由得或,在和上為增函數(shù).由得,在上為減函數(shù).總結(jié)以上得到結(jié)論:三次函數(shù),(1) 若,則在R上無極值;(2) 若,則在R上有兩個極值;且在處取得極大值,在處取得極小值.由此三次函數(shù)的極值要么一個也沒有,要么有兩個?!纠}1】:(2005全國二卷)設(shè)為實數(shù),函數(shù)()求的極值;()當在什么范圍內(nèi)取值時,曲線與軸僅有一個交點解:(I) 若,則當x變化時,變化情況如下表:x100極大值極小值 所以f(x)的極大值是,極小值是 (II)函數(shù) 由此可知x取足夠大的正數(shù)時,有,x取足夠小的負數(shù)時有,所以曲線與x軸至少有一個交點。結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知: 當f(x)的極大值,即時,它的極小值也小于0,因此曲線與x軸僅有一個交點,它在上; 當f(x)的極小值,即時,它的極大值也大于0,因此曲線與x軸僅有一個交點,它在上 所以當時,曲線與x軸僅有一個交點。(也可以直接用,)變式訓(xùn)練:a為何值時f(x)的圖象與直線y=1恰有一個交點分析:令 極大值,或極小值第二部分:在四次函數(shù)中的應(yīng)用由于四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù),所以四次函數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問題【例題2】(2008湖南文) 已知函數(shù)有三個極值點。(I)證明:;(II)若存在實數(shù)c,使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的取值范圍。解:(I)因為函數(shù)有三個極值點, 所以有三個互異的實根. 設(shè)則 當時, 在上為增函數(shù); 當時, 在上為減函數(shù); 當時, 在上為增函數(shù); 所以函數(shù)在時取極大值,在時取極小值. 因為有三個不同實根, 所以且. 即,且,解得且故. (II)由(I)的證明可知,當時, 有三個極值點. 不妨設(shè)為(),則 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是, 若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則, 或, 若,則.由(I)知,,于是 若,則且.由(I)知, 又當時,; 當時,. 因此, 當時,所以且即故或反之, 當或時,總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述, 的取值范圍是.總結(jié):四次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是三次函數(shù),有三個極值點說明三次函數(shù)有三個相異的實數(shù)根。可以歸結(jié)為三次函數(shù)圖象與x軸有三個交點問題,可以利用第一部分很好的解決【例題3】(2008江西文)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個交點,求的取值范圍解:(1)因為 令得 由時,在根的左右的符號如下表所示極小值極大值極小值所以的遞增區(qū)間為 的遞減區(qū)間為 (2)由(1)得到, 要使的圖像與直線恰有兩個交點,只要或, 即或.只要我們掌握了三次函數(shù)的這些性質(zhì),在高考中無論是主觀題還是客觀題,都能找到明確的解題思路,解題過程也簡明扼要。四次函數(shù)問題,應(yīng)該先求導(dǎo),轉(zhuǎn)化
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