沅江三中高二上學(xué)期期終考試數(shù)學(xué)理科試卷.doc

高二上學(xué)期期終考試數(shù)學(xué)試卷（理科） (時(shí)量：120分鐘，滿分：150分)一、 本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將答案填在答卷的表格里1、等于（ D ）A、 B、 C、 D、2、下列命題錯(cuò)誤的是(C)A命題“若x23x20，則x1”的逆否命題為“若x1，則x23x20”B若命題p：xR，x2x10，則“p”為：xR，x2x10C若“pq”為假命題，則p，q均為假命題D“x2”是“x23x20”的充分不必要條件3、設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(B)A. 4 B. 6 C. 8 D. 124、由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（ A ）（A）(B) (C) (D) 5、若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ B ） A B C D6、已知，則向量的夾角為（ C ）A. B. C. D.7、已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ B ） （A） (B) (C) (D)8、若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ C ） A.2 B.3 C.6 D.8二.填空題：（每小題5分, 共35分. 請(qǐng)將答案填在答卷的橫線上）9、已知復(fù)數(shù)z滿足，則z=_10、已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.則雙曲線的方程為 11、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件,則= . 【答案】212、觀察下列等式：,，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為 _.13、已知f(x)= 2f(1)，則f(2)=_14、設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_15、如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)命題：在上是增函數(shù)；是的極小值點(diǎn)；在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；是的極小值點(diǎn)。其中正確的命題的序號(hào)是 高二上學(xué)期期終考試數(shù)學(xué)試卷（理科）答卷一、選擇題（每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案 二、填空題（每小題5分，共35分）9、 ; 10、 ; 11、 ;12、 ; 13、 ; 14、 ; 15、 三，解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16, (12分)已知命題方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；不等式的解集為，若為真，且為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，得解得或命題p為真時(shí)，或；又由不等式的解集為，得解得命題q為真時(shí)，；命題q為假時(shí)，或?yàn)檎?，且為?p真q假由 得或?qū)崝?shù)的取值范圍為或17、(12分) 設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。（1）設(shè)橢圓上點(diǎn)到兩點(diǎn)、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，得2=4, 橢圓C的方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 （2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為 18、已知在函數(shù)的圖象上，以為切點(diǎn)的切線的傾斜角為.（I）求的值；（II）是否存在最小的正整數(shù)，使得不等式對(duì)于恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：依題意，得，即因?yàn)?，所?.4分（II）由（I）知. 令因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，的最大值為. 8分要使得不等式對(duì)于恒成立，則所以，存在最小的正整數(shù)，使得不等式對(duì)于恒成立.20、如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(xiàn)(，)(1)證明：(，0，)(0，a,0)0，EFCD.(2)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，由，得，即，取x1，則y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.設(shè)DB與平面DEF所成角為，則sin.19、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，試求的值，推導(dǎo)出的公式，并證明。證明： ，猜想：，證明如下：假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即那么 21、設(shè)分別是橢圓E:（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與E 相交于兩點(diǎn)，且,成等差數(shù)列.（)求E的離心率；（）設(shè)點(diǎn)P（0,-1）滿足,求E的方程.【規(guī)范解答】（)由橢圓的定義知，又得 ，的方程為，其中設(shè)，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)得，則 ，.因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以得 ，故,所以E的離心率.（）設(shè)兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，由（)知，.由，可知.即，得，從而.橢圓E的方程為.備選1，設(shè)雙曲線的個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ D ） (A) (B) (C) (D) 2，已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 ( )（A） （B） （C） （D）【規(guī)范解答】選B，由題意可得，3，已知拋物線C：過點(diǎn)A （1 , -2）.（I）求拋物線C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由.【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；第二步依題意假設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于列出方程，求解出t的值，注意判別式對(duì)參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】（I）將代入，得，故所求的拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為；（II）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因?yàn)橹本€與拋物線C有公共點(diǎn)，所以，解得。另一方面，由直線OA與直線的距離等于可得，由于，所以符合題意的直線存在，其方程為.4，已知橢圓（ab0）的離心率e=，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.【規(guī)范解答】（）解：由e，得.再由，解得a2b.由題意可知，即ab2.解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為.()(i)解：由（）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得.由，得.從而.所以.由，得.整理得，即，解得k.所以直線l的傾斜角為或.（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）得到M的坐標(biāo)為.以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是由，得。（2）當(dāng)時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為。令，解得。由，整理得。故。所以。6，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析：建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：7，如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn).（）證明：PC平面BEF；（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。（）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2， BC=，四邊形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,來源:Zxxk.ComPC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則， 平面BEF與平面BAP的夾角為8，已知直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、（）求的取值范圍；（）若軸上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等，求的值【解析】（）由得2分4分解得：且6分（）設(shè)，則7分設(shè)為中點(diǎn)，則，即到、兩點(diǎn)的距離相等，10分即，解得，或（舍去）12分9，已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上單調(diào)遞減，在0，+）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）方法一 由題意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上為增函數(shù).x=0時(shí)，ex最大為1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由題意知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn).=0,即e0-a=0,a=1.10，已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時(shí)，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時(shí)，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時(shí)，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為11、如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(D)A.B.C. D.13, 已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(c)（A）13萬件 (B)11萬件 (C) 9萬件 (D)7萬件14, 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離d1是到定點(diǎn)的距離d2的倍則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 15, 設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。（1）設(shè)橢圓上點(diǎn)到兩點(diǎn)、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論。解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，得2=4, 橢圓C的方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 （2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為 （3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 = 故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)，16，已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是（ ）【解析】 A；由的圖象知和是的極值點(diǎn)，且時(shí)，單調(diào)遞減，故選A 17，復(fù)數(shù)等于（ ）A B C D【解析】 C；18，已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).() 若在處取得的極值為，求的值;（）若在區(qū)間上為減函數(shù)，且，求的取值范圍.解 ()由題設(shè)可知:且， 2分即，解得 4分（）， 5分又在上為減函數(shù)， 對(duì)恒成立， 6分即對(duì)恒成立.且， 10分即，的取值范圍是 19，由下列不等式：，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第個(gè)不等式，即一般不等式為：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，猜想成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的，不等式成立20，20、已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).() 若在處取得的極值為，求的值;（）若在區(qū)間上為減函數(shù)，且，求的取值范圍.解 ()由題設(shè)可知:且， 即，解得 （）， 又在上為減函數(shù)， 對(duì)恒成立， 即對(duì)恒成立.且， 即， 的取值范圍是 18、設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù) ()求的極值.()當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn).【解析】(I)=321若=0，則=，=1當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+極大值極小值f(x)的極大值是，極小值是(II)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)0，