《量子力學(xué)》題庫(kù).doc

量子力學(xué)題庫(kù)一、 簡(jiǎn)答題1 試寫了德布羅意公式或德布羅意關(guān)系式，簡(jiǎn)述其物理意義答：微觀粒子的能量和動(dòng)量分別表示為：其物理意義是把微觀粒子的波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系起來(lái)。等式左邊的能量和動(dòng)量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長(zhǎng)則是描述波的特性的量。2 簡(jiǎn)述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？答：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。按這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。3 根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，說(shuō)明量子力學(xué)中的波函數(shù)與描述聲波、光波等其它波動(dòng)過(guò)程的波函數(shù)的區(qū)別。答：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因?yàn)榱Ｗ颖囟ㄒ诳臻g某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度的絕對(duì)大??；因而將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動(dòng)過(guò)程所沒(méi)有的。4 設(shè)描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成，其中和為復(fù)數(shù)，和為粒子的分別屬于能量和的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。試說(shuō)明式子的含義，并指出在狀態(tài)中測(cè)量體系的能量的可能值及其幾率。答：的含義是：當(dāng)粒子處于和的線性疊加態(tài)時(shí)，粒子是既處于態(tài)，又處于態(tài)。或者說(shuō)，當(dāng)和是體系可能的狀態(tài)時(shí)，它們的線性疊加態(tài)也是體系一個(gè)可能的狀態(tài)；或者說(shuō)，當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài)、中。在狀態(tài)中測(cè)量體系的能量的可能值為和，各自出現(xiàn)的幾率為和。5 什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。在定態(tài)中，所有不顯含時(shí)間的力學(xué)量的幾率密度及向率流密度都不隨時(shí)間變化。6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？?jī)烧叩年P(guān)系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。泡利不相容原理是指不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。兩者的關(guān)系是由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確定的交換對(duì)稱性，將這一性質(zhì)應(yīng)用到費(fèi)米子組成的全同粒子體系，必然推出費(fèi)米不相容原理。7 試簡(jiǎn)述波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個(gè)條件：有限性、連續(xù)性和單值性。8 為什么表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符？答：因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實(shí)數(shù)。厄米算符的本征值必定是實(shí)數(shù)。所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。9 請(qǐng)寫出微擾理論適用條件的表達(dá)式。答：， 10 試簡(jiǎn)述微擾論的基本思想。答：復(fù)雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。 是可求出精確解的，而 可看成對(duì) 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級(jí)修正量，逐級(jí)迭代，逐級(jí)逼近，就可得到接近問(wèn)題真實(shí)的近似解。11 簡(jiǎn)述費(fèi)米子的自旋值及其全同粒子體系波函數(shù)的特點(diǎn)，這種粒子所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是什么？答：由電子、質(zhì)子、中子這些自旋為的粒子以及自旋為的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，這類粒子服從費(fèi)米(Fermi) 狄拉克 (Dirac) 統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子。12 通常情況下，無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為什么態(tài)？一般情況下，這種態(tài)所屬的能級(jí)有什么特點(diǎn)？答：束縛態(tài)，能級(jí)是分立的。13 簡(jiǎn)述兩個(gè)算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說(shuō)明（要求寫出本征函數(shù)系）。在這些態(tài)中，測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量時(shí)，兩個(gè)測(cè)量值是否可以同時(shí)確定？答：兩個(gè)算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符對(duì)易。例如，這兩個(gè)算符有共同的完備本征函數(shù)系。14 若兩個(gè)力學(xué)量的算符不對(duì)易，對(duì)這兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，一般地它們是否可以同時(shí)具有確定值？它們的均方偏差之間有什么樣的關(guān)系？答：不可能同時(shí)具有確定值。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。15 請(qǐng)寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。答： 16 指出下列算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其理由。 ； ； 解：是線性算符 不是線性算符 是線性算符 17 指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說(shuō)明其理由。 18 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ， ， ， 解： 不是的本征函數(shù)。 不是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。 可見，是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。 是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。 是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。 19 問(wèn)下列算符是否是厄米算符： 解： 因?yàn)?不是厄米算符。 是厄米算符。20 全同粒子體系的波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？答：描寫全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的，且它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。二、 證明題1 已知粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，試證明（角動(dòng)量在方向的分量）是守恒量。證：因?yàn)榱Ｗ釉趧?shì)函數(shù)為的中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，哈密頓算答是 因?yàn)榕c、有關(guān)而與無(wú)關(guān)，且所以，2 試證：對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)有兩個(gè)波函數(shù)及是對(duì)應(yīng)于同一級(jí)量E的解，則常數(shù)。其中，“”是對(duì)x的微商。證：因?yàn)椋詼惾⒎值茫悍e分得： 常數(shù)3 試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。證明：設(shè)和是對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個(gè)態(tài)。4 試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況 為厄密算符, 為厄密算符, 為實(shí)數(shù) 為厄密算符 為厄密算符5 已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符 和 共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為 ,取 試證明: 也是 和 共同本征函數(shù), 對(duì)應(yīng)本征值分別為: 。證。 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù) 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù)6 .證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令 可見無(wú)關(guān)。7 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。方程、可相互進(jìn)行空間反演 而得其對(duì)方，由經(jīng)反演，可得， 由再經(jīng)反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。 乘 ，得 可見， 當(dāng)時(shí)，具有偶宇稱， 當(dāng)時(shí)，具有奇宇稱， 當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。8 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 證：電子的電流密度為 在球極坐標(biāo)中為 式中為單位矢量 中的和部分是實(shí)數(shù)。 可見， 9 如果算符滿足關(guān)系式，求證 證： 10 證明：證：由對(duì)易關(guān)系 及對(duì)易關(guān)系 ， 得 上式兩邊乘，得 11 證明和組成的正交歸一系。證： = 1= 0 = 0同理可證其它的正交歸一關(guān)系。 12 對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子（如圖所示）證明 并證明當(dāng)時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。解寫出歸一化波函數(shù)： （1）先計(jì)算坐標(biāo)平均值：利用公式： （2）得 （3）計(jì)算均方根值用以知，可計(jì)算利用公式 （5） （6） 在經(jīng)典力學(xué)的一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題中，因粒子局限在（0，a）范圍中運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的幾率密度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度。故當(dāng)時(shí)二者相一致。13 設(shè)是的可微函數(shù)，證明下述各式：一維算符（1）（證明）根據(jù)題給的對(duì)易式及（2）（證明）同前一論題（3）證明同前一題論據(jù)：（4）證明根據(jù)題給對(duì)易式外，另外應(yīng)用對(duì)易式 （5）（證明）論據(jù)同（4）：（6）（證明）論據(jù)同（4）：14 設(shè)算符A，B與它們的對(duì)易式A，B都對(duì)易。證明(甲法）遞推法，對(duì)第一公式左方，先將原來(lái)兩項(xiàng)設(shè)法分裂成四項(xiàng)，分解出一個(gè)因式，再次分裂成六項(xiàng)，依次類推，可得待證式右方，步驟如下：按題目假設(shè)重復(fù)運(yùn)算n-1次以后，得15 證明 是厄密算符證明）本題的算符可以先行簡(jiǎn)化，然后判定其性質(zhì)是厄密算符，因此原來(lái)算符也是厄密的。另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：用于積分最后一式：前式=說(shuō)明題給的算符滿足厄密算符定義。16 定義（反對(duì)易式）證明： 其中，與，對(duì)易。（證明）第一式等號(hào)右方第一式等號(hào)左方第二式等號(hào)右方因，與，對(duì)易，前式17 證明力學(xué)量（不顯含）的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：（是哈密頓量）（解）根據(jù)力學(xué)量平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，若力學(xué)量 不顯含，有（）將前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將等號(hào)右方看成為另一力學(xué)量的平均值，則有：（）此式遍乘即得待證式。18 試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。證明：設(shè)和是對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個(gè)態(tài)。19 證明泡利矩陣滿足關(guān)系?！咀C】. 20 試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況 為厄密算符, 為厄密算符, 為實(shí)數(shù) 為厄密算符 為厄密算符21 已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符 和 共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為 ,取 試證明: 也是 和 共同本征函數(shù), 對(duì)應(yīng)本征值分別為: 。證。 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù) 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù)22 22 證明：描寫全同粒子體系的波函數(shù)的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變證明：設(shè)時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱的，用表示， 因?yàn)槭菍?duì)稱的，所以在時(shí)刻也是對(duì)稱的，由 知，在時(shí)刻也是對(duì)稱的，故在下一時(shí)刻的態(tài)函數(shù)：也是對(duì)稱的以此類推，波函數(shù)在以后任意時(shí)刻都是對(duì)稱的。同理可證，若某一時(shí)刻波函數(shù)反對(duì)稱，則以后任一時(shí)刻的波函數(shù)都是反對(duì)稱的。三、 計(jì)算題1 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 從所得結(jié)果說(shuō)明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。 解：在球坐標(biāo)中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。2 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。 方程(2)可變?yōu)?令，得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得 由歸一化條件 得 由 可見E是量子化的。對(duì)應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 3 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達(dá)式可知，時(shí)，。顯然不是最大幾率的位置。 可見是所求幾率最大的位置。4 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢(shì)能的平均值； (2)動(dòng)能的平均值； (3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1) (2) 或 (3) 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 5 氫原子處在基態(tài)，求： (1)r的平均值； (2)勢(shì)能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動(dòng)能的平均值； (5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 令 當(dāng)為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動(dòng)量幾率分布函數(shù) 6 設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解： 可見，動(dòng)量的可能值為 動(dòng)能的可能值為 對(duì)應(yīng)的幾率應(yīng)為 上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得 動(dòng)量的平均值為 7 設(shè)氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動(dòng)量平方有確定值為 角動(dòng)量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為 ， 其平均值為 8 試求算符的本征函數(shù)。 解：的本征方程為 （的本征值）9 設(shè)波函數(shù)，求解： 10 證明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的 證： +也是厄米的。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣元和的矩陣元。 解： 14 求能量表象中，一維無(wú)限深勢(shì)阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元。解：基矢： 能量：對(duì)角元： 當(dāng)時(shí)， 15 求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。 解： 16 求連續(xù)性方程的矩陣表示 解：連續(xù)性方程為 而 寫成矩陣形式為 17 設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個(gè)能級(jí)：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。 解：由微擾公式得 得 能量的二級(jí)修正值為 18 計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。 解： 由選擇定則，知是禁戒的 故只需計(jì)算的幾率 而 2p有三個(gè)狀態(tài)，即 (1)先計(jì)算z的矩陣元 (2)計(jì)算x的矩陣元 (3)計(jì)算的矩陣元 (4)計(jì)算 19 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則 解： 由 時(shí)， 即選擇定則為 20 一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態(tài)能級(jí)的一級(jí)修正。 解：基態(tài)波函數(shù)（零級(jí)近似）為 能量一級(jí)修正為 21 求在自旋態(tài)中，和的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系： 解：在表象中、的矩陣表示分別為 在態(tài)中 討論：由、的對(duì)易關(guān)系 ，要求 在態(tài)中， 可見式符合上式的要求。22 求的本征值和所屬的本征函數(shù)。解：的久期方程為 的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 ，得 由歸一化條件 ，得即 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 由歸一化條件，得 即 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 同理可求得的本征值為。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為 23 求自旋角動(dòng)量方向的投影 本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？解：在 表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為 即： 所以的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得取 ，得 可見， 的可能值為 相應(yīng)的幾率為 同理可求得 對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為 相應(yīng)的幾率為 24 設(shè)氫的狀態(tài)是 求軌道角動(dòng)量z分量和自旋角動(dòng)量z分量的平均值； 求總磁矩 的 z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解：可改寫成 從的表達(dá)式中可看出的可能值為 0相應(yīng)的幾率為 的可能值為 相應(yīng)的幾率為 25 一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？解：體系可能的狀態(tài)有4個(gè)。設(shè)兩個(gè)單粒子態(tài)為，則體系可能的狀態(tài)為26 設(shè)體系處于態(tài)，求（1）的可能測(cè)值及其平均值。（2）的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。（3），的可能測(cè)值。（解）（1）按照習(xí)慣的表示法表示角量子數(shù)為，磁量子數(shù)m的，的共同本征函數(shù)，題材給的狀態(tài)是一種的非本征態(tài)，在此態(tài)中去測(cè)量都只有不確定，下面假定 從看出，當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)，的測(cè)值，處在態(tài)時(shí)，的測(cè)值為零。 在態(tài)中的平均值 （2）又從波函數(shù)看出，也可以有兩種值，體系處態(tài)中時(shí)測(cè)值為 當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)的測(cè)值為 相應(yīng)的幾率即表示該態(tài)的展開式項(xiàng)系數(shù)的復(fù)平方：， 的并態(tài)中的平均值(3)關(guān)于在態(tài)中，的可能測(cè)值可以從對(duì)稱性考慮來(lái)確定，當(dāng)使用直角坐標(biāo)表示算符時(shí)，有輪換對(duì)稱性，由于在態(tài)中可有二種量子數(shù)所以將輪換的結(jié)果，知道的可能測(cè)值只能是 ，0，同理，的可能測(cè)值也是這此值 ，0，27 設(shè)粒子處在寬度為的無(wú)限深勢(shì)阱中，求能量表象中粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣表示。解一維無(wú)限深方勢(shì)阱的歸一化波函數(shù)是： 這波函數(shù)是能量本征函數(shù)，任何力學(xué)量的矩陣元是： 此公式用于坐標(biāo)矩陣： 此式不適用于對(duì)角矩陣元，后者另行推導(dǎo)。當(dāng)m=n時(shí)，得對(duì)角矩陣元： 動(dòng)量矩陣元（非對(duì)角的） 28 粒子在二維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，已知寫出第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)；問(wèn)第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)是否簡(jiǎn)度，若是簡(jiǎn)并，是幾重簡(jiǎn)并？以下的線不知如何去掉？解：（1）二維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，其能級(jí)為，所以其基態(tài)能級(jí)為，而第一激發(fā)態(tài)能級(jí)為， （2）粒子的波函數(shù)為所以，第一激發(fā)態(tài)是二重簡(jiǎn)并的。29 求一維諧振子的坐標(biāo)及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。提示：可利用公式：及 解：線性諧振子的能級(jí)為 對(duì)應(yīng)的能量本征函數(shù) ， 利用公式(1) （2）30 質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。設(shè)狀態(tài)由波函數(shù) 描述。求（1）粒子能量的可能值及相應(yīng)的幾率；（2）粒子的平均能量；（3）寫出狀態(tài)在能量表象中的波函數(shù)。（1）而一維無(wú)限深勢(shì)場(chǎng)中的能量本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的本征值為所以本題中，粒子的能量的可能值是，出現(xiàn)的幾率均為1/2。（2）（也可由求出）（3）由（1）得， 所以，在能量表象中， 31 設(shè)在 （無(wú)微擾時(shí)的哈密頓算符）表象中， 的矩陣表示為其中 , 試用微擾論求能級(jí)二級(jí)修正。解：在 表象中， 32 求在狀態(tài) 中算符的本征值。解： 所以，算符的本征值為33 已知厄密算符和是二行二列矩陣，且 ， （1） 求算符 的本征值，（2）在A 表象下求算符 的矩陣表示。解：（1） 設(shè) 的本征值為 ,本征函數(shù)為 , 則 又 同理算符 的本征值也為 .（2） 在A表象，算符 的矩陣為一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為本征值，即 設(shè) 利用 B為厄密算符 即 又 ?。?34 （1）粒子在二維無(wú)限深方勢(shì)阱，請(qǐng)寫出能級(jí)和能量本征函數(shù)；（2）加上微擾，求最低能級(jí)的一級(jí)微擾修正。解： （1）無(wú)微擾時(shí)， （2）最低能級(jí)為基態(tài)能級(jí)?；鶓B(tài)非簡(jiǎn)并，所以 35 試在為對(duì)角的表象中，（1）求的本征值和所屬的本征函數(shù)；（2）在的本征值為的本征態(tài)中，求的平均值；（3）在的本征值為的本征態(tài)中，測(cè)的可能值及相應(yīng)的幾率。解：（1）設(shè)的本征態(tài)及所屬的本征值為和，則由此可得：，由 得：當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，（2） 的本征值為的本征態(tài)為所以，（3）將的本征值的本征態(tài)展開為：兩邊相等，得 所以，當(dāng)時(shí)幾率 當(dāng)時(shí)幾率36 (1)證明 是的一個(gè)本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；(2)求x在 態(tài)中的平均值。解： 即 是 的本征函數(shù)。本征值 37 一維諧振子在 時(shí)的歸一化波函數(shù)為 所描寫的態(tài)中式中， 是諧振子的能量本征函數(shù)，求（1） 的數(shù)值；（2）在 態(tài)中能量的可能值，相應(yīng)的概率及平均值；（3） 時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù) 。解(1) , 歸一化， ， （2） ， ， ； ， ；， ； （3） 時(shí)， 所以： 38 已知體系的能量算符為 , 其中 , 為軌道的角動(dòng)量算符。視 項(xiàng)為微擾項(xiàng)，求能級(jí)至二級(jí)近似值。計(jì)算過(guò)程中可用公式： 的精確解為 本征函數(shù) 本征能量 按微擾論 利用了公式 能量二級(jí)修正為 在二級(jí)近似下 39 ，求的值解：由的歸一化條件得：1=，所以，或40 求在球諧函數(shù)所描述的態(tài)中，力學(xué)量的平均值。解：因?yàn)?所以， 同理， 另解：令，得，所以，四 填空題1 為歸一化波函數(shù)，粒子在方向、立體角內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 ，在半徑為，厚度為的球殼內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率為 。2 ，為單位矩陣，則算符的本征值為_。3自由粒子體系，_守恒；中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子_守恒。4力學(xué)量算符應(yīng)滿足的兩個(gè)性質(zhì)是 。5厄密算符的本征函數(shù)具有 。6設(shè)為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù)，則的物理意義為_。7. _； _； _。8