聚焦高考解答題導數(shù)的七個應用.doc

聚焦高考解答題導數(shù)的七個應用我們知道，在高考中必有一道解答題是考查導數(shù)應用的，那么具體地說，我們常常利用導數(shù)知識解決哪些方面的問題呢？一、在解答應用題中利用導數(shù)求函數(shù)最值例1某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元(9x11)時，一年的銷售量為 (12x)2萬件（）求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式；（）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)分析 本題列出利潤函數(shù)的關系式并不難，但由于函數(shù)是三次的，所以要求出最大的利潤還需借助導數(shù)知識解 （）分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關系式為L(x)(x3a)(12x)2，x9，11（）L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x)令L(x)0得，或x12（不合題意，舍去）3a5，8（1）當89即3a時，在9，11上L(x)0，L(x)為減函數(shù)，所以LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)（2）當9即a5時，在兩側(cè)L的值由正變負，L(x)由增函數(shù)變減函數(shù)，所以綜上所述，最大利潤答：若3a，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，且最大值Q(a)9(6a)(萬元)；若a5，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤L最大，且最大值(萬元)點評 本題考查了函數(shù)、導數(shù)及其應用等知識，考查了運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，還體現(xiàn)了分類討論的思想方法二、利用導數(shù)求不等式中參數(shù)的取值范圍例2 (2007年高考全國卷理科20題)設函數(shù)（）證明：f (x)的導數(shù)f (x)2；（）若對所有x0都有f (x)ax，求a的取值范圍分析 本題（）比較簡單，用均值不等式可一步到位；（）需要先把不等式移項之后，構造新的函數(shù)，通過對新函數(shù)求導來研究其單調(diào)性從而確定參數(shù)的范圍（）證明 f (x)的導數(shù)由于，故f (x)2（當且僅當x0時，等號成立）（）解 令g(x)f (x)ax，則g(x)f (x)a（）若a2，當x0時，故g(x)在(0，)上為增函數(shù)所以，對x0時，g(x)g(0)0，即f (x)ax（）若a2，方程g(x)0的正根為，此時，若x(0，x1)，則g(x)0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù)所以，x(0，x1)時，g(x)g(0)0，即f (x)ax，與題設f (x)ax相矛盾綜上，滿足條件的a的取值范圍是(，2點評 需要提醒大家的是，初步得出a的取值范圍為a2還不完整，還需繼續(xù)說明當a不在此范圍內(nèi)時，即當a2時為什么不行，等找到矛盾后才能徹底說明范圍a2是原條件的充要條件三、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式例3 (2007年高考安徽卷理科18題)設a0，f (x)x1ln2 x2aln x(x0)（）令F(x)x f (x)，討論F(x)在(0，)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2 x2aln x1分析 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式是近年來高考中的?？碱}型，解題時有一套完整的流程，我們必須十分熟練（）解 根據(jù)求導法則有，故F(x)x f (x)x2ln x2a(x0)，于是，列表如下：x(0，2)2(2，)F(x)0F(x)極小值F(2)故知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2，)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2處取得極小值F(2)22ln22a（）證明 由a0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)22ln22a0于是由上表知，對一切x(0，)，恒有F(x)x f (x)0從而當x0時，恒有f (x)0，故f (x)在(0，)內(nèi)單調(diào)增加所以當x1時，f (x)f (1)0，即x1ln2 x2aln x0故當x1時，恒有xln2 x2aln x1點評 本題主要考查函數(shù)導數(shù)的概念與計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運用有關知識解決問題的能力需要注意的是（）問中的不等式經(jīng)移項后不必構造新的函數(shù)，因為這就是已知函數(shù)f (x)，并且f (x)的單調(diào)性也不用再求導研究，因為可以利用（）問中F(x)的單調(diào)性和極小值就可以找到f (x)0，從而得出f (x)的單調(diào)性四、利用導數(shù)求切線方程以及判斷方程根的個數(shù)例4 (2007年高考全國卷理科22題)已知函數(shù)f (x)x3x（）求曲線yf (x)在點M(t，f (t)處的切線方程；（）設a0，如果過點(a，b)可作曲線yf (x)的三條切線，證明：abf (a)分析 （）問比較簡單，f (x0)的幾何意義是曲線f(x)在點(x0，f (x0)處的切線的斜率，利用這一幾何意義就可以求切線方程（）問中條件“過點可作曲線yf (x)的三條切線”，可轉(zhuǎn)化為該點代入切線方程后所得方程有三個相異的實根，而研究根的個數(shù)仍然需要借助導數(shù)解 （）求函數(shù)f (x)的導數(shù)：f (x)3x21曲線yf (x)在點M(t，f (t)處的切線方程為：yf (t)f (t)(xt)，即y(3t21)x2t3（）如果有一條切線過點(a，b)，則存在t，使b(3t21)a2t3于是，若過點(a，b)可作曲線yf (x)的三條切線，則方程2t33at2ab0有三個相異的實數(shù)根記g(t)2t33at2ab，則g(t)6t26at6t(ta)當t變化時，g(t)，g(t)變化情況如下表：t(，0)0(0，a)a(a，)g(t)00g(t)極大值ab極小值bf (a)由g(t)的單調(diào)性，當極大值ab0或極小值bf (a)0時，方程g(t)0最多有一個實數(shù)根；當ab0時，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根；當bf (a)0時，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過(a，b)可作曲線yf (x)三條切線，即g(t)0有三個相異的實數(shù)根，則即abf (a)點評 利用導數(shù)研究一個三次方程f (x)0根的個數(shù)