級數(shù)斂散性判別方法的歸納

級數(shù)斂散性判別方法的歸納 （西北師大）摘 要：無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要組成部分，它是研究函數(shù)、進(jìn)行數(shù)值運算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無窮級數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級數(shù)收斂的判別在級數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級數(shù)斂散性的方法太多，學(xué)者們一時很難把握，本文對級數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對學(xué)者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級數(shù) ；收斂；判別 ；發(fā)散 一. 級數(shù)收斂的概念和基本性質(zhì)給定一個數(shù)列，形如 稱為無窮級數(shù)(常簡稱級數(shù)),用表示。無窮級數(shù)的前n項之和，記為= 稱它為無窮級數(shù)的第n個部分和，也簡稱部分和。若無窮級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于s.則稱無窮級數(shù)收斂，若級數(shù)的部分和發(fā)散則稱級數(shù)發(fā)散。研究無窮級數(shù)的收斂問題，首先給出大家熟悉的收斂級數(shù)的一些基本定理：定理1 若級數(shù)和都收斂，則對任意的常數(shù)c和d，級數(shù)亦收斂，且=c+d定理2 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性定理3 在收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4 級數(shù)收斂的充要條件是：任給0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)mN和任意的自然數(shù)，都有以上是收斂級數(shù)的判別所需的一些最基本定理，但是，在處理實際問題中，僅靠這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所以在級數(shù)的理論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項級數(shù)的收斂判別。二 正項級數(shù)的收斂判別各項都是由正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項級數(shù)，正項級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正整數(shù)M，對一切正整數(shù) n有M。從基本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列基本的判別法1 比較判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù),如果存在某正數(shù)N，對一切nN都有，則（i）級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（ii）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。例 1 . 設(shè)收斂，證明：收斂（0）.證明：因為 00）.例 2 . 證明：級數(shù)都是條件收斂的。 證： 不妨設(shè)x0,則0，當(dāng)n時，0時， =0，=1又發(fā)散，由比較判別法知也發(fā)散。所以，級數(shù)都是條件收斂的。例 3. 證明級數(shù)收斂 證： 0 = 1 所以由比式判別法知級數(shù)發(fā)散。4積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性。設(shè)f為1，+ )上非負(fù)減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。例 1 .判別級數(shù)的斂散性。 解：設(shè)f(x)= ,則f(x)在3，+ 上非負(fù)遞減。若，這時有= = 當(dāng)小q1時級數(shù)收斂；當(dāng)小q 1時級數(shù)發(fā)散； 若,這時有= 對任意的q，當(dāng)時，取t1,有=0 即該積分收斂。當(dāng)時，有 =即該積分發(fā)散。5拉貝判別法設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)r，（i）若對一切n，成立不等式1，則級數(shù)收斂。（ii）若對一切n，成立不等式則級數(shù)發(fā)散。例 1 .判別級數(shù)（x0）的斂散性。解：因為 = 1- = 所以由拉貝判別法知，當(dāng)小x1時級數(shù)收斂；當(dāng)小x 1時級數(shù)發(fā)散；6對數(shù)判別法對于正項級數(shù)，如果存在，則當(dāng)q1時，級數(shù)收斂；當(dāng)q1因此有對數(shù)判別法可知級數(shù)=收斂。7雙比值判別法對于正項級數(shù)，如果存在= = ，則當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。 例 1判別級數(shù)的斂散性。 證明：因為=由此知級數(shù)收斂。 例 2 判別級數(shù)的斂散性。 證明：這里，即 有 = = = 所以級數(shù)發(fā)散。8高斯判別法設(shè)是嚴(yán)格正項級數(shù)，并設(shè)=+，則關(guān)于級數(shù)的斂散性，有以下結(jié)論：（i）如果1，那么級數(shù)收斂；如果1，那么級數(shù)收斂；如果=1，1，那么級數(shù)收斂；如果=1，1，那么級數(shù)發(fā)散。例1 Gauss 超幾何級數(shù)1+的斂散性，其中均為非負(fù)常數(shù)。解：因為=又因為=1-+，=1-+，所以=（1+）。根據(jù)高斯判別法可以判別： 如果x1;或者x=1, ,那么級數(shù)發(fā)散。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）.下冊M.北京：高等教育出版社，2001.2李春江.級數(shù)收斂的判別方法J.3鄧東皋，尹小玲.數(shù)學(xué)分析簡明教程 下冊.北京：高等教育出版