高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料復(fù)習(xí)筆記.doc

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記（整理于2013-8）一、 函數(shù)圖象1、對(duì)稱：y=f（x）與y=f（-x）關(guān)于y軸對(duì)稱，例如：與（）關(guān)于y軸對(duì)稱y=f（x）與y= f（x）關(guān)于x軸對(duì)稱，例如：與關(guān)于x軸對(duì)稱y=f（x）與y= f（-x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=f（x）與y=f（x）關(guān)于y=x對(duì)稱，例如：y=10與y=lgx關(guān)于y=x對(duì)稱y=f（x）與y= f（x）關(guān)于y= x對(duì)稱，如：y=10與y= lg（x）關(guān)于y= x對(duì)稱注：偶函數(shù)的圖象本身就會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱，而奇函數(shù)的圖象本身就會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：圖象本身就會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱，的圖象本身就會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。y=f（x）與y=f（ax）關(guān)于x=對(duì)稱（）注：求y=f（x）關(guān)于直線xyc=0（注意此時(shí)的系數(shù)要么是1要么是-1）對(duì)稱的方程，只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=02、平移：y=f（x）y= f（x+）先向左（0）或向右（0）或向左（0）或向右（時(shí)，則f（x）在a，+）上單調(diào)遞增fmin=f（a）=a2+1（2）當(dāng)xa時(shí)，f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+若a時(shí)，則f（x）在（，單調(diào)遞減，fmin=f（a）=a2+1當(dāng)a時(shí)，則f（x）在（，上最小值為f（）=+a綜上所述，當(dāng)a時(shí)，f（x）的最小值為a當(dāng)a時(shí)，f（x）的最小值為a2+1當(dāng)a時(shí)，f（x）的最小值為+a2、 利用均值不等式典例：已知x、y為正數(shù)，且x=1，求x的最大值分析：x=（即設(shè)法構(gòu)造定值x=1）=故最大值為注：本題亦可用三角代換求解即設(shè)x=cos，=sin求解，（解略）3、 通過求導(dǎo)，找極值點(diǎn)的函數(shù)值及端點(diǎn)的函數(shù)值，通過比較找出最值。4、 利用函數(shù)的單調(diào)性典例：求t的最小值（分析：利用函數(shù)y=在（1，+）的單調(diào)性求解，解略）5、 三角換元法（略）6、 數(shù)形結(jié)合例：已知x、y滿足x，求的最值5、抽象函數(shù)的周期問題已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）= f（x），求證：f（x）為周期函數(shù)證明：由已知得f（x）= f（x 1），所以f（x+1）= f（x）= （f（x 1）= f（x 1）即f（t）=f（t 2），所以該函數(shù)是以2為最小正周期的函數(shù)。解此類題目的基本思想：靈活看待變量，積極構(gòu)造新等式聯(lián)立求解二、圓錐曲線1、 離心率圓（離心率e=0）、橢圓（離心率0e1）。2、 焦半徑橢圓：PF=a+ex、PF=a-ex（左加右減）（其中P為橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓左焦點(diǎn)、F為橢圓右焦點(diǎn)）注：橢圓焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為雙曲線：PF= |ex+a|、PF=| ex-a|（左加右減）（其中P為雙曲線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線左焦點(diǎn)、F為雙曲線右焦點(diǎn)）注：雙曲線焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為拋物線：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（解題中常用）圓錐曲線中的面積公式：（F 、F為焦點(diǎn)）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，=，則三角形FPF的面積為：b三角形中利用余弦定理整理即可注：|PF| |PF|cos=b為定值設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，=，則三角形FPF的面積為：b注：|PF| |PF|sin=b為定值附：三角形面積公式：S=底高=absinC=r（a+b+c）=（R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑）=（這就是著名的海倫公式）三、數(shù)列求和裂項(xiàng)法：若是等差數(shù)列，公差為d（）則求時(shí)可用裂項(xiàng)法求解，即=（）=求導(dǎo)法： （典例見高三練習(xí)冊(cè)p86例9）倒序求和：（典例見世紀(jì)金榜p40練習(xí)18）分組求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-分析：可分解為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列然后分組求和求通項(xiàng)：構(gòu)造新數(shù)列法典例分析：典例見世紀(jì)金榜p30例4構(gòu)造新數(shù)列即可四、向量與直線向量（a，b），（c，d）垂直的充要條件是ac+bd=0向量（a，b），（c，d）平行的充要條件是adbc=0附：直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0垂直的充要條件是A A+ B B=0直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0平行的充要條件是A B -A B=0向量的夾角公式：cos=注1：直線的“到角”公式：到的角為tan=；“夾角”公式為tan=|（“到角”可以為鈍角，而“夾角”只能為之間的角）注2：異面直線所成角的范圍：（0，注3：直線傾斜角范圍0，）注4：直線和平面所成的角0，注5：二面角范圍：0，注6：銳角：（0，）注7：0到的角表示（0，注8：第一象限角（2k，2k+）附：三角和差化積及積化和差公式簡(jiǎn)記S + S = S CS + S = C SC + C = C CC C = S S五、集合1、集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算card（A）=card（A）+ card（B）+ card（C）card（A）card（）card（CA）+card（ABC）（結(jié)合圖形進(jìn)行判斷可更為迅速）2、從集合角度來理解充要條件：若AB，則稱A為B的充分不必要條件，（即小的可推出大的）此時(shí)B為A的必要不充分條件，若A=B，則稱A為B的充要條件 經(jīng)緯度六、二項(xiàng)展開式系數(shù)：C+C+C+C=2（其中C+ C+ C +=2；C +C+ C+=2）例：求（2+3x）展開式中1、所有項(xiàng)的系數(shù)和2、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和3、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和方法：只要令x為1或1即可七、離散型隨機(jī)變量的期望與方差E（a+b）=aE+b；E（b）=bD（a+b）=aD；D（b）=0D=E（E）特殊分布的期望與方差（0、1） 分布：期望：E=p；方差D=pq二項(xiàng)分布： 期望E=np；方差D=npq注：期望體現(xiàn)平均值，方差體現(xiàn)穩(wěn)定性，方差越小越穩(wěn)定。八、圓系、直線系方程經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)（）的直線即為一直線系，可利用點(diǎn)斜式設(shè)之（k為參數(shù)）一組互相平行的直線也可視為一直線系，可利用斜截式設(shè)之（b為參數(shù)）經(jīng)過圓f（x、y）與圓（或直線）g（x、y）的交點(diǎn)的圓可視為一圓系，可設(shè)為：f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表f（x、y）=0）附：回歸直線方程的求法：設(shè)回歸直線方程為bxa，則bab九、立體幾何（一）1、歐拉公式：V+FE=2（只適用于簡(jiǎn)單多面體）利用歐拉公式解題的關(guān)鍵是列出V、F、E之間的關(guān)系式棱數(shù)E=（每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)之和）=（每個(gè)面的邊數(shù)之和）（常用）2、長(zhǎng)方體的三度定理長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和推論A、 若對(duì)角線與各棱所成的角為、，則：cos+cos+cos=1 sin+sin+sin=2B、 若對(duì)角線與各面所成的角為、，則：cos+cos+cos=2 sin+sin+sin=13、三角形“四心”重心：三邊中線交點(diǎn)垂心：三邊高線交點(diǎn)內(nèi)心：角平分線交點(diǎn)（內(nèi)切圓圓心）外心：垂直平分線交點(diǎn)（外接圓圓心）若三角形為正三角形，則以上“四心”合稱“中心”引申：若三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等，則該棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心若三棱錐三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則該棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的外心若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，則該棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心若該三棱錐為正三棱錐，則其頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的中心4、經(jīng)度緯度九、立體幾何（二）一、“共”的問題1多點(diǎn)共線：先證其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后其余點(diǎn)均在該直線上。舉例：正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q，證：B，Q，D1共線。2多線共點(diǎn)：先證兩直線共點(diǎn)，其余的過該點(diǎn)。舉例：三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，求證：三條交線共點(diǎn)，或互相平行。3多線共面：先找到兩條確定一個(gè)平面，然后證其它的均在平面內(nèi)。舉例：四條直線兩兩相交不共點(diǎn)，求證：四條直線共面。二、“角”的問題1異面直線所成角（0,90：采用平移轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造一個(gè)含的三角形，由余弦定理求得(請(qǐng)自己補(bǔ)充例子，這個(gè)很重要)；2直線與平面所成角0,90：關(guān)鍵是找射影，最后通過垂線、斜線、射影來求所成角。舉例：求正四面體的側(cè)棱與底面所成的角。3二面角0,180：關(guān)鍵是作二面角，方法有定義法、作棱的垂面、三垂線定理和公式法(S=cosS)。舉例：求正四面體的相鄰兩側(cè)面所成角(arccos(1/3).三、“距離”的問題1點(diǎn)面距：可通過定義法或等體積法。舉例：邊長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A點(diǎn)到平面A1BD的距離()。2線面距：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。舉例：邊長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B到平面B1CD的距離()。3異面直線間距離(一些較特殊的，難度不要太大)，比如求正四面體對(duì)棱間的距離()。舉例：邊長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與B1D1的距離()。4.球面距： 它是球面上兩點(diǎn)間的最短距離，求解的步驟：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)（2）計(jì)算A、B所對(duì)的球心角（用弧度角表示）（3）計(jì)算球大圓在AB間的劣弧舉例：設(shè)地球半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩地，沿此緯度圈上A、B兩地間的劣弧長(zhǎng)為R，求AB間的球面距。（R）注意：1。在求距離過程中，要體現(xiàn)先證角(把所要的角給找出來)，后求角這兩個(gè)步驟。 2要靈活把握點(diǎn)面距、線面距、線線距(注意：兩異面直線間的距離就等于分別過這兩條直線的平行平面間的距離)、面面距間的轉(zhuǎn)化使用。四、“垂直”的問題1.平面內(nèi)證明兩直線垂直的方法a.勾股定理b.等腰三角形的三線合一c.直徑所對(duì)的圓周角d.垂徑定理e直二角的性質(zhì)f.棱形、正方形的對(duì)角線互相垂直g.平行直線中一條垂直于第三條直線，則另一條也與第三條垂直2.線面垂直的判定（1）線線垂直-線面垂直： （2）線面垂直-線面垂直： （3）直二面角的性質(zhì)： （4）三垂線定理注意：以上幾種方法，實(shí)質(zhì)乃是轉(zhuǎn)化思想，在解題中，要把握它們相互間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，切不可死記硬背。舉例：在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點(diǎn)，求證：EF平面B1AC.(例子自己再補(bǔ)充)3.面面垂直（1）定義法，求證二面角為90（2）一平面過另一平面的垂線舉例：直線a、b是異面直線，a平面，b平面，ab，求證：4.三垂線定理 （1）cosPAB= cosPAC cosCAB（2）PAC相當(dāng)于斜線與平面所成角（3）PBC相當(dāng)于二面角（4）（定理）（5）（逆定理）（6）垂線段最短（前提是自平面外同一個(gè)點(diǎn)引的所有線段中）（7）最小角定理（涉及到不等問題時(shí)要想到這里）五、“個(gè)數(shù)”的問題（1）空間中到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的平面?zhèn)€。（7個(gè)）（2）過直線外一點(diǎn)有個(gè)平面與該直線平行（無(wú)數(shù)個(gè)）（3）一直線與一平面斜交，則平面內(nèi)有條直線與該直線平行。（0）（4）3條兩兩相交的直線可以確定個(gè)平面（1個(gè)或3個(gè)）（5）過空間一點(diǎn)，與兩異面直線都平行的平面有條（0或1）（6）3個(gè)平面可以把空間分個(gè)部分。（4或6或7或8）（7）兩兩相交的4條直線最多可以確定個(gè)平面（6個(gè)）（8）兩異面直線成60的角，問過空間一點(diǎn)與它們都成30（45,60,80）的角的直線有條。（1；2；3；4）六、克服思維定勢(shì)，區(qū)分平面與空間的問題1在空間中錯(cuò)誤的命題（1）垂直于同一條直線的兩直線平行（2）平行于同一直線的兩平面平行（3）平行于同一平面的兩直線平行（4）過直線外一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直（有無(wú)數(shù)條）（5）兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（正確：不同在任何平面內(nèi)的兩條直線）（6）一直線與一平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則該直線與這個(gè)平面垂直（無(wú)數(shù)條應(yīng)改成所有的才是正確的）2.正確的命題（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（3）兩平面平行，若第三個(gè)平面與它們相交且有兩條交線，則兩直線平行（4）兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面七、“正多面體”的問題1正四面體（請(qǐng)掌握相關(guān)的推導(dǎo)方法）（1）每對(duì)對(duì)棱都是成90的異面直線，中點(diǎn)連線即為公垂線（2）兩異面直線間的距離為a（此時(shí)設(shè)a為正四面體棱長(zhǎng)）（3）體積為（此時(shí)設(shè)a為正四面體外接正方體邊長(zhǎng)。即四面體的四個(gè)頂點(diǎn)剛好和正方體的某四個(gè)頂點(diǎn)重合）（結(jié)合課本P53：第8題圖形）（4）外接球的半徑為（）（a為四面體的邊長(zhǎng)）（5）內(nèi)切球的半徑為（）（a為四面體的邊長(zhǎng)）（6）相鄰兩面的二面角為（）（7）以各棱中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以得到正八面體，則正八面體的棱長(zhǎng)為（）（a為正四面體邊長(zhǎng)）2正八面體（1）若它是以正方體和各面中心為頂點(diǎn)得到的，則正方體的邊長(zhǎng)為_(a)（a為正八面體的邊長(zhǎng)）（2）其體積為（，即為外接正方體體積的）（a為正八面體的邊長(zhǎng)）（3）相鄰兩面所成的二面角為_（）.附：簡(jiǎn)易邏輯之否定詞：（所謂否定，即事物的對(duì)立面）原詞=0(或sinBAB對(duì)嗎?32.一般說來，周期函數(shù)加絕對(duì)值或平方，其周期減半（如的周期都是, 但）33.函數(shù)是周期函數(shù)嗎？（都不是）34.正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心你知道嗎？35.在三角中，你知道1的變形嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的代換有著廣泛的應(yīng)用36.在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換（如 等）37.你還記得三角化簡(jiǎn)題的要求是什么嗎？項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子，一定要算出值來）38.你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎？（從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）39.你能說出所有特殊角的任意三角函數(shù)值嗎？幾個(gè)常用的角的三角函數(shù)值你知道嗎？（）40.你還記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？()41.輔助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.42.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？ 異面直線所成的角、線面所成的角、二面角的取值范圍依次是. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是 向量的夾角的取值范圍是0， 43.若對(duì)嗎？（）；，=， =0=0或=0，=呢？哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的。44.若，則，的充要條件是什么？45.共線向量模相等是否等價(jià)于向量相等？46.。在已知向量長(zhǎng)度求兩向量夾角時(shí)注意用此關(guān)系整體求得數(shù)量積。47.若與的夾角，且為鈍角，則cos0)焦點(diǎn)的弦交拋物線于A(x1,y1), B(x2,y2)，則y1y2=-p2, x1x2=?，|AB|= x1+x2+p.79.若A(x1,y1), B(x2,y2)是二次曲線C：F(x,y)=0的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，則F(x1,y1)=0 且F(x2,y2)=0。涉及弦的中點(diǎn)和斜率時(shí)，常用點(diǎn)差法作F(x1,y1)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦AB的斜率的關(guān)系。80.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.81.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積變換法、向量法）82.你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎？(一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見。)83.立體幾何中常用一些結(jié)論：正四面體的體積公式V=記住了嗎？面積射影定理、“立平斜關(guān)系式”、最小角定理等你熟悉嗎？84.異面直線所成角利用“平移法”求解時(shí)，一定要注意平移后所得角是所求角或其補(bǔ)角。85.平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。86.棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影何時(shí)為底面的內(nèi)心、外心、垂心、重心？87.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合88.解排列組合問題的規(guī)律是：元素分析法、位置分析法相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法89.二項(xiàng)式定理中，“系數(shù)最大的項(xiàng)”、“項(xiàng)的系數(shù)的最大值”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值”是同一個(gè)概念嗎？90.求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)代數(shù)和的有關(guān)問題中的“賦值法”、“轉(zhuǎn)化法”，求特定項(xiàng)的“通項(xiàng)公式法”、“結(jié)構(gòu)分析法”你會(huì)用嗎？91.“兩個(gè)事件對(duì)立是這兩個(gè)事件互斥的充分不必要條件?！薄叭绻麅蓚€(gè)事件是相互獨(dú)立事件，那么它們一定不是互斥事件。”“若A是一隨機(jī)事件，則P（A）= P（A）P（）”,“概率等于1的事件一定是必然事件，概率為零的事件一定是不可能事件?！币?