求軌跡方程題型全歸納.doc

求軌跡方程的六種常用方法1直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。 例1已知線段，直線相交于，且它們的斜率之積是，求點(diǎn) 的軌跡方程。解：以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率，直線的斜率 由已知有 化簡，整理得點(diǎn)的軌跡方程為練習(xí)：1平面內(nèi)動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為2，則點(diǎn)的軌跡方程是 。2設(shè)動直線垂直于軸，且與橢圓交于、兩點(diǎn)，是上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。3. 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn),在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（）A直線B橢圓C拋物線D雙曲線2定義法通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。例2若為的兩頂點(diǎn)，和兩邊上的中線長之和是，則的重心軌跡方程是_。解：設(shè)的重心為，則由和兩邊上的中線長之和是可得，而點(diǎn)為定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為以 為焦點(diǎn)的橢圓。所以由可得故的重心軌跡方程是練習(xí)：4方程表示的曲線是（）A橢圓 B雙曲線 C線段 D拋物線3點(diǎn)差法圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程。例3橢圓中,過的弦恰被點(diǎn)平分,則該弦所在直線方程為_。解：設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于、，則有 可得而為線段的中點(diǎn)，故有所以，即所以所求直線方程為化簡可得練習(xí)：5已知以為圓心的圓與橢圓交于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。6已知雙曲線，過點(diǎn)能否作一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，使 為線段的中點(diǎn)？4轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法求曲線方程時(shí)一般有兩個(gè)動點(diǎn)，一個(gè)是主動的，另一個(gè)是次動的。當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí)，一般可以用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程：某個(gè)動點(diǎn)在已知方程的曲線上移動；另一個(gè)動點(diǎn)隨的變化而變化；在變化過程中和滿足一定的規(guī)律。例4 已知是以為焦點(diǎn)的雙曲線上的動點(diǎn)，求的重心 的軌跡方程。解：設(shè) 重心，點(diǎn) ，因?yàn)閯t有， 故代入 得所求軌跡方程例5拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線交拋物線、兩點(diǎn),再以、為鄰邊作平行四邊形，試求動點(diǎn)的軌跡方程。解法一：（轉(zhuǎn)移法）設(shè)，平行四邊形的中心為，將，代入拋物線方程,得，設(shè)，則 ，為的中點(diǎn).，消去得，由得，故動點(diǎn)的軌跡方程為。解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)，平行四邊形的中心為，設(shè)，則有 由得 而為的中點(diǎn)且直線過點(diǎn)，所以代入可得，化簡可得由點(diǎn)在拋物線口內(nèi)，可得將式代入可得故動點(diǎn)的軌跡方程為。練習(xí)：7已知，在平面上動點(diǎn)滿足，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，求動點(diǎn)的軌跡方程。5參數(shù)法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時(shí)題目會就方程中的參數(shù)進(jìn)行討論；參數(shù)取值的變化使方程表示不同的曲線；參數(shù)取值的不同使其與其他曲線的位置關(guān)系不同；參數(shù)取值的變化引起另外某些變量的取值范圍的變化等等。例6過點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，已知。（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（2）是否存在這樣的直線，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，代入方程，得因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，設(shè)，則 設(shè)，由 得 所以，代入可得，化簡得即 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求得滿足方程，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線。（也可考慮用點(diǎn)差法求解曲線方程）（2）平行四邊為矩形的充要條件是即 當(dāng)不存在時(shí)，、坐標(biāo)分別為、，不滿足式當(dāng)存在時(shí)，化簡得，此方程無實(shí)數(shù)解，故不存在直線使為矩形。練習(xí)：8設(shè)橢圓方程為,過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、,是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),求:(1)動點(diǎn)的軌跡方程； (2)的最小值與最大值。9設(shè)點(diǎn)和為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動點(diǎn)，且，過作于，求點(diǎn)的軌跡方程。6交軌法若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的方程，也可以解方程組先求出交點(diǎn)的參數(shù)方程，再化為普通方程。例7已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程。解1:(利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))令，則而.設(shè)與的交點(diǎn)為因?yàn)楣簿€，所以 因?yàn)楣簿€，所以兩式相乘得， 而即代入得，即交點(diǎn)的軌跡方程為解2: (利用角作參數(shù))設(shè)，則所以 , 兩式相乘消去即可得所求的點(diǎn)的軌跡方程為 。練習(xí)：10兩條直線和的交點(diǎn)的軌跡方程是_ _。總結(jié)歸納1要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時(shí)一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明的取值范圍，或同時(shí)注明的取值范圍。2“軌跡”與“軌跡方程”既有區(qū)別又有聯(lián)系，求“軌跡”時(shí)首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn)，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。練習(xí)參考答案12解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由方程，得由于直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，故即、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為由題知即即所以點(diǎn)的軌跡方程為3D 【解析】在長方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知直線與是異面垂直的兩條直線，過直線與平行的平面是面，設(shè)在平面內(nèi)動點(diǎn)滿足到直線與的距離相等，作于，于，于，連結(jié)，易知平面，則有，(其中是異面直線與間的距離)，即有，因此動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，選D.4A5解 設(shè)，PMA則，由， OB兩式相減并同除以得 ,而, 又因?yàn)樗?化簡得點(diǎn)的軌跡方程6先用點(diǎn)差法求出，但此時(shí)直線與雙曲線并無交點(diǎn)，所以這樣的直線不存在。中點(diǎn)弦問題，注意雙曲線與橢圓的不同之處，橢圓不須對判別式進(jìn)行檢驗(yàn)，而雙曲線必須進(jìn)行檢驗(yàn)。7解：設(shè)，則由即所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓。點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。動點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為3的圓，其中是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即直線過的中點(diǎn)，且與垂直，于是有即故動點(diǎn)的軌跡方程為。8解：(1)解法一:直線過點(diǎn)，設(shè)其斜率為,則的方程為 記、由題設(shè)可得點(diǎn)、的坐標(biāo)、是方程組 的解 將代入并化簡得,所以于是 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則消去參數(shù)得 當(dāng)不存在時(shí), 、中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),也滿足方程,所以點(diǎn)的軌跡方程為 解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因、在橢圓上,所以 得,所以 當(dāng)時(shí),有 并且 將代入并整理得 當(dāng)時(shí),點(diǎn)、的坐標(biāo)為，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為也滿足,所以點(diǎn)的軌跡方程為 (2)解:由點(diǎn)的軌跡方程知，即所以 故當(dāng),取得最小值,最小值為時(shí),取得最大值, 最大值為9解法1 ：(常規(guī)設(shè)參)設(shè)，則（）由共線得